Chuyên đề Hình Học Xạ ảnh - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (21 trang)

Trang chủ

Luận Văn - Báo Cáo

Khoa học tự nhiên

chuyên đề hình học xạ ảnh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (787.16 KB, 21 trang )

LỜI NÓI ĐẦUHình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinhviên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước. Mục đích củamôn học cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quanhệ giữa chúng, đồng thời hình học xạ ảnh còn giúp chúng ta có một phương phápsuy luận, phương pháp sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hìnhhọc afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích yêu cầuquan trọng trong công tác giảng dạy sau này.Trong chương trình đã học, chúng ta đã được làm quen với môn hình họcxạ ảnh và thấy được mối liên hệ mật thiết giữa hình học sơ cấp và hình học xạảnh. Trong hình học sơ cấp có những tính chất xạ ảnh nhiều khi ẩn náu đằng saunhững tính chất không xạ ảnh. Nếu ta có thể phân biệt rõ ràng những tính chất xạảnh với những tính chất không xạ ảnh thì ta có thể áp dụng hình học xạ ảnh vàohình học sơ cấp một cách hiệu quả. Ví dụ: Trong khái niệm hình tròn, hình elip,hình parapol hay hybebol mà ta đã gặp ở phổ thông hay trong giải tích thì tính chất“ là tròn ”, “ là elip”, “ là parabol”, “ là hypebol” không phải là những tính chất xạảnh nhưng tính chất “ là đường bậc hai” là một tính chất xạ ảnh. Hay trong kháiniệm “ đường thẳng ở vô tận” thì tính chất “ở vô tận” không phải là tính chất xạảnh nhưng khái niệm “đường thẳng” thì là một khái niệm xạ ảnh và đường thẳngnày đóng vai trò bình đẳng so với các đường thẳng khác. Hay trong khái niệm tọađộ Đêcac thì những khái niệm không xạ ảnh nhưng khái niệm tỉ số kép mà ta cóthể dùng biểu diễn theo tọa độ Đêcac thì cũng là một khái niệm xạ ảnh.Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống về mô hìnhxạ ảnh của mặt phẳng afin và đưa một số ví dụ trong mặt phẳng xạ ảnh, chuyênđề gồm 2 phần:Phần A: Một số kiến thức cần nhớ về hình học xạ ảnh và hình học afinPhần B: Ứng dụng và ví dụ liên quan.1A. Một số kiến thức cần nhớ về hình học xạ ảnh và hình học afinI.Siêu mặt bậc hai trong1.Siêu mặt bậc hai1.1 Định nghĩa: Cho phương trình bậc hai thuần nhất của n+1 biến x0, x1, …xntrên trường K có dạng:∑trong đó, aij= 0 (1)K, aij = aji và có ít nhất một aij khác không.Trong không gian xạ ảnh, với mục tiêu {Si ; E} (I), tập hợp gồm nhữngđiểm X có tọa độ (x0 : x1 : …. : xn) trong mục tiêu (I) thỏa mãn phương trình (1)được gọi là một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1), kí hiệu là(S). Nếu (S) một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1) thì phươngtrình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt bậc hai (S) trong mục tiêu (I).Kí hiệu ma trận A = (ai,j), i, j = 0,1,2,…, n, thì A=và hạng A 1.Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu đãcho.Nếu det A0, tức ma trận A không suy biến, thì siêu mặt bậc hai (S) được gọilà không suy biến, ngược lại nếu det A= 0 thì siêu mặt bậc hai (S) được gọi làsuy biến.Kí hiệu(X)=()thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng là :AX = 0. (2)Siêu mặt bậc hai trongđược gọi là đường bậc hai. Siêu mặt bậc hai trongđược gọi là mặt bậc hai.2Hai siêu mặt bậc hai (S) và (S‟) với các ma trận A và A‟ tương ứng được xemK\{0} sao cho A = kA‟là trùng nhau khi và chỉ khi có số k1.2 Dạng chuẩn tắc trong không gian xạ ảnh thựcTrong không gian xạ ảnh thực(R) đối với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt(S) có phương trình:A(X) = 0.A(X) = ∑là một dạng toàn phương trong không gian vecto, ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính (X‟) = B(X) sao cho dạng toànphương ấy trở thành dạng chính tắc. Lại xem phép biến đổi tuyến tính đó như làmột phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của, ta đi đến định lí sau :Định lý: Với mỗi siêu mặt bậc hai (S) trong khôn gian xạ ảnh thực(R),luôn tìm được một mục tiêu xạ ảnh sao cho trong mục tiêu đó, phương trình của(S) có dạng chuẩn tắc :--…--+…++= 0,( có p dấu „„ – ”và q dấu „„ + ‟‟ trong đó 1q)Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một dạng toàn phương chuẩn tắc.Siêu mặt bậc hai (S) trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số(p,q)2.Phân loại siêu mặt bậc hai trongTrong(R),(R) và tên gọi của chúng(R) ta có 5 loại đường bậc hai sau đây :1)++= 0.Nó được gọi là đường ôvan ảo vì nó không chứa điểm thực nào. Trong mặtphẳng phức mở rộng của(R) thì phương trình trên xác định một đường bậc haikhông rỗng.2) -++= 0.Nó được gọi là đường ôvan, hay đường conic.3)+= 0.3Nó được gọi là cặp đường thẳng ảo liên hợp. Nó chỉ gồm một điểm thực duynhất là điểm (0 : 0 : 1).4) -+= 0.Đây là cặp đường thẳng có phương trình : x0 + x1 = 0 và – x0 + x1 = 0.5)= 0.Đây là cặp đường thẳng trùng nhau.Trong1)(R) ta có 8 loại mặt bậc hai sau đây :++= 0, được gọi là mặt trái xoan ảo.+2) -+++= 0, được gọi là mặt trái xoan.3) --++= 0, được gọi là mặt kẻ bậc hai.+= 0, được gọi là mặt nón ảo. Nó chỉ gồm một điểm thực duy4)+nhất (0 : 0 : 0 : 1).5) 6)++= 0, được gọi là mặt nón.= 0, được gọi là mặt phẳng ảo liên hợp.+Nó gồm một đường thẳng thực với phương trình là {7) -.= 0. Đây là cặp mặt phẳng có phương trình x0 + x1 = 0 và - x0 ++x1 = 0.8)=0. Đây là cặp mặt phẳng trùng nhau.3) Liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học afina) Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afinTa xét không gian xạ ảnhkhông gian afin=với mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, … , Sn ; E} (I) và\W, trong đó W là siêu phẳng vô tận, tức W có phươngtrình trong mục tiêu (I) là x0 = 0.Giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai tronglà :∑=0(*)4có phương trình trong mục tiêu (I)Gọi (S‟) = (S)\W thì các điểm của (S‟) có tọa độ afin ( đối với mục tiêu afinsinh bởi mục tiêu xạ ảnh đã chọn) thỏa mãn phương trình :∑+ ∑+= 0. (**)Nếu các aij (i, j = 1, 2, …, n) không đồng thời bằng không thì (S‟)là một siêumặt bậc hai afin