Chuyên đề 4: Nguyên Hàm, Tích Phân, ứng Dụng

• Trang Chủ
• Đăng ký
• Đăng nhập
• Upload
• Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Chuyên đề 4: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng

Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM

1. Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên

K nếu F' (x)= f (x) ∀x  ∈K

2. Các tính chất

Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f

trên K đều có dạng F (x)+ C, C ∈
R . Do vậy F (x)+ C, gọi là họ nguyên hàm của

hàm f trên K và được kí hiệu:

55 trang ngochoa2017 1831 0 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề 4: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênŀ Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 309 Chuyên đề IV NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu ( ) ( )F' x f x x K= ∀ ∈ . 2. Các tính chất Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng ( )F x C, C+ ∈
. Do vậy ( )F x C+ gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu: ( ) ( )f x dx F x C= +∫ . Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Định lí 3. Nếu f ,g là hai hàm liên tục trên K thì: a) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( )k.f x dx k f x dx=∫ ∫ với mọi số thực k 0≠ . Định lí 4. Nếu ( ) ( )f x dx F x C= +∫ thì ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f u x .u' x dx f u x .d u x F u x C= = +∫ ∫ . 3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp ( )( )u u x= * xdx x C= +∫ * 1x x dx C ( 1) 1 α+ α = + α ≠ − α +∫ * dx ln| x | C x = +∫ * x xe dx e C= +∫ * x x aa dx C lna = +∫ * sinxdx cosx C= − +∫ * cosxdx sinx C= +∫ * udu u C= +∫ * 1u u du C 1 α+ α = + α +∫ * du ln|u| C u = +∫ * u ue du e C= +∫ * u u aa du C lna = +∫ * sinu.du cosu C= − +∫ * cosudu sinu C= +∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 310 Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp ( )( )u u x= * 2 dx tanx C cos x = +∫ * 2 dx cot x C sin x = − +∫ * dx 2 x C x = +∫ * 2 du tanu C cos u = +∫ * 2 du cot u C sin u = − +∫ * dx 2 u C u = +∫ Nếu u ax b= + thì ta có: * dx 1 ln|ax b| C ax b a = + + +∫ * ax b ax b 1 e dx e C a + += +∫ * ( ) ( ) cos ax b sin ax b dx C a + + = − +∫ * ( ) ( ) sin ax b cos ax b dx C a + + = +∫ * ( ) ( )2 dx 1 tan ax b C acos ax b = + + +∫ * ( ) ( )2 dx 1 cot ax b C asin ax b = − + + +∫ * dx 2 ax b C aax b = + + +∫ 4. Các phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp phân tích: Để tìm nguyên hàm ( )f x dx∫ , ta phân tích ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x k .f x k .f x ... k .f x= + + + Trong đó: ( ) ( ) ( )1 2 nf x , f x ,...,f x có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x dx k f x dx k f x dx ... k f x dx= + + +∫ ∫ ∫ ∫ . Phương pháp từng phần: Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ ]a;b và có đạo hàm liên tục trên [ ]a;b . Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 311 Khi đó: ( )udv uv vdu 1= −∫ ∫ Để tính tích phân ( )I f x dx= ∫ bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: B1: Chọn u,v sao cho ( )f x dx udv= (chú ý: ( ) dv v’ x dx= ). Tính v dv= ∫ và du u'.dx= . B2: Thay vào công thức ( )1 và tính vdu∫ . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu∫ dễ tính hơn udv∫ . Ta thường gặp các dạng sau Dạng 1: ( )I x .sinxdx (x).cosxdx= ∫ ∫hoaëc , trong đó ( )P x là đa thức Với dạng này, ta đặt ( )u P x , dv sinxdx. dv cosxdx.