[CHUẨN NHẤT] Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác - TopLoigiai

Mục lục nội dung I. Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giácII. Tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác cơ bảnIII. Bài tập vận dụng

I. Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

- Dựa vào định nghĩa hàm chẵn, hàm lẻ tương tự như chúng ta đã biết ở chương trình lớp 10. Chúng ta lần lượt thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

+ Nếu D là tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D) ta chuyển qua bước 2

+ Nếu D không là tập đối xứng (tức là ∃x ∈ D mà –x ∉ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Thay x bằng –x và tính f(-x).

Bước 3: Kiểm tra (so sánh):

Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn

Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ

Trường hợp khác kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ

Ví dụ:

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. y = sinx.

b. y = cos(2x).

c. y = tanx + cos(2x + 1).

Hướng dẫn giải

a. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: sin (-x) = -sinx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: cos(-2x) = cos(2x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c. 

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có:

tan(-x) + cos(-2x + 1) = -tanx + cos(-2x + 1).

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

II. Tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác cơ bản

a. Hàm số y=sinx

Tập xác định: R là tập đối xứng.

b. Hàm số y=cosx

Tập xác định: R là tập đối xứng.

c. Hàm số y=tanx

Tập xác định: 

d. Hàm số y=cotx

Tập xác định: D = R\{kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng

Tóm lại, trong bốn hàm số lượng giác cơ bản chỉ có hàm số y=cosx là hàm số chẵn. Các hàm số còn lại là hàm số lẻ.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + sinx.

b) y = sin2x + cot100x

Lời giải:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

sin (-x) + cos(-x) = - sinx + cosx. Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π /100, k ∈ Z}.

sin(-2x) + cot(-100x) = - sin2x – cot(100x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + cos2x

b) y = tanx + cotx.

Lời giải:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

cos(-x) + cos(-2x) = cosx + cos2x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π/2, k ∈ Z}.

tan(-x) + cot(-x) = - tanx – cotx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 

a. y = sinx.cosx

b. y = 1 - cosx

Lời giải

a. Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ -x∈D)

Ta có f(-x) = sin(-x).cos(-x) = (-sinx).consx = -sinx.cosx = -f(x)

→Vậy hàm số y = sinx.consx là hàm số lẻ

b. Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ -x∈D)

Ta có f(-x) = 1 – cons(-x) = 1 – cosx = f(x)

→ Vậy hàm số y = 1 – cosx là hàm số chẵn