Chuyên đề Dãy Số - Toán Nâng Cao Lớp 4

Chuyên đề Dãy số thuộc chương trình Toán nâng cao lớp 4, dành cho các em học sinh khá giỏi rèn luyện khả năng giải toán, bồi dưỡng ôn thi học sinh giỏi.

A. Dãy số cách đều

Tóm tắt

Toggle

• 1. Công thức cần nhớ trong bài toán dãy số cách đều
• 2. Ví dụ minh họa:
• 3. Các dạng bài cụ thể:
  • Dạng 1. Tìm số số hạng của dãy số
  • Dạng 2. Tìm tổng các số hạng của dãy số:
  • Dạng 3. Tìm số hạng thứ n
  • Dạng 4. Tìm số chữ số biết số số hạng
  • Dạng 5. Tìm số số hạng biết số chữ số
• 1. Kiến thức cần lưu ý (cách giải)
  • Loại 1: Dãy số cách đều
  • Loại 2: Dãy số khác

1. Công thức cần nhớ trong bài toán dãy số cách đều

Tính số các số hạng trong dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Tính tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………………… + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, cần tính giá trị của A theo công thức tính tổng của dãy số cách đều.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ……………

Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên ?

Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng trong dãy cách đều suy ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số:4028

Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ?

Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng trong dãy cách đều suy ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất – (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.

Bài giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:

2013 – (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?

Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ đó sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Sau đó chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.

Bài giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

(15 – 1) x 2 = 28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:

915 x 2 : 15 = 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:

(122 – 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

3. Các dạng bài cụ thể:

Dạng 1. Tìm số số hạng của dãy số

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Hỏi viết được bao nhiêu số?

Giải: Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị Số cuối hơn số đầu số đơn vị là: 971 – 211 = 760 (đơn vị) 760 đơn vị có số khoảng cách là: 760: 2 = 380 (khoảng cách) Dãy số trên có số số hạng là: 380 +1 = 381 (số) Đáp số:381 số hạng

Bài 2: Cho dãy số 11, 14, 17,. .., 68. a, Hãy xác định dãy trên có bao nhiêu số hạng? b, Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1 996 là số mấy?

Giải: a, Ta có: 14 – 11 = 3 17 – 14 = 3 Vậy quy luật của dãy là: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 3. Số các số hạng của dãy là: ( 68 – 11 ): 3 + 1 = 20 (số hạng) b, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 – 1) x 3 Số hạng thứ ba: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 – 1) x 3 Số hạng thứ tư : 20 = 11 + 9 = 11 + (4 – 1) x 3 Vậy số hạng thứ 1 996 là: 11 + (1 996 – 1) x 3 = 5 996 Đáp số: 20 số hạng; 5 996

Bài 3: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?

Giải: Ta có nhận xét: số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 và mỗi số hạng của dãy (Kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4. Vậy các số có 3 chữ số chia hết cho 4 là: (996 – 100): 4 + 1 = 225 (số) Đáp số: 225 số

Dạng 2. Tìm tổng các số hạng của dãy số:

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.

Giải: Dãy của 100 số lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199. Ta có: 1 + 199 = 200 3 + 197 = 200 5 + 195 = 200 … Vậy tổng phải tìm là: 200 x 100: 2 = 10 000 Đáp số 10 000

Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8,. . . , 2000 Tính tổng của dãy số trên

Giải: Dãy số trên 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Dãy số trên có số số hạng là: (2000 – 2): 2 + 1 = 1000 (số) 1000 số có số cặp số là: 1000: 2 = 500 (cặp) Tổng 1 cặp là: 2 + 2000 = 2002 Tổng của dãy số là: 2002 x 500 = 100100

Dạng 3. Tìm số hạng thứ n

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,… Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào?

Giải: Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị. 20 số hạng thì có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 (khoảng cách) 19 số có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số cuối cùng là: 1 + 38 = 39 Đáp số: Số hạng thứ 20 của dãy là 39

Bài 2: Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào?