trong khôn gian. Khi đó, ta nói rằng siêu mặt bậc hai xạ ảnh(S) sinh ra siêu mặt bậc hai afin (S‟).Ngược lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin (S‟) trongmặt bậc hai xạ ảnh (S) duy nhất trongđều được sinh ra bởi siêu.Thật vậy, nếu (S‟) có phương trình (**) trong mục tiêu afin củacách thay Xi bằngthì bằngta được phương trình (*) xác định cho ta một siêu mặt bậchai xạ ảnh (S) đối với mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu afin đã cho.Ta hãy lấy một điểm C nằm trên giao SC( 0 : c1 : … : cn) mà ∑W khi đó C có tọa độ xạ ảnh= 0. Bởi vậy điểm vô tận C xác định⃗ = (c1, c2, …, cn) chính là phương tiệm cận của siêu mặt afin (S‟) = (S)\ W.b) Một số liên hệ khác :1. Giữa tỉ số đơn và tỉ số kép ta có công thức:(ABCD) =Nếu D là một điểm thuộc đường thẳng vô tân P1 ta có(ABC)= (CAB)Đặc biệt nếu D là điểm vô tận và (ABCD)= -1 thì khi đó trong mặtphẳng afin C là trung điểm của đoạn thẳng AB.(ABC)= (CAB)= -12. Một đường conic trong P2 sẽ thể hiện thành elip, parabol, hypebol trong mặtphẳng afin A2 tùy theo đường thẳng vô tận không cắt conic, tiếp xúc vớiconic hoặc cắt conic tại hai điểm thực53. Trong trường hợp conic thể hiện thành hypebol, khi đó hai tiếp tuyến vớiconic là hai đường tiệm cận của hypebol. Các đường tiệm cận này cắt nhautại tâm của hypebol.4. Trong trường hợp conic thể hiện thành hypebol hoặc elip (là những đườngbậc hai có tâm) thì đường thẳng vô tận là đường đối cực của tâm đường bậchai và dây cung đi qua tâm gọi là đường kính của đường bậc hai đó.5. Hình bình hành trong mặt phẳng afin là một hình bốn cạnh toàn phần trongmặt phẳng xạ ảnh có hai đỉnh đối diện thuộc đường thẳng vô tậnII. Mô hình xạ ảnh của không gian afin1. Định nghĩa mô hình xạ ảnh của AnCho không gian xạ ảnh Pn (Pn. Đặt) trên trường số K và một siêu phẳngcủa. Lấy một mục tiêu xạ ảnh (S0, …, Sn; E) của Pn mà. Điểm M(x0: … : xn) thuộckhi và chỉ khi x00, tức là khi và). Bộ số (X1, … , Xn) màchỉ khi M(1:gọi là tọađộ không thuần nhất của M đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho, kí hiệu M(X1,…,Xn).Xét không gian vectơ n chiều Kn (trên trường K). Có thể lập ánh xạtheo quy tắc: Cho M(X1,…,Xn), N(Y1, …,Yn)không thuần nhất thìtheo tọa độ. Ánh xạthỏamãn hai tính chất:⃗⃗(i)Cho(ii)Cho M, N, LVậythì có duy nhất Nđể⃗⃗.thìlà một không gian afin lien kết với Kn bởi. Ta gọi không gian afinnày là mô hình xạ ảnh của không gian afin n-chiều tổng quát trên trường K và kíhiệu là.Siêu phẳnghìnhgọi là cái tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận đối với (hay của) mô. Mỗi điểm củagọi là một điểm vô tận đối với (hay của)6.là một hình (tập điểm) củaNếuhình (tập điểm) củalà mộtđược sinh ra bởi hình. Ta nói hìnhlà một điểm vô tận đối vớicủamàmà mỗi điểm.2. Một số kết quả cơ bản.a) Mỗi m – phẳngcủamàkhông nằm trongcủađược sinh ra bởi một và chỉb) Hai đường thẳng song song phân biệt củađược sinh ra bởi hai đườngcủa. Ngược lại, mỗi m – phẳngsinh ra một m – phẳngmột m – phẳngcủathẳng phân biệt của.cắt nhau