[CHUẨN NHẤT] Cực Trị Là Gì? - TopLoigiai

Mục lục nội dung 1. Định nghĩa cực trị2. Cực trị của hàm số lượng giác3. Cực trị của hàm số logarit4. Quy tắc tìm cực trị5. Ví dụ

1. Định nghĩa cực trị

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b).

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0 .

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .

- Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖{ x0 }.

- Định lý 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) (h > 0).

+ Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) > 0  thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.

+ Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f.

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

- Định lý 3: Giả sử hàm số ff liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0)  và (x0; b). Khi đó

Nếu 

 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. Nói một cách khác, nếu f′(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0... thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

b)  Nếu {f′(x0)>0,x∈(a;x0), f′(x0)<0,x∈(x0;b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0. Nói một cách khác, nếu f′(x) từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.

- Định lý 4. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a,b) chứa điểm x0,f′(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f′′(x0)<0  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo

b) Nếu f′′(x0)>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

Cực trị của hàm số bậc 3.

Cho hàm số: (y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0))

Đạo hàm: (y’= f’(x) = 3ax2 + 2bx + c

Điều kiện tồn tại cực trị: y = f(x) có cực trị khi y = f(x) có cực đại và cực tiểu.

2. Cực trị của hàm số lượng giác

Phương pháp tìm cực trị của hàm số lượng giác như sau:

- Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x), giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.

- Bước 3: Khi đó: Tìm đạo hàm y’’.

Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.

3. Cực trị của hàm số logarit

Chúng ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình  y’=0, giả sử có nghiệm x = x0.

- Bước 3: Xét hai khả năng:

+ Nếu xét được dấu của y’: Khi đó: lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.

+ Nếu không xét được dấu của y’: Khi đó:

• Tìm đạo hàm y’’.
• Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 3.

4. Quy tắc tìm cực trị

* Quy tắc 1: áp dụng định lý 2

- Tìm f′(x)

- Tìm các điểm xi(i=1,2,3…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

- Xét dấu của f′(x). Nếu f′(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì hàm số có cực trị tại điểm xo

* Quy tắc 2: áp dụng định lý 3

- Tìm f′(x)f

- Tìm các nghiệm xi(i=1,2,3…) của f′(x)=0

- Với mỗi xi tính f′′(xi).

+ Nếu f′′(xi)<0  thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.

+ Nếu f′′(xi)>0  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.

5. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y = xe-3x

Ta có: y ' = e-3x - 3xe-3x = e-3x(1-3x)

=> y' = 0 ⇔ 1 - 3x = 0 ⇔ x = ⅓

Ta lại có:  y'' = -3e-3x - 3(1-3x)e-3x

Thay x = ⅓ vài y'' ta được y''(⅓) <0

Vậy hàm số đã cho có điểm cực đại là x = ⅓

Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số

Lời giải :

a) Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có : 

- Cách 1: Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, f(-1) = 10/3 , hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, f(3) = -22/3 

- Cách 2: f′′(x)=2x−2

Vì f′′(−1)=−4<0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, f(-1) = 10/3 .

Vì f′′(3)=4>0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3, f(3) = -22/3 .

b) 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.

Ta có:

Hàm số liên tục tại x=0, không có đạo hàm tại x=0.

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1,f(−1)=1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0,f(0)=0.