[Giải Tích III] Tính Tổng Chuỗi Số Hay Và Khó

Trang chủ » Tổng Chuỗi Cấp Số Nhân » [Giải Tích III] Tính Tổng Chuỗi Số Hay Và Khó

Có thể bạn quan tâm

Bài toán tính tổng của chuối số dựa trên tổng riêng S_n là một dạng toán cơ bản trong chương Chuỗi số. Để tính tổng của chuỗi số ta có nhiều cách khác nhau:

  1. Dùng triệt tiêu các số hạng liền kề
  2. Dùng cấp số nhân với công bội thuộc (-1; 1)
  3. Dùng đạo hàm, tích phân trong chuỗi luỹ thừa
  4. Dùng khai triển Maclaurin hoặc Taylor
  5. Dùng khai triển Fourier.

Trong bài viết này chỉ nhắc đến cách làm Dùng triệt tiêu các số hạng liền kề. Chúng ta cùng nhau đi làm những bài tập sau:

Bài tập 1. Tính tổng của chuỗi sau:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3n^2+3n+1}{n^3(n+1)^3}

Bài làm:

Đây không phải là một bài khó, chúng ta có thể làm dễ dang bằng cách dùng đồng nhất hệ số để có thể đưa số hạng tổng quát của nó về thành những số hạng đơn giản. Nhưng ở đây chúng ta có thể làm nhanh như sau:

u_n =  \dfrac{3n^2+3n+1}{n^3(n+1)^3} =\dfrac{(n+1)^3 - n^3}{n^3(n+1)^3} =\dfrac{1}{n^3} - \dfrac{1}{(n+1)^3}

Suy ra, S_n = \sum_{i=1}^{n} u_i = 1-\dfrac{1}{(n+1)^3}   nên S = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n = 1

Bài tập 2. Tính tổng của chuỗi sau:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}

Bài làm:

Ta có:

S_n = (\sqrt{3} - 2\sqrt{2} +\sqrt{1}) + (\sqrt{4} -2\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5}-2\sqrt{4}+\sqrt{3}) +(\sqrt{6} -2\sqrt{5} +\sqrt{4}) + ... + (\sqrt{n} - 2\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}) + (\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})

Nhận thấy, 3 số hạng liền kề sẽ triệt tiệu được cho nhau một chút

 Do đó, suy ra: S_n = 1-\sqrt{2} + \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}

S = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1-\sqrt{2} + \dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \right) = 1-\sqrt{2}

Bài tập tương tự: Tính tổng của chuỗi

\sum_{n=1}^{\infty} (\ln{n}-2\ln{(n+1)}+\ln{(n+2)})

Bài tập 3. Tính tổng của chuỗi sau:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan{\dfrac{1}{1+n(n+1)}}

Bài làm.

Ta đã biết: \tan{(x-y)} = \dfrac{\tan{x}-\tan{y}}{1+\tan{x}\tan{y}}

Ta có

u_n =  \arctan{\dfrac{1}{1+n(n+1)}} = \arctan{\dfrac{\dfrac{1}{n(n+1)}}{1+\dfrac{1}{n(n+1)}}} = \arctan{\dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n}.\dfrac{1}{n+1}}}

Đặt \dfrac{1}{n} = \tan{x}, \dfrac{1}{n+1} = \tan{y} thì ta có:

u_n = \arctan{\dfrac{\tan{x} - \tan{y}}{1+\tan{x}\tan{y}}} =\arctan{\tan{(x-y)}} = x-y

hay u_n = \arctan{\dfrac{1}{n}} - \arctan{\dfrac{1}{n+1}}

Do đó, S_n = \arctan{1} - \arctan{\dfrac{1}{n+1}} suy ra S = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n = \dfrac{\pi}{4}

Bài tập tương tự: Tính tổng của chuỗi số

S = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan{\dfrac{2}{1+n(n+2)}}

Bài tập 4. Tính tổng của chuỗi số sau:

S = \sum_{n=2}^{\infty} \ln{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)}

Bài làm.

Ta có, u_n = \ln{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = \ln{\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^2}}

Do đó,

S_n =\sum_{i=2}^{n} \ln{\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)} = \ln{\prod_{i=2}^{n} \dfrac{(i-1)(i+1)}{i^2}} = \ln{\dfrac{(1.2.3.....(n-1)) (3.4.5.....(n+1))}{(2.3.4.....n)^2}} S_ n = \ln{\dfrac{n+1}{2n}}

nên S = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n = \ln{\dfrac{1}{2}}

Bài tập 5. Tính tổng của chuối số sau:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n^4+n^2+1}

Bài làm.

Ta có,

u_n = \dfrac{n}{n^4+n^2+1} = \dfrac{1}{2}. \left(\dfrac{1}{n^2-n+1} - \dfrac{1}{n^2+n+1}\right)

Do đó

2.S_n = \left(1-\dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{7}\right) + ... + \left(\dfrac{1}{n^2-n+1} - \dfrac{1}{n^2+n+1} \right) = 1- \dfrac{1}{n^2+n+1}

Suy ra, S = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n = 1/2

Bài tập 6. Tính tổng của chuỗi số sau:

S=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin{\dfrac{1}{n(n+1)}}}{\cos{\dfrac{1}{n}}.\cos{\dfrac{1}{n+1}}}

Bài làm.

Ta có,

u_n = \dfrac{\sin{\dfrac{1}{n(n+1)}}}{\cos{\dfrac{1}{n}}.\cos{\dfrac{1}{n+1}}} = \dfrac{\sin{\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)}}{\cos{\dfrac{1}{n}}.\cos{\dfrac{1}{n+1}}} = \tan{\dfrac{1}{n}}-\tan{\dfrac{1}{n+1}}

Do đó, S_n = \tan{1} - \tan{\dfrac{1}{n+1}} suy ra S = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n = \tan{1}

hoan.ph

Share this:

  • Twitter
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » Tổng Chuỗi Cấp Số Nhân