= = =hoaëc . Dạng 2: ( ) ax bI P x e dx+= ∫ Với dạng này, ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx+  =  = , trong đó ( )P x là đa thức Dạng 3: ( ) ( )I P x ln mx n dx= +∫ Với dạng này, ta đặt ( ) ( ) u ln mx n dv P x dx  = +  = . Dạng 4: x xI sinxe dx I cosxe dx= =∫ ∫hoaëc Với dạng này, ta đặt x sinx u cosx dv e dx    =      = để tính vdu∫ ta đặt x sinx u cosx dv e dx    =      = . Phương pháp đổi biến số Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( )I f x dx= ∫ , trong đó ta có thể phân tích ( ) ( )( ) ( )f x g u x u' x dx= thì ta thực hiện phép đổi biến số ( ) ( )t u x dt u' x dx= ⇒ = . Khi đó: ( ) ( ) ( )( )I g t dt G t C G u x C= = + = +∫ Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( )t u x= Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 312 Ví dụ 1. Tính họ nguyên hàm: 3 1 I x dx x  = −   ∫ Lời giải Ta có : 3 3 3 1 3 1 x x 3x x x x  − = − + −    nên suy ra : 4 2 3 3 2 3 1 x 3x 1 I x 3x dx 3ln x C x 4 2x 2x   = − + − = − + + +   ∫ . Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm: ( )2x xI e 2e dx−= +∫ Lời giải Ta có: ( )2x x 2x 2xe 2e e 4 4.e− −+ = + + Suy ra: ( )2x 2x 2x 2x1I e 4 4e dx e 4x 2e C 2 − −= + + = + − +∫ Ví dụ 3. Tính họ nguyên hàm: 2 x 2 I dx 2x 5x 2 + = − +∫ Lời giải Ta có: ( )( )22x 5x 2 2x 1 x 2− + = − − và ( ) ( )4 5x 2 2x 1 x 2 3 3 + = − − − Suy ra: 4 1 5 1 I dx 3 x 2 3 2x 1  = − − − ∫ 4 5 ln x 2 ln 2x 1 C 3 6 = − − − + . Ví dụ 4. Tính họ nguyên hàm: ( )3I cos3x.cos4x sin 2x dx= +∫ Lời giải Ta có : [ ]1cos3x.cos4x cos7x cosx , 2 = + 3 3 1 sin 2x sin2x sin6x 4 4 = − Nên suy ra: 1 1 3 1 I cos7x cosx sin2x sin6x dx 2 2 4 4  = + + −   ∫ 1 1 3 1 sin7x sinx cos2x cos6x C 14 2 8 24 = + − + + . Ví dụ 5. Tính họ nguyên hàm: 4I cos 2xdx= ∫ Lời giải Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 313 Ta có: ( ) ( )24 21 1cos 2x 1 cos4x 1 2cos4x cos 4x 4 4 = + = + + ( )1 1 cos8x 11 2cos4x 3 4cos4x cos8x 4 2 8 + = + + = + +    ( )1 1 1I 3 4cos4x cos8x dx 3x sin4x sin8x C 8 8 8  ⇒ = + + = + + +   ∫ 5) Ta có: 2 2 1 I cos x 2 dx cos x   = + −   ∫ ( ) dx 1 tanx 2x cos2xd 2x 2 4 = − + +∫ ∫ 3 1 tanx x sin2x C 2 4 = − + + . Ví dụ 6. Tính họ nguyên hàm: 3 2 x 2x 1 I dx x 2x 1 + + = + +∫ Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( )3 23x 2x 1 x 1 3 x 1 5 x 1 2+ + = + − + + + − Suy ra ( )2 5 2 I x 2 dx x 1 x 1    = − + −  + +  ∫ 2x 2 2x 5ln x 1 C 2 x 1 = − + + + + + . Ví dụ 7. Tính họ nguyên hàm: 2 3 2 2x x 6 I dx x 5x 6x + + = + +∫ Lời giải Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích: ( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + (1) Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau Cách 1: Đồng nhất các hệ số (1) ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + + a b c 2 2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6 6b 6 + + =  ⇔ + + = ⇔ = = = −  = Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 314 Do đó, 2 3 2x x 6 7 1 6 dx dx x 3 x x 2x 5x 6 + +  = + − + + + +∫ ∫ Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + . Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào (1) ta có được a 7,b 1,c 6= = = − và ta có kết quả như trên. Ví dụ 8. Tính họ nguyên hàm: sin2xdx I 1 4sinx = +∫ Lời giải Ta có: sinxcosxdx I 2 1 4sinx = +∫ Đặt t 1 1 t 1 4sinx sinx cosxdx dt 4 4 − = + ⇒ = ⇒ = Suy ra: ( ) t 1 1 dt 1 1 14 4I 2 1 dt t ln t C t 8 t 8 −   = = − = − +   ∫ ∫ . ( )1 1 4sinx ln 1 4sinx C 8 = + − + + . Ví dụ 9. Tính họ nguyên hàm: 3 sin2x 3cosx I dx 1 1 2sinx + = + +∫ Lời giải Ta có: ( ) 3 2sinx 3 cosxdx I 1 1 2sinx + = + +∫ Đặt ( )33 t 1 1t 1 1 2sinx sinx 2 − − = + + ⇒ = ( )23cosxdx t 1 dt 2 ⇒ = − ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23t 1 2 t 1 dt t 2t 3 t 2t 1 dt32I t 2 t  − + − − + − +  ⇒ = =∫ ∫ 3 2 3 3 t 4t 8t 8 dt 2 t   = − + − +   ∫ 4 3 23 t 4t 4t 8t 3ln t C 2 4 3   = − + − + +     với 3t 1 1 2sinx= + + . Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 315 Ví dụ 10. Tính họ nguyên hàm: x 1 I dx x 2 − = +∫ Lời giải Đặt ( ) 2 2 22 x 1 2t 1 6t t x dx dt x 2 1 t t 1 − + = ⇒ = ⇒ = + − − ( ) ( ) 2 2 2 22 2 6t 1 1 I dt 6 dt t 1t 1 t 1     ⇒ = = +  − − −   ∫ ∫ Mà: ( ) ( ) ( )( )2 t 1 t 11 1 1 1 1 2 t 1 t 1 2 t 1 t 1t 1 + − −  = = − − + − +−   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 t 1 t 11 1 4 t 1 t 1t 1  + − − = − +− ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 4 t 1 t 1t 1 t 1    = + + − + − − +  Suy ra: 2 dt 1 t 1 ln 2 t 1t 1 − = +−∫ ; ( )22 dt 1 t 1 1 1 ln 4 t 1 t 1 t 1t 1  − = − + + + − + − ∫ . Vậy: 2 3 t 1 3t I ln C 2 t 1 t 1 − = − + + − với x 1 t x 2 − = + . Ví dụ 11. Tính họ nguyên hàm: x x e 4 I dx 4e 1 + = +∫ Lời giải Đặt ( ) x 2 x x x 2 22 e 4 t 4 30t t e e dx dt 4e 1 4t 1 4t 1 + − = ⇒ = − ⇒ = − + − − ( )( )2 2 30t dx dt t 4 4t 1 ⇒ = − − Suy ra ( )( ) 2 2 22 2 t dt 1 4 I 30 2 dt t 4 4t 1t 4 4t 1   = = −  − − − − ∫ ∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 316 1 t 2 2t 1 ln ln C 2 t 2 2t 1 − − = − + + + với x x e 4 t 4e 1 + = + . Ví dụ 12. Tính họ nguyên hàm: ( ) lnx.dx I x 1 3lnx 2 = + + ∫ Lời giải Đặt 2t 2 dx 2 t 3lnx 2 lnx tdt 3 x 3 − = + ⇒ = ⇒ = Suy ra 2 2 t 2 2 . tdt 2 13 3I t t 1 dt 1 t 9 t 1 −   = = − − + + + ∫ ∫ ( ) 3 22 t t t ln t 1 C 9 3 2   = − − + + +     , với t 3lnx 2= + . Ví dụ 13. Tính họ nguyên hàm: 3xI sin2x.e dx= ∫ Lời giải Cách 1 : Ta có : ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2sin2x.e sin2x e ' sin2x '.e cos2xe 3 3  = + −   ( ) ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2 4sin2x.e ' cos2x. e ' cos2x 'e sin2x.e 3 9 9  = − + −   ( ) ( )3x 3x 3x13 1 2sin2x.e sin2x.e ' cos2x.e ' 9 3 9 ⇒ = − 3x 3x 1 2 sin2x.e cos2xe ' 3 9   = −    Suy ra : 3x 3x 3x 3 2 sin2xe dx sin2xe cos2xe ' 13 13   = −    ( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C 13 = − + . Cách 2 : Ta giả sử : 3x 3x 3xsin2x.e dx a.sin2x.e b.cos2x.e C= + +∫ Lấy đạo hàm hai vế ta có : ( ) ( )3x 3x 3x 3x 3xsin2x.e a 2cos2xe 3sin2x.e b 3cos2x.e 2sin2x.e= + + − 3a 2b 1 3 2 a ,b 13 132a 3b 0 − = ⇔ ⇔ = = − + = Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 317 Vậy ( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C 13 = − + . Bài tập tự luyện 1. Tìm họ nguyên hàm: 3 2x 1 I dx x 3x 2 + = − + ∫ Hướng dẫn giải: ( ) ( ) ( )3 2 2 2x 1 2x 1 a b c x 1 x 2x 3x 2 x 1 x 2 x 1 + + = = + + − +− + − + − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a x 2 b x 1 x 2 c x 1 x 1 x 2 + + − + + − = − + ( ) ( )( ) ( ) ( )22x 1 a x 2 b x 1 x 2 c x 1 1⇔ + = + + − + + − Ở ( )1 ta cho x 1;x 2;x 0= = − = ta có tìm được: 1 1a 1;b ;c 3 3 = = = − ( )2 1 1 1 1 1 I dx 3 x 1 3 x 2x 1    ⇒ = + −  − +−  ∫ 1 1 1 1 1 x 1 ln x 1 ln x 2 C ln C x 1 3 3 x 1 3 x 2 − = − + − − + + = − + + − − + Chú ý: ( )( ) ax b dx cx dx + −α −β∫ • Tách phân thức trong tích phân trở thành: 1 1 p q cx dx    +   −α −β    • Lấy nghiệm của cx −α thay vào ax b dx + −β ta được p • Lấy nghiệm của dx −β thay vào ax b cx + −α ta được q 2. Tìm họ nguyên hàm: 3 5x 1 I dx x 3x 2 + = − +∫ Hướng dẫn giải: Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích: ( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + ( )1 Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau Cách 1: Đồng nhất các hệ số ( )1 ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + + Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 318 a b c 2 2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6 6b 6 + + =  ⇔ + + = ⇔ = = = −  = Do đó, 2 3 2x x 6 7 1 6 dx dx x 3 x x 2x 5x 6 + +  = + − + + + +∫ ∫ Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + . Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào ... một hình tròn có bán kính ( )R |f x |= nên diện tích thiết diện bằng ( ) ( )2 2S x R f x= pi = pi . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: ( ) ( ) b b 2 a a V S x dx f x dx= = pi∫ ∫ . Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường ( ) ( )y f x ,y g x ,= = x a, x b= = (Với ( ) ( ) [ ]f x .g x 0 x a;b≥ ∀ ∈ ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: ( ) ( ) b 2 2 a V f x g x dx= pi −∫ . Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường ( )x g y , y a, y b, Oy= = = quanh trục Oy được tính theo công thức: ( ) b 2 a V g y dy= pi∫ . Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau 2x y 4 , 4 = − 2x y 4 2 = x ( )y f x= a b y x 0 Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 356 Lời giải Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 2x y 4 4 = − và 2x y 4 2 = : 2 2 2 4 2x x x x4 4 x 8 x 2 2 4 4 324 2 − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± . Trên 2 2;2 2 −  , ta có: 2 2x x 4 4 4 2 − ≥ nên diện tích cần tính là: 2 2 2 2 2 22 2 2 2 D 0 02 2 x x 1 S 4 dx 16 x dx x dx 4 4 2 2 2 −    = − − = − −     ∫ ∫ ∫ Ta có: 2 22 2 3 2 0 0 x 16 2 x dx 3 3 = =∫ Đặt x 4sint dx 4costdt= ⇒ = . Khi đó: ( ) 2 2 4 4 2 2 0 0 0 16 x dx 16 cos tdt 8 1 cos2x dx 2 4 pi pi − = = + = pi+∫ ∫ ∫ Vậy: D 4 S 2 3 = pi+ . Ví dụ 2. Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): 2y x= và phía trên bởi đường thẳng đi qua ( )A 1;4 có hệ số góc k . Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất. Lời giải Đường thẳng ∆ đi qua A , hệ số góc k có phương trình : ( )y k x 1 4 kx k 4= − + = − + . Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và ∆ : ( )2 2x kx k 4 x kx k 4 0 1= − + ⇔ − + − = Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm 1 2x x< . Khi đó, diện tích (H) là: ( ) x2 2 x1 S kx k 4 x dx= − + −∫ ( ) x23 2 x1 k x x 4 k x 2 3   = + − −     ( ) ( )( ) ( )2 2 3 32 1 2 1 2 1k 1x x 4 k x x x x2 3= − + − − − − ( ) ( ) ( )22 1 1 2 1 2 1 2 x x 3k x x 6 4 k 2 x x 2x x 6 −  = + + − − + +   Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 357 ( )22 1x x k 4k 16 6 − = − + . Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 1 2x x x x 4x x k 2 12 12− = + − = − + ≥ 2 3 S .12 4 3 6 ⇒ ≥ = . Đẳng thức xảy ra k 2⇔ = . Vậy k 2= là giá trị cần tìm. Bài tập tự luyện 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3, x 0, x 3= − + − = = và Ox . Hướng dẫn giải: ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −∫ ∫ 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 8 2x 3x 2x 3x 3 3 3     = − − + − + − + − =           . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3 2y x 11x 6, y 6x= + − = , x 0, x 2= = . Hướng dẫn giải: Đặt ( ) ( )3 2 3 2h x x 11x 6 6x x 6x 11x 6= + − − = − + − ( )h x 0 x 1 x 2 x 3= ⇔ = ∨ = ∨ = (loại). ( ) ( ) 1 2 3 2 3 2 0 1 S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= − − + − + − + −∫ ∫ 1 2 4 2 4 2 3 3 0 1 x 11x x 11x 5 2x 6x 2x 6x 4 2 4 2 2     = − − + − + − + − =           . