Chuyên đề: Hằng đẳng Thức Và ứng Dụng - Thư Viện Đề Thi

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 8 Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng doc

10 trang

khoa-nguyen Lượt xem

6755

1 Download Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức 1. Bình phương của một tổng: = 2. Bình phương của một hiệu: = 3. Hiệu của hai bình phương: 4. Lập phương của tổng: 5. Lập phương của hiệu: 6. Tổng hai lập phương: 7. Hiệu hai lập phương: * Một số hằng đẳng thức tổng quát an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - + b2k) (a + b)n = an + nan-1b + an-2b2++a2bn-2 +nabn-1 + bn (a -b)n = an - nan-1b + an-2b2- -a2bn-2 +nabn-1 - bn Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau : 1 2. 3. 4. Bài tập 2. Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ + ( 20052 – 20042) A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 2004 + 2005 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – 1 – 264 B = - 1 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7 b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giải a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3 Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2. b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy ra Û x – 4 = 0 Û x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4. c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7 Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2. * Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: Chứng minh A > m với m là một hằng số. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA ) Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần: Chứng minh A < t với t là một hằng số. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra. Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA ) Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0 ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0 ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0 ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0 a = b hay b = c hay c = a a = b = c * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 5. Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N) Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19 Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n ) 19 và 19.6n 19 Vậy 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 . 11n + 12.122n = 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133 Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) do đó (an – bn) (a- b) Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 Û (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0 Û ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0 Û ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0 x = - 5 ; y = -3; z = 8 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 7: Cho x = ; y = . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương. Ta có : y = = + 4 = x + 4 Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2 hay xy + 4 = là số chính phương. B. Ứng dụng hằng đẳng thức Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc = [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 => (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0 => => Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức. DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử. Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x) Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử. Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có: (x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3. = (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3 = x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3. = 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c. =>x+y+z = a+b+c =>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: Bài 1: Cho tính P = Từ => => P = Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => Nếu a+b+c = 0 thì A = Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8 => A có 2 giá trị: -1 và 8 Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2. Tính P = Đặt a= xy, b = yz, c =zx. Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz P = = Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c). Vì a+b+c=0 -> A=0 Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B = vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B = Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức. M= ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0 = Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c => M = Bài 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức A = ; B= Ta có A = vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc A = B = Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac Nên B= ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc -> B = Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức: A = Đặt B = Ta có B . = 1 + Tương Tự . B . B. Bậy A = Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 + DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3. (3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0 => (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 => => Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 => Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 =>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2 Vì x;y ÎZ ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1) chỉ xảy ra trường hợp « Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1 Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 +y3+z3- 3xyz=1 Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1 Ta xét x2+y2+z2-xy-xz= [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] 0 nên chỉ có thể xảy ra Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1 3 Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0 Nên x2 +y2 + z2 = 1 giả sử x2 y2 z2 =>z = 0; y = 0; x = 1 Nếu không t/m NếuT/m phương trình và TH: và DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Ta có a3 +b3+c3 = 3abc Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => Là tam giác đều. Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd) Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3 =3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b) = 3(c+d)(ab-cd) Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5. =>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0 =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0 => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0 => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0 2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm. C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất Bài tập 1 : Cho , biết a/ . Tính b/ . Tính a. Xét . Mà b. ( Tương tự ) Xét Bài tập 2: a/ Cho và . Tính b/ Cho và . Tính theo a a/ Ta có: Ta có: Vậy b/ Bài tập 3: Cho và . Tính các biểu thức sau theo a Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có: Ta tính được Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số a/ b/ à c/ d/ e/ f/ Gợi ý: a/ Thay Sau khi thay, ta được b/ Đáp số: c/ Đáp số: d/ Đáp số: e/ Đáp số: f/ Đặt

Tài liệu đính kèm:

Chuyen_de.doc

Đề thi liên quan

Đề thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 năm 2015 - 2016
Lượt xem: 698 Lượt tải: 1
Đề kiểm tra 15 phút - Hình học 8
Lượt xem: 1166 Lượt tải: 0
Toán - Tiết 36: Kiểm tra 1 tiết
Lượt xem: 902 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra 1 tiết Chương I môn Hình học Lớp 8
Lượt xem: 174 Lượt tải: 0
Giáo án Đại số 8 tiết 65 đến 71
Lượt xem: 1351 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra Hình học, học kì II
Lượt xem: 755 Lượt tải: 0
Đề cương ôn tập Hình học 8 - Chương 1
Lượt xem: 811 Lượt tải: 3
Thi học kì 1 môn toán lớp 8 năm học: 2016 – 2017 - Đề 5
Lượt xem: 717 Lượt tải: 1
Kiểm tra chương IV - Năm học 2016 - 2017 môn Đại số 8 - Mã đề 020
Lượt xem: 722 Lượt tải: 1
4 Đề kiểm tra 15 phút lần 1 học kỳ I môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018
Lượt xem: 209 Lượt tải: 0