trên .c) Tọa độ không thuần nhất (X1, …, Xn) của điểmlà tọa độ afin củađiểm M đối với mục tiêu afin có gốc là S0, các vectơ cơ sở là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , trong đó Eicó tọa độ không thuần nhất (0, …, 1, …, 0) (Ei là giao của đường thẳng xạ ảnhS0Ei với siêu phẳng xạ ảnh đi qua E và các điểm Sj với).có vectơ chỉ phương ⃗⃗d) Phương một chiều củađược xác địnhbởi điểm vô tận V(0 : v1: … : vn).e) Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng củamà ABC thì tỉ số đơn[A, B, C] là tỉ số kép [A, B, C, D], trong đó D là điểm vô tận của đường thẳng xạảnh AB. Nói riêng, C là trung điểm của AB (tức [A, B, C]= -1) khi và chỉ khiA, B chia điều hòa C, D.g) Mỗi siêu mặt bậc hai xạ ảnhbậc hai afinvàkhông chứakhông suy biến khi và chỉ khiNgược lại, mỗi siêu phẳng bậc hai afinmột siêu mặt bậc hai xạ ảnhh) Điểm C là tâm của. Nói riêng, nếucủađối vớisinh ra một siêu mặtcủakhông suy biến.được sinh ra bởi một và chỉ.khi và chỉ khi C liên hợp với mọi điểm củakhông suy biến thì C là tâm của.7đối vớikhi và chỉ khi C là cựci) Phương một chiều (d) củalà phương tiệm cận củaxác định bởi một điểm vô tận D của, tức làk) Nếu phương một chiều (q) củađược xác định bởi điểm vô tận Q.không là phương tiệm cận củavàthì siêu phằng kính liện hợp củacủađối với phương (q) được sinh ra bởi siêu phẳng đối cựcl) Siêu phằng afinkhim) Điểm Un) TrongSTTlà điểm kì dị củatại điểm Mcủa Q đối vớitại điểm Mlà siêu phẳng tiếp xúc củalà siêu phẳng tiếp xúc củakhi và chỉ khi (d).khi và chỉ.khi và chỉ khi nó là điểm kì dị của.(R) ta có:GAGp1HypebolĐường ôvanCặp điểm phân biệt2ParabolĐường ôvanMột điểm3ElipĐường ôvanTập rỗng4Elip ảoĐường trống khôngTập rỗng8Gpp) Mỗi biến đổi xạ ảnh f :(\mỗi biến đổi afin F củaf:màcó thu hẹplà một biến đổi afin của(ta nói f sinh ra F). Ngược lại,đều là thu hẹp của một biến đổi xạ ảnh duy nhấtthỏa mãn.Nói riêng:+) Phép thấu xạ f tâm I, nền , tỉ sô k (k) củathu hẹp trênthànhphép vị tự tâm I, tỉ số . Với k = -1 thì thu hẹp này là phép đối xứng afin qua I.+) Phép thấu xạ g tâm S, nền , tỉ số kgiữ bất độngvà thu hẹp trêncủamà S)thành phép thấu xạ afin qua siêu phẳng afin, có phương thấu xạ afin là phương l chiều (tận S, tỉ số thấu xạ afin bằng k. Nếu k = -1 thì thu hẹpqua(như vậyxác định bởi điểm vôlà phép đối xứng xiên, theo phương (+) Phép thấu xạ đặc biệt t :, nền , tâm Jthu hẹp trênthànhphép tịnh tiến theo phương xác định bởi J.III. Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thựcGọi W là một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 và A2 = P2\ W làmặt phẳng afin thực. Ta hãy xem một đường conic của A2 sẽ được sinh ra bởiđường bậc hai xạ ảnh nào trong P2.Giả sử (E) là đường elip của A2. Khi đó, ta có thể chọn một mục tiêu afin củaA2 sao cho phương trình của (E) có dạng:. Đường elip (E)được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối vớimục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là:. Đây là một đường ôvankhông cắt đường thẳng vô tận W.Giả sử (H) là một đường