Chương 5: Phương Trình Vi Phân - 123doc

1 Phương trình tách biến 2 Phương trình thuần nhất 3 Phương trình vi phân toàn phần 4 Phương trình tuyến tính cấp một 5 Phương trình Bernoulli. 6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai [r]

VI TÍCH PHÂN A2

Chương 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CBGD Lê Hoài Nhân

Ngày 30 tháng 12 năm 2015

Phương trình tách biến

Phương trình vi phân tách biếnlà phương trình có dạng

M(x).dx + N(y).dy = 0trong đó M và N là các hàm số một biến

Lấy tích phân hai vế trong phương trình trên ta được tích phân tổngquát sau:

ZM(x).dx +

ZN(y).dy = C

Giải các phương trình tách biến sau

Bài tập Phương trình tách biến

Giải các phương trình sau:

Phương trình thuần nhất

Định nghĩa 2.2

Phương trình vi phân thuần nhấtlà phương trình có dạng

y0 = f (x, y )trong đó f (x, y) là hàm thuần nhất

Thay y và y0 vào phương trình ban đầu ta thu được phương trìnhtách biến với ẩn hàm u

Phương trình vi phân toàn phần

Định nghĩa 3.1

Phương trình vi phân toàn phần là phương trình có dạng

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0trong đó P và Q là các hàm số hai biến x, y thỏa điều kiện ∂P

∂Q

∂x.

Cách giải 3.1

Tìm hàm φ(x, y) là thế vị của trường vector −→F = P−→i + Q−→j

Tích phân tổng quát của phương trình trên có dạng φ(x, y ) = C

Phương trình vi phân toàn phần

Thừa số tích phân

Bài toán 3.1

Giả sử phương trình M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 không phải là phươngtrình vi phân toàn phần Hãy tìm một hàm số µ = µ(x, y) sao cho phươngtrình

µ(x, y ).M(x, y )dx + µ(x, y ).N(x, y )dy = 0

là phương trình vi phân toàn phần

Thừa số tích phân

Bài toán 3.1

Giả sử phương trình M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 không phải là phươngtrình vi phân toàn phần Hãy tìm một hàm số µ = µ(x, y) sao cho phươngtrình

Phương trình tuyến tính cấp một

y0+ P(x).y = Q(x)

Phương trình tuyến tính cấp một

y0+P(x).y =Q(x)Công thức nghiệm

y =e− R P(x)dxZ Q(x)eR P(x)dxdx + C



Phương trình tuyến tính cấp một

y0+P(x).y =Q(x)Công thức nghiệm

Phương trình tuyến tính cấp một III

Xem xét y = 0 có là nghiệm của phương trình hay không.

Giả sử y 6= 0 Chia hai vế của phương trình cho yα và đặt z = y1−α

Chuyển phương trình về dạng tuyến tính cấp một với ẩn hàm z.Giải phương trình này và suy ra nghiệm y

Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Định nghĩa 6.1

Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng là phương trình có dạng

y00+ py0+ qy = f (x) (1)với p, q là các hằng số

Nếu f (x) ≡ 0 thì ta có phương trình thuần nhất.

Nếu f (x) không đồng nhất 0 thì ta có phương trình không thuần nhất.

Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Định nghĩa 6.1

Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng là phương trình có dạng

y00+ py0+ qy = f (x) (1)với p, q là các hằng số

Nếu f (x) ≡ 0 thì ta có phương trình thuần nhất.

Nếu f (x) không đồng nhất 0 thì ta có phương trình không thuần nhất.

Phương trình bậc hai (ẩn k): k2

+ pk + q = 0 (2) được gọi làphương trình đặc trưng của phương trình (1)

Phương trình thuần nhất y00+ py0+ qy = 0

k2

nghiệm thực, phân biệt y = C1ek 1 x+ C2ek 2 x

nghiệm phức dạng a ± ib y = eax(C1.cos bx + C2sin bx)trong đó C1,C2 là các hằng số

Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất

Ta giải phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất

y00+ py0+ qy = f (x) theo các bước sau đây:

1 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất (1)

2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất (2) bằngcách dựa vào dạng của vế phải f (x)

Vế phải có dạng f (x) = eαx.Pn(x)

Nếu của phương trình đặc trưng thì Y có dạng

Nghiệm riêng của phương trình với vế phải

Nghiệm riêng của phương trình với vế phải

f (x) = eαx(Ur(x) cos βx + Vs(x) sin βx)

Nếu

α ± βi không là nghiệm Y = eα x(Pn(x) cos βx + Qn(x) sin βx)

α ± βi là nghiệm đơn Y = eα xx(Pn(x) cos βx + Qn(x) sin βx)

Trong đó n = max(r, s); Pn(x) và Qn(x) là đa thức bậc n mà các hệ sốcủa chúng cần được xác định

Nghiệm riêng của phương trình với vế phải

f (x) = eαx(Ur(x) cos βx + Vs(x) sin βx)

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT

của p.trình đặc trưng thì Y có dạng

f (x) = a sin βx ±βi không là nghiệm Y = A cos βx + B sin βx

±βi là nghiệm đơn Y =x(A cos βx + B sin βx)

f (x) = a cos βx ±βi không là nghiệm Y = A cos βx + B sin βx

±βi là nghiệm đơn Y =x(A cos βx + B sin βx)

Nghiệm riêng của phương trình với vế phải

Nguyên lý chồng chất nghiệm

Định lý 6.1

Nếu Y1 và Y2 lần lượt là nghiệm của phương trình:

y00+ py0+ qy = f1(x)và

y00+ py0+ qy = f2(x)thì Y1+ Y2 là nghiệm của phương trình

y00+ py0+ qy = f1(x) + f2(x)