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4 x 3= − + và trục hoành. Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0− + = ⇔ − + = = ≥ x 1t 1 x 1 t 3 x 3x 3  == = ±  ⇔ ⇔ ⇔ = = ±=  3 3 2 2 3 0 S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx − ⇒ = − + = − +∫ ∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 358 ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx    = − + + − +    ∫ ∫ 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 16 2 2x 3x 2x 3x 3 3 3      = − + + − + =              . 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3= − + và y x 3= + . Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 4x 3 x 3− + = + 2 2 x 3 0 x 0 x 4x 3 x 3 x 5 x 4x 3 x 3 + ≥  =⇔ ⇔− + = +  =  − + = − − . ( ) ( ) ( ) 1 3 5 2 2 2 0 1 3 S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx⇒ = − + − + − + −∫ ∫ ∫ 1 3 5 3 2 3 2 3 2 0 1 3 x 5x x 3x x 5x 109 6x 3 2 3 2 3 2 6      − = − + + − + − =                 . 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y xlnx,x e= = và Ox Hướng dẫn giải: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành: x 0 x 0 xlnx 0 lnx 0 x 1 = =  = ⇔ ⇔ = =  Nhận xét: [ ]xlnx 0 , x 1;e≥ ∀ ∈ Gọi S là diện tích cần tìm: e e 1 1 S xlnxdx xlnxdx= =∫ ∫ Đặt: 2 dx du u lnx x dv xdx x v 2  ==  ⇒  =  = ee e2 1 11 e e2 2 2 11 x 1 S xlnxdx lnx xdx 2 2 x 1 e 1 lnx x ( vdt) 2 4 4 = = − + = − = ∫ ∫ ® 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 3x 2= − + và y x 1= − Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 359 Hướng dẫn giải: . Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: 2 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 4x 3 0 x 3 = − + = − ⇔ − + = ⇔  = Gọi S là diện tích cần tìm: ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 S x 3x 2 x 1 dx x 4x 3dx= − + − − = − +∫ ∫ Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ) [ ]2 2x 3x 2 x 1 x 4x 3 0, x 1;3− + ≤ − ⇔ − + ≤ ∀ ∈ ( ) 33 4 2 2 1 1 x 4 S x 4x 3 dx 2x 3x 4 3   = − + − = − + − =     ∫ (đvdt) Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị ) ( ) 3 3 3 3 1 1 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − + = − +∫ ∫ 3 4 2 1 x 4 4 2x 3x 4 3 3   = − + = − =     (đvdt) 7. Tìm m để đồ thị ( )C : 4 2y x 2mx m 2= − + + cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi ( )C và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi ( )C và Ox . Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và Ox : ( )4 2x 2mx m 2 0 1− + + = Đặt 2t x , t 0= ≥ , ta có phương trình: ( )2t 2mt m 2 0 2− + + = . Yêu cầu bài toán ( )2⇔ có hai nghiệm t 0> phân biệt 2' m m 2 0 S 2m 0 m 2 P m 2 0 ∆ = − − >  ⇔ = > ⇔ >  = + > . Gọi 1 2 1 2t ,t (0 t t )< < là hai nghiệm của ( )2 . Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là: 1 2 2 1 3 1 4 2x t ;x t ;x t ;x t= − = − = = . Do tính đối xứng của ( )C nên yêu cầu bài toán Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 360 ( ) ( ) x x3 4 4 2 4 2 0 x3 x 2mx m 2 dx x 2mx m 2 dx⇔ − + + = − + − −∫ ∫ ( ) ( ) 5 3 4 24 4 4 4 4 x 2mx m 2 x 0 3x 10mx 15 m 2 0 5 3 ⇔− + − + = ⇔ − + + = 4x⇒ là nghiệm của hệ: ( ) 4 2 4 4 4 2 4 4 x 2mx m 2 0 3x 10mx 15 m 2 0  − + + =  − + + = ( ) ( )2 24 4 3 m 2 4mx 12 m 2 0 x m + ⇒ − + = ⇒ = thay vào hệ ta có được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 m 2 9 6 m 2 m 2 0 9 m 2 5m 0 m + − + + + = ⇔ + − = (do m 2> ) 25m 9m 18 0 m 3⇔ − − = ⇔ = 4x 5⇒ = . Với ( ) 4 2 x 1 m 3 1 x 6x 5 0 x 5 = ± = ⇒ ⇔ − + = ⇔  = ± . Vậy m 3= là giá trị cần tìm. 8. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2y 4 x , x 3y 0= − − + = quay quanh Ox Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm 2 2 2x4 x x 3 x 3 3 − − = − ⇔ = ⇔ = ± ( ) 3 4 2 3 x V 4 x dx 9 − ⇒ = pi − −∫ ( ) 33 5 2 4 3 0 0 2 2 x 36 9x x dx 36x 3x 9 9 5  pi pi = − − = − −     ∫ . Vậy 28 3 V 5 pi = (đvtt). 9. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2x y 5= − + , x 3 y= − quay quanh Oy . Hướng dẫn giải: Tung độ giao điểm: 2 y 1 y 5 3 y y 2 = − − + = − ⇔  = . Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 361 ( ) ( ) 2 2 22 1 V y 5 3 y dy − ⇒ = pi − + − −∫ ( ) 2 4 2 1 y 11y 6y 16 dy − = pi − + +∫ 2 5 3 2 1 y 11y 153 3y 16y 5 3 5 −   pi = pi − + + =     . 10. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: xy xe ,y 0,x 0,x 2= = = = và quay quanh trục Ox . Hướng dẫn giải: Gọi V là thể tích cần tìm: ( ) 2 22x 2 2x 0 0 V xe dx x e dx= pi = pi∫ ∫ Đặt: 2 2x2x du 2xdx u x 1 v edv e dx 2 = =  ⇒  ==   2 2 22 2x 2x 4 2x 0 00 x e V xe dx 2 e xe dx 2 pi = −pi = pi −pi∫ ∫ Đặt: 2x2x du dxu x 1 v edv e dx 2 ==  ⇒  ==   22 22x 4 2x 4 2x 0 00 xe V 2 e xe dx 2 e e dx 2 2   pi pi = pi −pi = pi − −     ∫ ∫ ( ) ( ) 2 4 4 2x 4 4 4 4 0 2 e e e 2 e e e 1 5e 1 4 4 4  pi pi pi = pi − pi − = pi −pi + − = −     (đvtt). 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = và quay quanh trục Ox . Hướng dẫn giải: Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox ( ) ( ) 22 2 3 2 2 2 1 0 0 0 4x 32 V 2x 4 dx 4x 16x 16 dx 8x 16x 3 3   pi = pi − = pi − + = pi − + =     ∫ ∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 362 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox ( ) ( ) 22 2 5 322 4 2 2 0 0 0 x 8x 256 V x 4 dx x 8x 16 dx 16x 5 3 15   pi = pi − = pi − + = pi − + =     ∫ ∫ Gọi V là thể tích cần tìm: 2 1 256 32 32 V V V 15 3 5 pi pi pi = − = − = (đvtt) 12. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: 2y xcosx sin x , y 0,x 0,x 2 pi = + = = = Hướng dẫn giải: Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 V y dx xcosx sin x dx xcosxdx sin xdx pi pi pi pi = pi = pi + = pi + pi∫ ∫ ∫ ∫ Ta có: ( ) 2 2 22 00 0 1 1 1 sin xdx 1 cos2x dx x sin2x 2 2 2 4 pi pi pi pi  = − = − =   ∫ ∫ . Đặt u x du dx dv cosxdx v sinx = =  ⇒  = =  2 2 2 0 0 0 xcosxdx xsinx sinxdx 1 2 pi pi pi pi ⇒ = − = −∫ ∫ Vậy ( )3 4 V 1 2 4 4 pi pi−pi pi = pi − + pi =    ( đvtt ) 13. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: xy xe ,y 0,x 0,x 1= = = = Hướng dẫn giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là: 1 2 2x 0 V x e dx= ∫ Đặt 2 2x2x du 2x u x 1 v edv e dx 2 = =  ⇒  ==   1 1212 2x 2x 2x 0 0 0 1 e V x e xe dx xe dx 2 2   pi  ⇒ = pi − = −pi     ∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh – Email: phukhanh@moet.edu.vn 363 Đặt 2x2x du dxu x 1 v e dxdv e dx 2 ==  ⇒  ==   11 1 2 2x 212x 2x 2x 0 0 0 0 1 1 e e e 1 xe dx xe e dx 2 2 2 4 4 + ⇒ = − = − =∫ ∫ 2 2 2e e 1 e 1 V 2 4 4  + − ⇒ = pi − = pi    ( đvtt ) 14. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: ( )2y x ln 1 x ,y 0,x 1= + = = Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường ( )2y x ln 1 x= + và y 0= : ( )2x ln 1 x 0 x 0+ = ⇔ = . Thể tích cần tính: ( ) 1 2 2 0 V x ln 1 x dx= pi +∫ . Đặt ( )2 2 32 2x du dx u ln 1 x 1 x xdv x dx v 3  = = +  + ⇒   = = ( ) ( ) 11 13 4 2 2 2 2 0 00 x 2 x x ln 1 x dx ln 1 x dx 3 3 1 x ⇒ + = + − +∫ ∫ 1 2 2 0 ln2 2 1 x 1 dx 3 3 1 x   = − − +   + ∫ 1 13 2 00 ln2 2 x 2 dx x 3 3 3 3 1 x   = − − −   +  ∫ ln2 4 2 12ln2 16 6 . 3 9 3 4 36 pi + − pi = + − = (đvtt).

