Cho Hàm Số \(y = F\left( X \right)\) Có Bảng Xét Dấu Của đạo Hàm Như Sau

Câu hỏi số 312050: Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - 1;0} \right)\) B. \(\left( {0;2} \right)\) C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) D. \(\left( {2; + \infty } \right)\) 

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải Câu hỏi:312050 Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp \({\left( {f\left( u \right)} \right)^\prime } = u'.f'\left( u \right)\)

Đặt \(x + 3 = t\), ta tính \(y'\) theo \(t.\)

Nhận xét rằng khi \(y' < 0\) trên \(K\) thì hàm số \(y\)  nghịch biến trên \(K\)

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) để suy ra dấu của \(f'\left( t \right)\) và điều kiện của \(t.\)

Thay trở lại cách đặt ta tìm được \(x.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3f'\left( {x + 3} \right) - 3{x^2} + 12\)

Đặt \(t = x + 3 \Rightarrow x = t - 3\) ta có \(y' = 3f'\left( t \right) - 3{\left( {t - 3} \right)^2} + 12 = 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 18t - 15\)

Để hàm số nghịch biến thì \(y' < 0 \Leftrightarrow 3f'\left( t \right) - 3{t^2} + 18t - 15 < 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) < {t^2} - 6t + 5\)

Ta chọn \(t\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) < 0\\{t^2} - 6t + 5 > 0\end{array} \right.\)

Từ bảng xét dấu hàm \(f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x > 5\end{array} \right.\)  nên  \(f'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) < 0\\{t^2} - 6t + 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 1 < t < 1\\t > 5\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}t > 5\\t < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)

Mà \(t = x + 3\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < t < 1\\t > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x + 3 < 1\\x + 3 > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < x <  - 2\\x > 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\) nghich biến trên \(\left( { - 4;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).