Giải: 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị 20 số lẻ có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 (khoảng cách) 19 khoảng cách có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số đầu tiên là: 2001 – 38 = 1963 Đáp số : số đầu tiên là 1963.

Dạng 4. Tìm số chữ số biết số số hạng

Ghi nhớ: Để tìm số chữ số ta: + Tìm xem trong dãy số có bao nhiêu số số hạng + Trong số các số đó có bao nhiêu số có 1, 2, 3, 4,. .. chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho dãy số 1, 2, 3, 4,. .., 150. Dãy này có bao nhiêu chữ số

Giải: Dãy số 1, 2, 3,. .., 150 có 150 số. Trong 150 số có + 9 số có 1 chữ số + 90 số có 2 chữ số + Các số có 3 chữ số là: 150 – 9 – 90 = 51 (chữ số) Dãy này có số chữ số là: 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (chữ số) Đáp số: 342 chữ số

Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp tữ 2 đến 1998 thì phải viết bao nhiêu chữ số?

Giải: Giải: Dãy số: 2, 4,. .., 1998 có số số hạng là: (1998 – 2): 2 + 1 = 999 (số) Trong 999 số có: 4 số chẵn có 1 chữ số 45 số chẵn có 2 chữ số 450 số chẵn có 3 chữ số Các số chẵn có 4 chữ số là: 999 – 4 – 45 – 450 = 500 (số) Số lượng chữ số phải viết là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (chữ số) đáp số: 3444 chữ số

Dạng 5. Tìm số số hạng biết số chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Một quyển sách coc 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Giải: Để đánh số trang sách người ta bắt đầu đánh tữ trang số 1. Ta thấy để đánh số trang có 1 chữ số người ta đánh mất 9 số và mất: 1 x 9 = 9 (chữ số) Số trang sách có 2 chữ số là 90 nên để đánh 90 trang này mất: 2 x 90 = 180 (chữ số) Đánh quyển sách có 435 chữ số như vậy chỉ đến số trang có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số trang sách có 3 chữ số là: 435 – 9 – 180 = 246 (chữ số) 246 chữ số thì đánh được số trang có 3 chữ số là: 246: 3 = 82 (trang) Quyển sách đó có số trang là: 9 + 90 + 82 = 181 (trang) đáp số: 181 trang

Bài 2: Viết các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thì viết đến số nào?

Giải: Từ 87 đến 99 có các số lẻ là: (99 – 87): 2 + 1 = 7 (số) Để viết 7 số lẻ cần: 2 x 7 = 14 (chữ số) Có 450 số lẻ có 3 chữ số nên cần: 3 x 450 = 1350 (chữ số) Số chữ số dùng để viết các số lẻ có 4 chữ số là: 3156 – 14 – 1350 = 1792 (chữ số) Viết được các số có 4 chữ số là: 1792: 4 = 448 (số) Viết đến số: 999 + (448 – 1) x 2 = 1893

———————–

* BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tính tổng: a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999. b, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150 c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150. Bài 2: Có bao nhiêu số: a, Có 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? dư 2? b, Có 4 chữ số chia hết cho 3? c, Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4? Bài 3: Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy thứ nhất và các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. để đánh số dãy thứ hai. Hỏi nhà cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số dãy này người ta đã dùng 769 chữ cả thảy? Bài 4: Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm. Bài 5: Tìm tổng của: a, Các số có hai chữ số chia hết cho 3; b, Các số có hai chữ số chia cho 4 dư 1; c, 100 số chẵn đầu tiên; d, 10 số lẻ khác nhau lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40.

Bài 6: Viết 25 số lẻ liên tiếp số cuối cùng là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào? Bài 7: Cho dãy số gồm 25 số hạng: .. . , 146, 150, 154. Hỏi số đầu tiên là số nào?

