Chuyên đề: Đặt ẩn Phụ Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Vô Tỷ

Có thể bạn quan tâm

OPTADS360 intTypePromotion=1 zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn

Danh mục
- - Tài Liệu Tham Khảo
    - Kinh Doanh-Marketing
    - Kinh Tế - Quản Lý
    - Tài Chính - Ngân Hàng
    - Công Nghệ Thông Tin
    - Ngoại Ngữ
    - Kỹ Thuật - Công Nghệ
    - Khoa Học Tự Nhiên
    - Khoa Học Xã Hội
    - Văn Hoá - Nghệ Thuật
    - Biểu mẫu - Văn bản
    - Sáng kiến kinh nghiệm
    - Ôn thi ĐH-CĐ
    - Giáo án điện tử
    - Bài giảng điện tử
    - Đề thi - Kiểm tra
    - Bài tập SGK
  - Bộ Tài Liệu 4.0
  - Bộ Sưu Tập
  - Luận Văn & Đề Tài
  - Mẫu Slide Powerpoint
  - Khóa Học Online
  - Tài Liệu Phổ Thông
    - Bài học SGK
    - Giải SGK
    - Soạn văn
    - Văn mẫu
    - Đề Thi
    - Trắc nghiệm Online
  - Học trực tuyến
    - Học Online
    - Đề thi Online
    - Tư liệu
  - Trắc Nghiệm MBTI
  - Trắc Nghiệm Holland

NÂNG CẤP

Đăng Nhập | Đăng Ký Chủ đề »

Công thức lượng giác
Khảo sát hàm số
Soạn bài Tràng Giang
Công thức tích phân
Hóa học 11
Sinh học 11
- Toán lớp 10
- Vật lý 12

HOT
- LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
- CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
- FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
- LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên...
- CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
- CEO.24: Bộ 240+ Tài Liệu Quản Trị Rủi...
- FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế...
- TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
- FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
CMO.03: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị Marketing...

TUYỂN SINH

YOMEDIA ADSENSE Trang Chủ » Tài Liệu Phổ Thông » Trung học phổ thông Chuyên đề: Đặt ẩn phụ giải phương trình và hệ phương trình vô tỷ

Chia sẻ: Nguyễn Dương đình Hoàng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu 319 lượt xem 22 download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Như các bạn đã biết trong chương trình Toán THPT thì phương trình và hệ phương trình vô tỷ luôn là một chủ đề kinh điển, bởi thế nên nó luôn xuất hiện trong các kì thi lớn như thi Đại học và các kì thi học sinh giỏi lớn nhỏ. Trong đó phương pháp dùng ẩn phụ để giải toán luôn là một công cụ mạnh và hữu ích. Bài viết này sẽ trình bày một số phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán.

AMBIENT/ Chủ đề:

Phương trình vô tỷ
Cách giải phương trình vô tỷ
Phương trình bậc 2
Phương trình tích
Hệ phương trình vô tỷ
Giải phương trình

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Đăng nhập để gửi bình luận! Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Đặt ẩn phụ giải phương trình và hệ phương trình vô tỷ