Tài liệu đính kèm:

• nguyen ham tich phan du dang.pdf

Tài liệu liên quan

• Giáo án Ôn tập tốt nghiệp môn Toán tiết 5, 6: Phương trình mặt phẳng

  Lượt xem: 1214 Lượt tải: 1

• Luyện tập toán - Bài 5: Bất phương trình mũ và logarit

  Lượt xem: 1001 Lượt tải: 0

• Bài 1: Phương pháp hàm số

  Lượt xem: 1216 Lượt tải: 0

• Đề thi tuyển sinh đại học môn toán học

  Lượt xem: 1051 Lượt tải: 0

• Giáo án Ôn tập tốt nghiệp môn Toán tiết 9: Tích phân và ứng dụng

  Lượt xem: 1328 Lượt tải: 0

• Bài tập Hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit

  Lượt xem: 1405 Lượt tải: 0

• Đề 50 thi thử đại học môn toán lớp 12 - Lần 2 - Năm học 2009 - 2010

  Lượt xem: 770 Lượt tải: 0

• Ôn thi - Đơn điệu của hàm số (phần 2)

  Lượt xem: 1210 Lượt tải: 0

• Đề 10 thi môn toán, khối 12 (2009 - 2010)

  Lượt xem: 1073 Lượt tải: 0

• Giáo án Hình học 12 - Tiết 5 đến Tiết 8

  Lượt xem: 725 Lượt tải: 0

Copyright © 2024 Lop12.net - Giáo án điện tử lớp 12, Sáng kiến kinh nghiệm hay, chia sẻ thủ thuật phần mềm