Bài 8: Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ số Bài 9: Viết các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 60. Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến số nào? Bài 10: a, Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số? b, Có bao nhiêu số có 3 chữ số đều lẻ? c, Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau? Bài 11: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,…, x. Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số Bài 12: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…; 108,9; 110,0 a, Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b, Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào?

B – QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ:

1. Kiến thức cần lưu ý (cách giải)

Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số. Những quy luật thường gặp là: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy; + Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự; v . . . v

Loại 1: Dãy số cách đều

Bài 1: Viết tiếp 3 số: a, 5, 10, 15, … b, 3, 7, 11, …

Giải: a, Vì: 10 – 5 = 5 15 – 10 = 5 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 15 + 5 = 20 20 + 5 = 25 25 + 5 = 30 Dãy số mới là: 5, 10, 15, 20, 25, 30. b, 7 – 3 = 4 11 – 7 = 4 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 11 + 4 = 15 15 + 4 = 19 19 + 4 = 23 Dãy số mới là: 3, 7, 11, 15, 19, 23. Dãy số cách đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn bằng nhau

Loại 2: Dãy số khác

Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, … c, 0, 3, 7, 12, … d, 1, 2, 6, 24, …

Giải: a, Ta nhận xét: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 … Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,… b, Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó. Viét tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau. 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, … c, ta nhận xét: Số hạng thứ hai là: 3 = 0 + 1 + 2 Số hạng thứ ba là: 7 = 3 + 1 + 3 Số hạng thứ tư là: 12 = 7 + 1 + 4 . . . Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau. 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, … d, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai là 2 = 1 x 2 Số hạng thứ ba là 6 = 2 x 3 số hạng thứ tư là 24 = 6 x 4 . . . Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …

Bài 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau: a, . . ., 17, 19, 21 b, . . . , 64, 81, 100 Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.

Giải: a, Ta nhận xét: Số hạng thứ mười là 21 = 2 x 10 + 1 Số hạng thứ chín là: 19 = 2 x 9 + 1 Số hạng thứ tám là: 17 = 2 x 8 + 1 . . . Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là 2 x 1 + 1 = 3 b, Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 1 = 1

Bài 3: Lúc 7 giờ sáng, Một người xuất phát từ A, đi xe đạp về B. Đến 11 giờ trưa người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngược gió, cho nen tốc độ của người đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tìm tốc độ của người đó khi xuất phát, biết rằng tốc đọ đi trong tiếng cuối quãng đường là 10 km/ giờ ?

Giải: Thời gian người đó đi trên đường là: (11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ) Ta nhận xét: Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 7 là: 10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0 Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 6 là: 12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1 Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 5 là: 14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2 . . . Từ đó rút ra tốc độ người đó lúc xuất phát (trong tiếng thứ nhất) là: 10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ)

Loại 3: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không Cách giải: – Xác định quy luật của dãy. – Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không.

Bài tập: Em hãy cho biết: a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,. .. hay không? b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. hay không? c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ..? Giải thích tại sao?

Giải: a, Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì – Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50; – Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5. b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho, Vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1. c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì – Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ. – Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3 – Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.

———————–

* BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau: a, 100; 93; 85; 76;… b, 10; 13; 18; 26;… c, 0; 1; 2; 4; 7; 12;… d, 0; 1; 4; 9; 18;… e, 5; 6; 8; 10;… f, 1; 6; 54; 648;… g, 1; 3; 3; 9; 27;… h, 1; 1; 3; 5; 17;… Bài 2: Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau sao cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó: 49 +. .. . .. = 420. Giải thích cách tìm. Bài 3: Tìm hai số hạng đầu của các dãy sau: a,. . . , 39, 42, 45; b,. . . , 4, 2, 0; c,. . . , 23, 25, 27, 29; Biết rằng mỗi dãy có 15 số hạng.

Chia sẻ

Twitter Facebook LinkedIn Pin It