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN CHUYÊN ĐỀ ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Như các bạn đã biết trong chương trình Toán THPT thì phương trình và hệ phương trình vô tỷ luôn là một chủ đề kinh điển, bởi thế nên nó luôn xuất hiện trong các kì thi lớn như thi Đại học và các kì thi học sinh giỏi lớn nhỏ. Trong đó phương pháp dùng ẩn phụ để giải toán luôn là một công cụ mạnh và hữu ích. Hôm nay bài viết này sẽ trình bày một số phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán. Nội dung: Đặt biểu thức chứa căn bằng biểu thức mới mà ta gọi là ẩn phụ, chuyển về phương trình theo ẩn mới. Giải phương trình ẩn phụ rồi thay vào biểu thức tìm nghiệm ban đầu. Phương pháp: Gồm có các bước sau: Bước 1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ẩn phụ. Để làm tốt bước này phải có sự quan sát, nhận xét mối quan hệ của các biểu thức có mặt trong phương trình rồi đưa ra biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ. Bước 2: Chuyển phương trình ban đầu về phương trình theo ẩn phụ, thường là nhưng phương trình đã biết cách giải, tìm được nghiệm cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm. Thành viên tham gia chuyên đề: 1-Trần Trí Quốc 11TL8 THPT Nguyễn Huệ, Phú Yên 2-Hồ Đức Khánh 10CT THPT Chuyên Quảng Bình. 3-Đoàn Thế Hòa 10A7 THPT Long Khánh, Đồng Nai 4-Thầy Mai Ngọc Thi THPT Hùng Vương, Bình Phước. 5-Thầy Nguyễn Anh Tuấn THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh. Đầu tiên ta cùng giải các ví dụ cơ bản sau: Có lẽ nhiều bạn đã quen với bài tập dạng loại này nên mình chỉ muốn nhắc lại 1 tý I-Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ: Dạng 1 a b Pt có dạng ax2 + bx + c = px2 + qx + r trong đó = p q Cách giải : Đặt t = px2 + qx + r, t ≥ 0 Tôi sẽ đưa ra vài ví dụ để các bạn ôn lại vì đây là phần khá dễ Giải các phương trình sau √ 1/(ĐH Ngoại Thương-2000) (x + 5)(2 − x)√ 3 x2 + 3x = 2/(ĐH Ngoại ngữ 1998) (x + 4)(x + 1) − 3 x2 + 5x + 2 = 6 3/(ĐH Cần Thơ 1999) (x + 1)(2 − x) = 1 + 2x − 2x2 √ 4/ 4x2 + 10x + 9 = 5 √ 2 + 5x + 3 2x 2 5/ 18x − 18x + 5 = 3√ 9x2 − 9x + 2 6/ 3x2 + 21x + 18 + 2 x2 + 7x + 7 = 2 Dạng tiếp theo cũng rất quen thuộc Dạng 2 PT có dạng P (x) + Q(x) + ( P (x) ± Q(x)) ± 2 P (x).Q(x) + α = 0 ( α là số thực) Cách giải Đặt t = P (x) ± Q(x) ⇒ t2 = P (x) + Q(x) ± 2 Page 1 P (x).Q(x) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ Bài 1: Giải phương trình 1 + PHÚ YÊN √ √ 2√ x − x2 = x + 1 − x 3 Giải ĐK 0 ≤ x ≤ 1, Ta đặt t = √ √ √ t2 − 1 x + 1 − x thì x − x2 = , phương trình trở thành bậc 2 với ẩn 2 là t t2 − 1 = t ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1; t = 2 3 √ √ TH1 t = 2 ⇔ √x + √1 − x = 2 (VN) TH2 t = 1 ⇔ x + 1 − x = 1 ⇔ x = 0; x = 12 Giải các phương trình sau ⇔1+ √ √ √ 1/(HVKTQS-1999) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2 √ √ √ 2/√ 2x + 3 +√ x + 1 = 3x + 2 2x2 + 5x + 3 − 16 √ 1 3/ 4x + 3 + 2x +√ = 6x + √ 8x2 + 10x + 3 − 16 √ 4/(CĐSPHN-2001) x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2x + 2 Thế là đã xong các ví dụ cơ bản rồi bây giờ ta xét đến các ví dụ mà cần sự biến đổi khéo léo một chút và có sự quan sát đánh giá mới có thể đưa về dạng cơ bản để đặt ẩn phụ được. II-Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích Xuất phát từ 1 số hằng đẳng thức cơ bản khi đặt ẩn phụ: x + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) √ √ x4 + 1 = (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) 4x4 + 1 = (2x2 − 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) 3 Chú ý: Khi đặt ẩn phụ xong ta cố gắng đưa về những dạng cơ bản như sau u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = 0 x Phương trình đẳng cấp bậc hai ax2 + bxy + cy 2 = 0 ⇔ at2 + bt + c = 0 với t = y Lại lấy Bài 1 ở trên 1 lần nữa Giải √ √ 2√ Giải phương trình 1 + x − x2 = x + 1 − x 3 √ √ 2 Nhận xét: Ta thấy ( x) + ( 1 − x)2 = 1(**), mà từ phương trình đầu ta rút được một căn thức qua căn thức còn lại Giải √ √ √ √ 3 1−x−3 3t − 3 ⇔ x= √ . Do đó nếu đặt t = 1 − x ⇒ x = 2t − 3 2 1−x−3 Thay vào (**) ta biến đổi thành t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = 0 ⇔ t = 0; t = 1 hay x = 0; x = 1 là nghiệm của phương trình.2 Page 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Ta xét ví dụ sau √ √ √ Bài 2: Giải phương trình 3 x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x2 + 3x + 2 Giải Ta thấy (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 √ √ Đặt u = 3 x + 1; v = 3 x + 2 PT⇔ u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 Giải tiếp ta được x = 0; x = −12 Ta xét ví dụ sau, khá giống bài ở trên nhưng khó hơn. √ √ √ Bài 3: Giải