hypepol. Khi đó ta có thể chọn một mục tiêu afin củaA2 sao cho phương trình của (H) có dạng:. Đ, đường elip (H)được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối vớimục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là:. Đây là một đường ôvan9không cắt đường thẳng vô tận W tại hai điểm phân biệt (đó là điểm (0: 1: 1) và(0 : 1: -1)).Cuối cùng, ta giả sử (P) là một đường parabol của A2. Ta chọn mục tiêu afinđể nó có phương trình :. Khi đó nó được sinh ra bởi đường bậc haixạ ảnh có phương trình:. Đây là một đường ôvan, vì chỉ cần dùngphép biến đổi mục tiêu xạ ảnh:Ta đưa nó về phương trình chính tắc:Ngoài ra ta nhận thấy đường ôvan ấy cắt đường vô tận W tại một điểm kép (đólà điểm (0 : 0 :1), ta còn nói rằng nó tiếp với đường vô tận W).Tóm lại ta đi đến kết quả sau đây:Nếu (S) là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt phẳng afin A2 tậphợp (S)\W sẽ là:- Đường elip, nếu (S) không cắt W.- Đường hypebol, nếu (S) cắt W tại 2 điểm phân biệt.- Đường parabol, nếu (S) tiếp W.IV.Định lý Steiner trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2( )Định lý thuận. Cho hai điểm cố định S1 và S2 nằm trên một đường ôvan và mộtđiểm M thay đổi trên ôvan. Khi đó ánh xạ f: {S1}→{S2} biến đường thẳng S1Mthành đường thẳng S2M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục(Chú ý rằng, khi M trùng với S1, ta xem S1M là tiếp tuyến của ôvan tại S1, đốivới S2 cũng thế).Định lý đảo. Cho ánh xạ xạ ảnh f:{S1}→{S2} giữa hai chùm phân biệt {S1}và{S2}. Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm của cácđường thẳng tương ứng là một đường ôvan.10Chứng minh định lý thuậnGọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, d1 và d2 lần lượt là tiếp tuyến của ôvan(S) tại S2 và S1, S0= d1 d2. Lấy một điểm E cố định trên ôvan (S) và khác với S1và S2. Chọn mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, S2; E} (I). Giả sử phương trình của (S)trong mục tiêu (I) là. (1)Vì (S) đi qua S1= (0: 1: 0), thay vào (1), suy ra a11=0. Tương tự, vì (S) đi qua S2nên a22=0. Vì (S) đi qua E= (1: 1: 1), thay vào (1), suy ra.Trong (2), chọn a01=a02=0, a12=(2),thay vào (1), ta được phương trình của (S)trong mục tiêu (I) là:(3)Lấy điểm M nằm trên đường ôvan, khác với S1, khác với S1 và S2 thì tọa độ(m0: m1: m2) của nó thỏa mãn phương trình đó và m0 0 và do đó, m1. Bởivậy, từ (3) suy ra(4)Gọi a=S1E, m=S1M, ta tính [ d0, d2, a, m]= , [11]=Phương trình của d0 trong mục tiêu (I) là x0=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(1: 0: 0).Phương trình của d2 trong mục tiêu (I) là x2=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(0: 0: 1).Phương trình của a trong mục tiêu (I) là x0 – x2=0, tọa độ xạ ảnh của a=(1: 0: -1).Phương trình của m trong mục tiêu (I) là m2x0 – m0x2=0, vậy tọa độ xạ ảnh củam=(m2: 0: -m0). Từ các kết quả trên ta cóTừ đó suy ra[ d0, d2, a, m]=Gọi(5). Ta cóf(d0)=d1, f(d2)=d0, f(a)= , f(m)=Tương tự như trên, ta tính được[]=(6)Từ (5) và (6), kết hợp với (4), suy ra:[ d0, d2, a, m] = [].Ta