Chứng Minh Biểu Thức Không Phụ Thuộc Vào X Hay Nhất - TopLoigiai

Câu hỏi: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x

Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến X, tức là sau khi rút gọn kết quả thì biểu thức không chứa biến X. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến X, suy ra điều phải chứng minh.

Phương pháp giải

Để chứng minh 1 một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:

      + Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ( Nếu có)

      + Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.

Ví dụ 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A = (x2 - x).(x + 1) - (x2 + x).(x - 1)

Chứng minh

Ta có: A = (x2 - x).(x + 1) - (x2 + x).(x - 1)

      A = x2(x + 1) - x.(x + 1) - x2(x - 1) - x(x - 1)

      = x3 + x2 - x2 - x - x3 + x2 - x2 + x

      = (x3 - x3) + (x2 - x2 + x2 - x2) + (x - x)

      = 0 + 0 + 0

      = 0

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

      B = x2(x - 2) - x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)

Chứng minh

Ta có:

      B = x2(x - 2) - x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)

      = x2.x - x2.2 - x.x2 - x.x - x.1 + x.3x + x.1

      = x3 - 2x2 - x3 - x2 - x + 3x2 + x

      = (x3 - x3) + (3x2 - 2x2 - x2) + (x - x)

      = 0 + 0 + 0

      = 0

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào x.

Cùng Top lời giải ôn tập lại kiến thức nhân đơn thức và đa thức nhé!!

Mục lục nội dung 1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức2. Quy tắc nhân đa thức với đa thức3. Ví dụ

1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

                   A(B + C) = AB + AC

2. Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với 1 đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

                   (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

3. Ví dụ

* Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:

a)  (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) = – 2x4 + 3x3 + 2x2 – 2x

b)  (- 10x3 + y – = 5x4y – 2xy2 + xyz

* Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: x(x – y) + y(x + y) tại x = –  và y = 3

Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2

Khi x = –  và y = 3, giá trị của biểu thức là: ( – )2 + 32 =

* Chú ý 1: Trong các dạng bài tập như thế, việc thực hiện phép nhân và rút gọn rồi mới thay giá trị của biến vào sẽ làm cho việc tính toán giá trị biểu thức được dễ dàng và thường là nhanh hơn.

* Chú ý 2: HS thường mắc sai lầm khi trình bày như sau:

Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = (-)2 + 32 =

Trình bày như thế không đúng, vì vế trái là một biểu thức, còn vế phải là giá trị của biểu thức tại một giá trị cụ thể của biến, hai bên không thể bằng nhau.

* Ví dụ 3: Tính  C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8

* Chú ý 3: Lũy thừa bậc n của một đơn thức là nhân đơn thức đó cho chính nó n lần. Để tính lũy thừa bậc n một đơn thức, ta chỉ cần:

– Tính lũy thừa bậc n của hệ số

– Nhân số mũ của mỗi chữ cho n.

* Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:

a) x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3)

Ta có: x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) = 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + 3 = 3

b) 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1)

Ta có: 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1)

 = 4x – 24 – 2x2 – 3x3 + 5x2 – 4x + 3x3 – 3x2 = – 24

Kết quả là mọt hằng số, vậy các đa thức trên không phụ thuộc vào giá trị của x.

* Ví dụ 5: Tìm x, biết:

a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = – 100

60x2 + 35x – 60x2 + 15x = -100

50x = -100

x = – 2

b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138

0,6x2 – 0,3x – 0,6x2 – 0,39x = 0,138

-0,69x = 0,138

x = 0,2