phương trình 3 x2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 1 Nhận xét: Cách làm bài này cũng khá giống nhưng phải để ý thật kĩ bên VP vì ta tách VP thành biểu thức "liên quan" đến biểu thức ẩn phụ. Giải Lời giải: Phương trình đã cho tương đương √ với √ √ 3 2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 0 (x + 1) − (x + 2) + x √ √ Ta đặt 3 x + 1 = a; b = − 3 x + 2, khi đó phương trình tương đương a3 + b3 − ab(a + b) = 0 ⇔ (a + b)(a −√ 2 = 0 b) √ 3 ⇔ a = ±b ⇔ x + 1 = ± 3 x + 2 3 ⇔x=− 2 3 3 Thử lại thấy x = − thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = − 2 2 2 Ví dụ tương tự √ √ √ Bài 4: Giải phương trình (x + 2)( 2x + 3 − 2 x + 1) + 2x2 + 5x + 3 − 1 = 0 Giải  x ≥ − 3 ĐK 2 ⇒ x ≥ −1 x ≥ −1 √   2x + 3 = a  x + 2 = a2 − b2 √ √ Đặt ⇒ x+1=b 2x2 + 5x + 3     a; b ≥ 0 1 = a2 − 2b2 Nên PT ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + ab = a2 − 2b2 ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a2 − b2 ) = 0. Vì a + b > 0 nên ta chia 2 vế cho a + b ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) = 0 ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) = 0 √ √ • Với a = b + 1 ⇒ 2x + 3 = x + 1 + 1 (VN) √ √ 1 • Với a = 2b ⇒ 2x + 3 = 2 x + 1 ⇔ x = − (TMĐK) 2 1 Vậy phương trình có nghiệm S = − 2 Page 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau √ √ √ 1/(√x + 5 − √x + 2)(1 + √x2 + 7x + 10) = 3 2/( x + 1 + √x − 2)(1 − x2 − x √ 2) = 3 − √ 2+ 1 − x = 1 + (1 − x) x 3/√x − x √ 4/ 3x2 − 18x + 25 + 4x2 − 24x + 29 = 6x − x2 − 4 Bài 5: Giải phương trình √ 2+ 2+ √ x 2− √ +√ 2+ x 2− √ x √ = 2− x √ 2 Giải √ √ Thoạt nhìn ta đưa ra đánh giá rất dễ thấy 2 + x + 2 − x = 4 √ √ Nên ta đặt √ 2 + x = a; 2 − x = b Ta có ab = 4 − x; a2 + b2 = 4 Ta viết lại phương trình như sau: √ a2 b2 √ +√ = 2 2+a 2−b √ √ √ √ √ 2 2 ⇒ √ 2 − a b + b2 2 + ab2 = 2(2 − b 2 + a 2 − ab) a ⇔ √2(a2 + b2 + ab − 2) − ab(a − b) = 2(a − b) ⇔ 2(ab + 2) = (a − b)(ab√ 2). Để ý a2 + b2 = 4 + Vì ab + 2 = 0 nên a − b = 2 √ ⇔ a2 + b2 − 2ab = 2 ⇒ ab = 1 ⇒ 4 − x = 1 Nên x = 3 Vậy phương trình có nghiệm S = 32. √ √ √ Bài 6: Giải phương trình (13 − 4x) 2x − 3 + (4x − 3) 5 − 2x = 2 + 8 16x − 4x2 − 15 Nhận xét: Dễ thấy rằng (2x − 3)(5 − 2x) = 16x − 4x2 − 15, nhưng còn các nhị thức ở ngoài căn ta không thể biểu diễn hết theo 1 ẩn phụ được, ta đặt 2 ẩn phụ và cố đưa về phương trình tích. Giải 3 5 Lời giải: ĐK ≤ x ≤ 2 2 √ Đặt √ = 2x − 3 ⇒ u2 = 2x − 3; 2u2 + 3 = 4x − 3 u v = 5 − 2x ⇒ v 2 = √ − 2x; 2v 2 + 3 = 13 − 4x 5 ⇒ u2 + v 2 = 2; uv = 16x − 4x2 − 15(1) ⇒ P T ⇔ (2v 2 + 3)u + (2u2 + 3)v = 2 + 8uv = u2 + v 2 + 8uv ⇔ 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv ⇔ (u + v − 3)(2uv − u − v) = 0 T H1 : u + v = 3 √ 7 ⇔ 16x − 4x2 − 15 = (VN) 2 T H2 : u + v = 2uv √ ⇔ 16x − 4x2 − 15 = 1 ⇒ x = 2 (Thỏa ĐK) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 22 Bài 7: Giải phương trình x2 + √ x + 1 = 1 (*) Giải Page 4 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN √ Đặt x + 1 = t; t ≥ 0 PT(*) ⇔ (t2 − 1)2 + t = 1 ⇔ t(t − 1)(t2 + t − 1) = 0 TH1 Với t = 0 thì x = −1. TH2 Với t = 1 thì x = 0. √ √ −1 + 5 1− 5 TH3 Với t = thì x = 2 2 2 Ta tự làm khó với kiểu bài trên lên một tý nhé, nâng bậc lũy thừa, ta xét ví dụ sau Bài 8: Giải phương trình x4 + √ x2 + 3 = 3 Giải Để đơn giản√ hóa, ta đặt x2 = a, a ≥ 0 PT ⇔ a2 + a + 3 = 3, ta sẽ tách để đưa về phương trình tích như sau: √ ⇔ a2 − √ + 3) + (a + a + 3) = 0 (a √ ⇔ (a + a + 3)(a − a + 3 + 1) = 0 √ Vì a ≥ 0 ⇒√ + a + 3 > 0 (VN) a Ta có a + 1 = a + 3 ⇔ a2 + a − 2 = 0 ⇒ a = 1(a ≥ 0) nên x = ±12 √ Bài 9: Giải phương trình (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 + x2 + 2x + 5 = (2x − 1)2 + 2 (Đề thi chọn đội tuyển 10 THPT chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Nhận xét: Bài này có lũy thừa bậc cao nhất là 4, và có cả căn bậc 2 nên ta sẽ cố nhóm các biểu thức lũy thừa giống trong căn để có thể đặt ẩn phụ. Giải √ 2 ⇔ x4 + 4x2 + 4 + 4(x3 + 3x√+ 3x + 1) + x2 + 2x + 5 = 4x2 − 4x + 3 ⇔ (x2 + 2x)2 + 8(x2 + 2x) + x2 + 2x + 5 + 5 = 0 (Công đoạn nhóm lại thế này cũng rất quan trọng) √ Đặt t = x2 + 2x + 5, t ≥ 2 ⇒ t2 − 5 = x2 + 2x Ta viết lại PT đã cho tương tương với (t2 − 5)2 + 8(t2 − 5) + t + 5 = 0 ⇔ t4 − 2t2 + t − 10 = 0 ⇔ (t − 2)(t3 + 2t2 + 2t + 5) = 0 Vì t ≥ 2 nên t3 + 2t2 + 2t + 5 > 0 Ta √ t = 2 có ⇒ x2 + 2x + 5 = 2 Vậy x = −12 Bài 10: Giải phương trình √ √ x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2 Giải Đặt:t = √ x − 1, với x ≥ 1, t ≥ 0 ⇒ t2 = x − 1 Phương trình đã cho viết lại: (x − 1)2 + 4 = 2 − √ Trở thành: t4 + 4 = 2 − t(t ≤ 2) ⇔ t4 − t2 + 4t = 0 √ x−1 Page 5 ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