thấy f bảo tồn tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng bất kỳ của chùm tâm S1,theo định nghĩa về ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng thì f là ánh xạ xạảnh. Vì f(d0)=d1 d0 nên d0 không tự ứng, do đó f không phải là phép chiếuxuyên trục.Chứng minh định lý đảoGọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, f(d0)=d1, f-1(d0)=d2. Vì f không phải làphép chiếu xuyên trục nên d0 không tự ứng, do đó d0, d1, d2 đôi một phân biệt. Vìvậy ba điểm S0=d1 d2, S1, S2 độc lập. Gọi a là đường thẳng của chùm {S1} khácvới d0 và d2,=f(a), và E= aVới mỗi đường thẳng m. Ta chọn{ S0, S1, S2; E} làm mục tiêu xạ ảnh.{S1} và= f(m){S2}, ta đặt mx2). Khi đó ta tính được tọa độ xạ ảnh của các đường thẳng nhưu sau:d0= (1: 0: 0), d1= (0:1: 0), d2= (0: 0: 1), a = (1: 0: -1),12=X=(x0: x1:= (-1: 1: 0), m=(x2: 0:-x0),= (-x1: x0: 0).Từ đó suy ra: [ d0, d2, a, m]= , []=Nhưng vì f là ánh xạ xạ ảnh nên:[ d0, d2, a, m]= [Vậy], hayĐó là phương trình của đường ôvan tiếp với d1 và d2 lần lượt tại S2 và S1.V. Một số kiến thức trong hình học afin1.Vectơ ⃗=(c1,….cn) gọi là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) được xácđịnh bởi phương trìnhnếu ⃗⃗⃗ và∑2.Cho hai điểm M1, M2 thay đổi của một siêu mặt bậc hai (S) sao cho đườngthẳng M1, M2 có phương cố định ⃑( mà không phải là phương tiệm cận). Khiđó tập hợp trung điểm của đoạn thẳng M1M2 nằm trên một siêu phẳng đi quatâm(nếu có) của (S)Siêu phẳng đó gọi là siêu phẳng kính của (S), liên hợp với phương ⃑ ,hoặc ⃑ làphương liên hợp với siêu phẳng kính đó.13B. Ứng dụng và ví dụ liên quanVí dụ 1: Xét mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn\ W. Cho siêu mặt bậchai xạ ảnh f, sinh ra siêu mặt bậc hai afin ( )= S\W. Chứng minh rằng: Nếu C làđiểm nằm trên W àlà siêu phẳng đối cực của C đối với (S) thì \W là siêuphẳng kính của ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định bởi điểm vô tận C. Từ đósuy ra các kết quả đã biết đối với đường ellip, hypebol, parabol đã học ở phổthông.Chứng minh:+)Trong Pn chọn mục tiêu xạ ảnh {} (I)An= Pn\ W, khi đó W là siêu phẳng vô tận có phương trình trong mục tiêu(I) là:Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai trong Pn, có phương trình trong mục tiêu(I) là:∑Gọi ( ) =S\W. Khi đó các điểm của ( ) có tọa độ afin thỏa mãn phương trình:∑∑Trong đóC W suy ra C=( 0: y1: ….: yn)trình: ∑là siêu phẳng đối cực của C nên=0 (1) trong đó uj= ∑(Thay tọa của điểm C=( 0: y1: ….: yn) vào (2) ta được:{Suy ra, j=0,…,nvào (1) ta được ∑ThayGọi∑=∑Hay ∑khi đó∑∑∑∑=0có phương trình:=0 với(*)14) (2)có phươngtrên trường số thực chọn mục tiêu afin+) Trong không gian afin{O; ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗, …, ⃗⃗⃗⃗⃗}, siêu mặt bặc hai (S) có phương trình:Ax + 2 x += 0.