Chuỗi Số. Tổng Của Chuỗi (Series. The Total Sum Of Series)

Có thể bạn quan tâm

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-2E

1. Các khái niệm

1.1 Định nghĩa 1:

Cho dãy số thực vô hạn $u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n}, ...$

Các số $u_{1}, u_{2}, u_{3}, ..., u_{n}, ...$ được gọi là số hạng của chuỗi, $u_{n}$ được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi.

Một dãy là được cho nếu biết quy luật tính số hạng tổng quát thứ n của nó.

1.2 Định nghĩa 2:

Tổng n hữu hạn số hạng đầu của chuỗi gọi là tổng riêng phần thứ n của chuỗi (sequence of partial sum): $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n} = {\sum\limits_{i=1}^{n}u_i}$ .

Nếu $\lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = S$ hữu hạn thì ta nói chuỗi hội tụ (convergent).

Nếu $\lim\limits_{n \to \infty} S_{n} = {\pm}{\infty}$ hoặc không tồn tại ta nói chuỗi phân kỳ (divergent)

Thí dụ 1.2.1:

Xét chuỗi cấp số nhân: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n$ (geometric series)

Ta có: $S_{n} = 1 + q + ... + q^n$

Nếu q =1 ta có: $S_{n} = n \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} S_n = + \infty$

Vậy chuỗi phân kỳ.

Nếu q ≠ 1 ta có:

$S_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} q^k = { \dfrac{q^{n}}{q-1}} - { \dfrac{1}{q-1}}$

Ta tìm: $\lim\limits_{n \to \infty}S_n$

Nếu |q| < 1 thì $S_{n} \underset{n \to \infty}{\rightarrow} \dfrac{1}{1- q}$ , do đó chuỗi hội tụ và có tổng bằng $\dfrac{1}{1- q}$

Nếu q> 1 thì $S_{n}$ không có giới hạn hữu hạn, do đó chuỗi phân kỳ.

Nếu q = -1 thì $S_{n} = 1-1+1-1+...$ do đó $S_{n} = \left \{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right.$

Vậy $S_{n}$ không có giới hạn và chuỗi đã cho phân kỳ.

Như vậy, cấp số nhân với số hạng đầu khác không hội tụ khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.

Image via Wikipedia

Thí dụ 1.2.2:

Cho q = 1/3 ta được:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{3}{2}$ (do $q = \dfrac{1}{3} \langle 1$ )

Cho q = -1/4 ta được:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{-1}{4}\right)^n = \dfrac{4}{5}$ (do $|q| = \dfrac{1}{4} \langle 1$ )

Thí dụ 1.2.3:

Tìm tổng của chuỗi: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$

Lập tổng $S_{n}$ ta có:

Phân tích số hạng thứ n ta có:

$\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$

Do đó: $S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} = \left(1-\dfrac{1}{2}\right) +\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + ... + \left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right) + \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$

Hay: $S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$

Dễ dàng thấy tổng Sn hội tụ về 1 nên chuỗi đã cho hội tụ và có tổng S = 1

Thí dụ 1.2.4:

Tìm tổng của chuỗi: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$

Dự đoán: Sử dụng Maple vẽ tổng của $S_{n}$ với n = 10.000 ta có:

>>plot(Sn, 1 .. 10000);

Dựa vào đồ thị của Sn ta thấy đường cong luôn tiệm cận với 0.25. Suy ra, ta có thể dự đoán chuỗi số này hội tụ đến 1/4.

Dựa vào dự đoán trên ta sẽ chứng minh chuỗi trên hội tụ và có tổng bằng $\dfrac{1}{4}$

Phân tích số hạng thứ n thành thừa số. Ta có:

$u_n = \dfrac{1}{2n} - { \dfrac{1}{n+1}} + { \dfrac{1}{2(n+2)}}$

Khi đó, tổng Sn sẽ là: $- { \dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}} + { \dfrac{1}{4}}$ .

Rõ ràng, qua giới hạn, Sn hội tụ về 1/4. Vậy chuỗi đã cho hội tụ tổng của chuỗi bằng 1/4

Nhận xét:

Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng phần thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát thành các thừa số có tính chất truy hồi.

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2 3

Thảo luận

70 bình luận về “Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)”

thầy ơi cho em hỏi bài này làm thế nào: tính tổng chuỗi S(x) = \sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n \dfrac{\cos nx}{n^2-1}.