11 p | 2096 | 498
Chuyên đề: Hệ phương trình

17 p | 1892 | 491
Một Số Chú Ý Khi Giải Phương Trình Có Chứa Tham Số Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ - Thầy Phan

9 p | 823 | 331
Luyện thi đại học - phương trình vô tỷ

11 p | 609 | 233
Chuyên đề luyện thi ĐH phần lượng giác

9 p | 575 | 124
Chuyên đề đặt ẩn phụ giải phương trình và hệ phương trình vô tỷ - THPT: Nguyễn Huệ

43 p | 473 | 93
Tài liệu ôn thi: MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

0 p | 428 | 89
Chuyên đề Toán: Hệ phương trình

25 p | 1165 | 87
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

0 p | 199 | 42
Kiến thức toán học - Những phương pháp giải phương trình vô tỷ

0 p | 177 | 30
Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình - Thầy Đặng Việt Hùng

13 p | 162 | 23
Chuyên đề Giải phương trình vô tỉ

30 p | 136 | 19
Chuyên đề: Phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

15 p | 179 | 18
Bài tập chuyên đề Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

10 p | 136 | 10
Lý thuyết giải hệ phương trình chứa căn thức

133 p | 10 | 4
Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn: Phần 2 - Nguyễn Tiến

58 p | 8 | 3
Đề thi chuyên đề môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 có đáp án (Lần 1) - Trường THPT Văn Giang, Hưng Yên

14 p | 5 | 2

Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:

Đồng ý Thêm vào bộ sưu tập mới:

*Tên bộ sưu tập Mô Tả: *Từ Khóa: Tạo mới Báo xấu

Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
Không hoạt động
Có nội dung khiêu dâm
Có nội dung chính trị, phản động.
Spam
Vi phạm bản quyền.
Nội dung không đúng tiêu đề.

Hoặc bạn có thể nhập những lý do khác vào ô bên dưới (100 ký tự): Vui lòng nhập mã xác nhận vào ô bên dưới. Nếu bạn không đọc được, hãy Chọn mã xác nhận khác.. Đồng ý LAVA AANETWORK THÔNG TIN