(S) và I = (b1, b2, …, bn) là trung điểm của đoạn thẳng M1, M2.Giả sử M1, M2Phương trình đường thẳng M1M2 có dạng :Xi = bi + ciλ, i =1, 2, …, nTrong đó (y1, y2, …, yn) là tọa độ của vecto ⃗.Tọa độ của M1, M2 là nghiệm của phương trình :+ 2Pλ + Q = 0. (1)(Với P =Q=Ac +c=∑∑Ab + 2 b + a0Giả sử λ1, λ2 là nghiệm của phương trình (1) ứng với các giao điểm của M1, M2. I⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗là trung điểm của M1, M2 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ λ1 ⃗ + λ2 ⃗ = ⃗⃗ (λ1 + λ2) ⃗ = ⃗⃗  λ1 + λ2 = 0 ( vì ⃗Vậy P = 0 hayAc +c = 0 hay⃗⃗ ).(Ab + a) = 0.Như vậy tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng M1, M2 thỏa mãn phương trình:(Ax + a) = 0 (2)Trong (2),A ≠ 0 vì nếuA = 0 =>=0⃗ là phương tiệm cận => (2) là phương trình của một siêu phẳng:)( )(y1, y2, …, yn)[(( )]) (y1, y2, …, yn)[(∑ (y1, y2, …, yn)(∑∑)=0∑∑15=0( )] = 0hay ∑∑(**)Từ (*) và (**) ta thấy phương trình củalà thỏa mãn phương trình của=siêu phẳng kính.Vậy nếu C là điểm nằm trên W vàlà siêu phẳng đối cực của C đối với (S) thì\W là siêu phẳng kính của ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định bởi điểm vô tậnC.Từ bài toán trên ta thấy sự thể hiện của afin của các đường conic đã học ởTHPT.1. Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳngtrong mô hình afin A2=P2\có phương trình: x3= 0, thì ta có SVới điểm X(x1: x2 : x3) S và Xthì x3nên ta chia hai vế (1) cho( )2 + ( )2 – 1 = 0(1‟)thì phương trình (1‟) là phương trình của Elip (E)16(1) và đường= .thu được phương trình:hay= . Khi đóta sẽ thu được một elip(E).Thật vậy, giả sử đường conic S1 có phương trìnhthẳngsao cho Ssẽ2. Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳnghình afin A2 = P2\Khi đó S= I thì trong môta sẽ thu được một Parabol (P).Thật vậy, giả sử conic S2 có phương trình:Và đường thẳngsao cho S(2)có phương trình: x3= 0= { I=(0,1,0)}Chia hai vế (2) chota thu được phương trình:( )2 -=0(2‟)hayKho đó (2‟) chính là phương trình của Parabol (P) trong A2 = P2\Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳngtrong mô hình afin A2 = P2\sao cho S= {I, J}. Khi đóta sẽ thu được một Hypebol (H)Thật vậy, giả sử conic S3 có phương trình là:(3)Và đường thẳng= {I(1,1,0), J(1,-có phương trình là : x3= 0, thì ta có S1,0)}Chia hai vế (3) chota thu được phương trình:( )2 – (Hay)2 = 0(3‟)Thì từ (3‟) chính là phương trình Hypebol (H) trong mô hình A2= P2\17Mặt khắc, các đường tiệm cận của (H) là các tiếp tuyến với conic S tại I và J nênta tìm được phương trình các đường tiêm cận là:y1- y2= 0và y1+ y2= 0Ví dụ 2: Cho đường ôvan (S) và hai điểm A, B cố định trên nó, một đường thẳngd cố định không đi qua A và B. Với mỗi điểm M thay đổi trên (S), các đưngthẳng AM và BM lần lượt cắt d tại. Tìm quỹ tích giao điểm của.Phát biểu bài toán đối ngẫu.Cho đường thẳng AB là đường thẳng vô tận, hãy suy từ bài toán trên thành bàitoán trong mặt phẳng afin.Giải:* Tìm quỹ tích các điểm18+) Xét ánh xạ f: { }Với mỗi điểm{ } được xác định như sau:, xác định duy nhất đường thẳng{ }, đường thẳng{ }. Khi đó sẽ xác định duy nhất điểmđó xác định đường thẳng, do. Như vậy, với mỗi đường thẳng{ }{ }.cho tương ứng đường thẳngDo đó f là song ánh.