Chứng Minh Và Tính Toán Các Yếu Tố Trong Tam Giác Cân Và ... - Tech12h

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Muốn chứng minh một tam giác là cân ta có hai cách:

• Cách 1: Theo định nghĩa - chứng minh nó có hai cạnh bằng nhau.
• Cách 2: Theo mệnh đề ngược của tính chất: Nếu tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. (Cần chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau)

- Muốn chứng minh một tam giác là tam giác đều có ba cách:

• Cách 1: Theo định nghĩa - chứng minh nó có ba cạnh bằng nhau.
• Cách 2: Theo mệnh để ngược của tính chất: Chứng minh ba góc bằng nhau.
• Cách 3: Chứng minh tam giác là cân và có một góc bằng 60$^{\circ}$

- Các trường hợp bằng nhau của tam giác cân: Do chúng có hai góc ở đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau nên ứng với ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường ta có với tam giác cân.

• Trường hợp 1: Hai tam giác cân có cạnh đáy và một cạnh bên bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau (vì một cạnh bên bằng nhau thì suy ra cạnh bên thứ hai cũng bằng nhau vậy chúng có ba cạnh bằng nhau)
• Trường hợp 2: Hai tam giác cân có một cạnh bên và một góc ở đỉnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau (vì một cạnh bên bằng nhau thì suy ra cạnh bên thứ hai cũng bằng nhau, vậy chúng bằng nhau theo (c.g.c).
• Trường hợp 3: Hai tam giác cân có một cạnh đáy và một góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó bằng nhau (g.c.g).

Tóm lại: Muốn chứng minh hai tam giác cân bằng nhau cần hai yếu tố, trong đó yếu tố góc không quá 1.

- Với tam giác đều chỉ cần một cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Tránh nhầm lẫn: khi chứng minh hai tam giác bằng nhau trong đó mới biết một tam giác ở dạng đặc biệt (cân, đều) còn tam giác kia chưa biết gì thì phải áp dụng một trong ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường để chứng minh. Khi chứng minh được chúng bằng nhau rồi thì mới kết luận hai tam giác này cân thì tam giác thứ hai cũng cân.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC cân tại A, trên tia đối của tia BC lấy điểm D; trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng $\Delta $ADE cân tại A.

Hướng dẫn:

$\Delta $ABC cân tại A nên AB = AC

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

$\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^{\circ}$

$\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

Xét $\Delta $ABD và $\Delta $ACE có:

AB = AC

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

BD = CE

$\Rightarrow $ $\Delta $ABD = $\Delta $ACE (c.g.c)

$\Rightarrow $ AD = AE

Xét $\Delta $ADE có AD = AE nên $\Delta $ADE cân tại A.

Ví dụ 2: Cho $\Delta $ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho BE = AF = PC. Chứng minh $\Delta $EFP là tam giác đều.

Hướng dẫn:

Ta có:

AB = BC = AC

BE = CP = AF

AB = AE + EB; BC = BP + PC; AC = AF + FC

$\Rightarrow $ AE = BP = FC

Xét 3 tam giác $\Delta $AFE, $\Delta $BEF và $\Delta $CPF có:

• AF = BE = CP (giả thiết)
• AE = BP = FC
• $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ (góc của tam giác đều)

$\Rightarrow $ $\Delta $AFE = $\Delta $BEF = $\Delta $CPF

$\Rightarrow $ EF = PE = FP$

Do đó $\Delta $EFP là tam giác đều (3 cạnh bằng nhau)