ThíchThích
Posted by iminhhoang | 21/06/2015, 12:09 Reply to this comment
cho em hoi phan chung minh cua dinh ly gia tri trung binh mo rong?

ThíchThích
Posted by phiho | 26/11/2011, 14:38 Reply to this comment
Thầy ơi cho em hỏi tại sao khi khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số có dấu tùy ý người ta thường dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alembert vậy?

ThíchThích
Posted by Phạm Nguyễn Chí Cường | 25/11/2011, 21:29 Reply to this comment
thầy ơi, em không hiểu làm sao mà từ Un = 1/2n – 1/n+1 + 1/2(n+2) => Sn = -1/2(n+1)(n+2) + 1/4

ThíchThích
Posted by plth | 15/11/2011, 08:30 Reply to this comment
Thầy làm ơn cho hỏi, tổng diện tích của 1 hình fractal được vẽ bằng đường cong Kock có là vô cực ko?

ThíchThích
Posted by Vương Vũ | 26/09/2011, 12:37 Reply to this comment
- Tổng diện tích của 1 hình fractal được vẽ bằng đường cong Koch sẽ dần tiến đến 1 số hữu hạn. Em có thể xem chi tiết tại: http://www.tgmdev.be/curvevonkoch.php#Area và http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 26/09/2011, 23:57 Reply to this comment
Thầy ơi, thầy giải giùm em 2 bài này với,thank thầy nhiều. 1.Cmr: 1 +1/2^3 +1/3^3 +…+1/n^3 +…= 4/3( 1/1^3 -1/2^3 + 1/3^3 -1/4^3 +…) 2.Sum (cosa/n)^(n^3) (a thuộc R).Xét sự hội tụ.

ThíchThích
Posted by Long | 06/04/2011, 16:35 Reply to this comment
thầy ơi cho con hỏi cách tìm công thức của số hạng thứ n? tìm như thế nào vậy thầy. nếu cho chuỗi 2/1+3/4+4/9+5/16+… mình tìm sao thầy. Con bị mất căn bản phần này rồi thầy chỉ con với.cám ơn thầy

ThíchThích
Posted by tuyet | 13/02/2011, 16:55 Reply to this comment
- Để tìm công thức của số hạng thứ n, em cần chú ý tìm quy luật thay đổi của các số hạng: giữa số thứ 2 với số thứ 1, số thứ 3 với số thứ 2,… Ta có: a1 = 2/1 ; a2 = 3/4 ; a3 = 4/9 ; a4 = 5/16 Các số này có tử tăng dần (2,3,4,5) . Mẫu số là 1, 4, 9, 16 là những số chính phương. 1 = 1^2, 4 = 2^2, 9 = 3^2, 16 = 4^2 Vậy a1 = 2/(1^2) ; a2 = 3/(2^2) ; a3 = 4/(3^2) ; a4 = 5/(4^2). Vậy nếu tiếp tục thì a5 = 6/(5^2); a6 = 7/(6^2); … an = (n+1)/(n^2).
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 14/02/2011, 19:06 Reply to this comment
Em thưa thầy, làm thế nào để tính tổng của một chuỗi hàm luỹ thừa ạ ?

ThíchThích
Posted by cashy | 06/01/2011, 19:33 Reply to this comment
Thưa thầy, thầy có thể gợi ý cho em bài sau được không ạ? Xét sự hội tụ của chuỗi số: sum sin(pi*(2+sqrt3)^n), n = 1..infinity. em xin cảm ơn thầy!

ThíchThích
Posted by Nguyễn Thái Hoàng | 27/05/2010, 21:19 Reply to this comment
thầy ơi, em muốn hỏi là: Tại sao khi nghiên cứu về chuỗi số người ta chỉ nghiên cứu tính hội tụ hay phân kì của nó mà không quan tâm đến tổng của chuỗi bằng bao nhiêu vậy a.

ThíchThích
Posted by TM | 26/04/2010, 11:05 Reply to this comment
- Không phải là không quan tâm đến chuỗi, mà vì không phải chuỗi nào cũng có thể lập được tổng riêng phần Sn để tìm tổng của chuỗi. Do đó, trước tiên, khi làm việc với chuỗi, người ta quan tâm xem chuỗi đó có hội tụ không? Nếu phân kỳ thì khỏi phải tìm tổng cho mất công, còn nếu chuỗi hội tụ thì người ta sẽ tìm cách khác để tính tổng của chuỗi (thông qua chuỗi hàm, chuỗi Fourier,…. )
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 26/04/2010, 18:42 Reply to this comment