+) Ta chứng minh f là ánh xạ xạ ảnh. Thật vậy:Xét chùm bốn đường thẳng tâm M, giả sử làcắt d lần lượt tại M1, M2,M3, M4. Khi đó:[][]Mặt khác, [][][][]Do đó, f bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì thuộc chùm A và bốnđường thẳng bất kì thuộc chùm B.Vậy, f là ánh xạ xạ ảnh.+) Tuy nhiên, f không là phép chiếu xuyên trục.Gọi A0 là giao điểm của d với tiếp tuyến của (S) tại A.19Theo luật ánh xạ ở trên,không là đường thẳng tự ứngnên f không là phép chiếu xuyên trục.Theo định lý Steiner đảo, quỹ tích các điểmnằm trên một đườngôvan. Hai điểm A và B cũng thuộc quỹ tích. Vì:Nếuthìvàlà tiếp tuyến của ôvan tại A. Gọi, khi đó.. Vậy B cũng thuộc quỹ tích.Suy raTương tự, nếuthì N. Vậy A cũng thuộc quỹ tích.* Đối ngẫu:Cho đường ôvan (S) và hai đường thẳng a, b tiếp xúc với (S). Điểm D cố địnhkhông thuộc a và b. Với mỗi đường thẳng m thay đổi tiếp xúc với (S),đường nốivàvới D,là đường nốilàvới D. Gọi n là đường nối. Khi đó, các đường thẳng a, b, n sẽ tiếp xúc với một đường ôvan nàođó.* Cho AB là đường vô tận, suy ra bài toán trong afin:Trongthực, cho Hypebol (H), hai tiệm cận a và b, một đường thẳng d cố địnhcắt (H) và không đi qua hai tiếp điểm của a và b đối với (H). Với mỗi điểm Mthay đổi thuộc (H), gọi d1 là đường thẳng đi qua M và song song với a, d2 là20đường thẳng đi qua M và song song với b,quỹ tích các điểm N thỏa mãn,. Khi đólà hình bình hành nằm trên một hypebolnào đó cũng nhận a, b làm tiệm cận.21

Tài liệu liên quan

Các yếu tố ảnh hưởng đến thái độ học tập của sinh viên năm nhất tại các trường đại học
- 99
- 2
- 14
TIỂU LUẬN MÔN PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐẨY MẠNH CÔNG TÁC ĐÀO TẠO CHUYÊN NGÀNH PR TẠI CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC Ở VIỆT NAM TRONG GIAI ĐOẠN HIỆN NAY
- 17
- 1
- 7
Các yếu tố tác động đến ý định chọn cơ quan hành chính Nhà nước để làm việc của sinh viên năm cuối ở các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh
- 130
- 107
- 0
Đánh giá chất lượng của sinh viên tốt nghiệp tại các trường Đại học trên địa bàn Hà Nội: Dưới góc nhìn của người sử dụng lao động
- 125
- 120
- 0
Luận văn thạc sĩ quản trị kinh doanh các yếu tố tác động đến ý định chọn cơ quan hành chính nhà nước để làm việc của sinh viên năm cuối ở các trường đại học tại thành phố hồ chí minh
- 130
- 54
- 0
Ảnh hưởng của giới tính đến độ nhạy đạo đức của sinh viên kế toán tại một số trường đại học ở thành phố Hồ Chí Minh
- 90
- 47
- 0
Ảnh hưởng của phong cách lãnh đạo chuyển dạng đến sự sáng tạo của giảng viên – nghiên cứu tại các trường cao đẳng trên địa bàn Thành phố Hồ Chí Minh
- 111
- 161
- 3
Các yếu tố tác động đến ý định chọn cơ quan hành chính Nhà nước để làm việc của sinh viên năm cuối ở các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh
- 130
- 26
- 0
Quản lý hoạt động hỗ trợ sinh viên nội trú tại các trường đại học theo tiếp cận quản lý chất lượng tổng thể
- 239
- 42
- 0
Quản lý hoạt động hỗ trợ sinh viên nội trú tại các trường đại học theo tiếp cận quản lý chất lượng tổng thể
- 239
- 29
- 2