CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG | Tăng Giáp

Có thể bạn quan tâm

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT > Bài 3. Các bài toán về khai triển nhị thức Newton > CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

Thảo luận trong 'Bài 3. Các bài toán về khai triển nhị thức Newton' bắt đầu bởi Doremon, 9/12/14.

Doremon Moderator Thành viên BQT
Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam
A.LÍ THUYẾT: 1.Các hằng đẳng thức $\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^0} = 1\\ {\left( {a + b} \right)^1} = a + b\\ {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\\ {\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\\ {\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\\ ... \end{array}$ 2.Nhị thức Newton( Niu-tơn) a.Định lí: ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $ Kết quả: *${\left( {a - b} \right)^n} = {\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^n} = {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}\left( { - b} \right)} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $ *${\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^k}} = C_n^0 + C_n^1.x + ... + C_n^n.{x^n}$ b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn ${\left( {a + b} \right)^n}$: • Số các số hạng của công thức là n+1 • Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n - k) + k = n • Số hạng tổng quát của nhị thức là: ${T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ (Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ${\left( {a + b} \right)^n}$) • Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. • ${2^n} = C_n^n + C_n^{n - 1} + ... + C_n^0$ • $0 = C_n^0 - C_n^1 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$ • Tam giác pascal: • Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n - 1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi $C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k$ (Với 1 < k < n) 3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: • ${2^n} = {\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k = } C_n^n + C_n^{n - 1} + ... + C_n^0$ • $0 = {\left( {1 - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k = } C_n^0 - C_n^1 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$ • ${\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}} = } C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + ... + C_n^n{x^0}$ • ${\left( {1 - x}\right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^k{x^k} = } C_n^0{x^0} - C_n^1{x^1} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}$ • ${\left( {x - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k{x^{n - k}} = } C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + ... + {\left({ - 1} \right)^n}C_n^n{x^0}$ 4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton. a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có $\sum\limits_{i = 1}^n {C_n^i} $ với i là số tự nhiên liên tiếp. b. Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {i\left( {i - 1} \right)C_n^i} $ thì ta dùng đạo hàm $\left( {i \in N} \right)$ • Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {i + k} \right)C_n^i} $ thì ta nhân 2 vế với x$^k$ rồi lấy đạo hàm • Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {{a^k}C_n^i} $ thì ta chọn giá trị của x = a thích hợp. • Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{i - 1}}C_n^i} $ thì ta lấy tích phân xác định trên [a, b] thích hợp. • Nếu bài toán cho khai triển ${\left( {{x^a} + {x^b}} \right)^n} = {\sum\limits_{i = 1}^n {C_n^i{{\left( {{x^a}} \right)}^{n - i}}\left( {{x^b}} \right)} ^i} = \sum\limits_{i = 1}^n {C_n^i{x^{a\left( {n - i} \right) + ib}}} $ thì hệ số của x$^m$ là C$^i_N$ sap cho phương trình a(n - 1) + bi = m có nghiệm $i \in N$ • C$^i_N$ đạt MAX khi $i = \frac{{n - 1}}{2}$ hay $i = \frac{{n + 1}}{2}$ với n lẽ, $i = \frac{n}{2}$ với n chẵn. B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON. I.Các bài toán về hệ số nhị thức. 1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. Ví dụ 1: Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000 Khai triển và rút gọn đa thức: $Q\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^9} + {\left( {1 + x} \right)^{10}} + ... + {\left( {1 + x} \right)^{14}}$ Ta được đa thức: $Q\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{14}}{x^{14}}$ Xác định hệ số a$_9$. GiảiHệ số x$^9$ trong các đa thức ${\left( {1 + x} \right)^9},{\left( {1 + x} \right)^{10}},...,{\left( {1 + x} \right)^{14}}$lần lượt là: $C_9^9,C_{10}^5,...,C_{14}^9$ Do đó: ${a_9} = C_9^9 + C_{10}^5 + ... + C_{14}^9 = 1 + 10 + \frac{1}{2}.10.11 + \frac{1}{6}.10.11.12 + \frac{1}{{24}}.10.11.12.13 + \frac{1}{{20}}.10.11.12.13.14$=11+ 55 + 220 + 715 + 2002 = 3003 Ví dụ 2:ĐHBKHN-2000 Giải bất phương trình: $\frac{1}{2}A_{2x}^2 - A_x^2 \le \frac{6}{x}C_x^3 + 10$ GiảiĐiều kiện: x là số nguyên dương và $x \ge 3$ Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: $\begin{array}{l}\frac{{\left( {2x - 1} \right)2x}}{2} - \left( {x - 1} \right)x \le \frac{{6\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{3!x}} + 10\\ \Leftrightarrow 2x\left( {2x - 1} \right) - x\left( {x - 2} \right) \le \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) + 10\\ \Leftrightarrow 3x \le 12\Leftrightarrow x \le 4\end{array}$ Vì x là nghiệm nguyên dương và $x \ge 3$ nên $x \in \left\{ {3;4} \right\}$ Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x$^8$ trong khai triển đa thức của: $\left[ {1 + {x^2}{{\left( {1 - x} \right)}^8}} \right]$ GiảiCách 1: Ta có: $f\left( x \right) = {\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]} ^k} = {\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 1} \right)}^i}} C_k^i{x^i}} \right]} ^k}.$ Vậy ta có hệ số của x$^8$ là: ${\left( { - 1} \right)^i}C_8^kC_k^i$ thoã $\left\{ \begin{array}{l}0 \le i \le k \le 8\\2k + i = 8\\i,k \in \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i = 0\\k = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} i = 2\\k = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ Hệ số trong khai triển của x$^8$ là: ${\left( { - 1} \right)^0}C_8^4C_4^0 + {\left( { - 1} \right)^2}C_8^3C_3^2$=238 Cách 2: Ta có: $f\left( x \right) = C_8^0 + ... + C_8^3{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^3} + C_8^4{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^4} + ... + C_8^8{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^8}$ Nhận thấy: x$^8$ chỉ có trong các số hạng: • Số hạng thứ 4: $C_8^3{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^3}$ • Số hạng thứ 5: $C_8^4{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^4}$ Với hệ số tương đương với: ${A_8} = C_8^3C_3^2 + C_8^4C_4^0 = 238$ Ví dụ 4: (ĐH HCQG, 2000) a) Tìm hệ số x8 trong khai triển ${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{12}}$ b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}$ bằng 1024. Hãy tìm hệ số a $\left( {a \in N*} \right)$ của số hạng ax$^{12}$ trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000) Giảia) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: ${a_k} = C_{12}^k{x^{12 - x}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k} = C_{12}^k{x^{12 - 2k}}$ $\left( {0 \le k \le 12} \right)$ Ta chọn 12 – 2k = 8 → 2 Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x$^8$ và có hệ số là: $C_{12}^2 = 66$ b) Ta có: $\left( {1 + {x^2}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2n}}} = C_n^k + C_n^1{x^2} + ... + C_n^k{x^{12 - 2k}}$ Với x = 1 thì: ${2^n} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 1024 \leftrightarrow {2^n} = {2^{10}} \leftrightarrow n = 10$ Do đó hệ số a (của x$^{12}$) là: $C_{10}^6 = 210$ Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: $P\left( x \right) = {(1 + 2x)^{12}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{12}}{x^{12}}$ Tìm max$\left( {{a_0},{a_1},{a_2},...,{a_{12}}} \right)$ GiảiGọi a$^k$ là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ${a_k} > {a_{k - 1}}$ Từ đây ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{2^k}C_{12}^k \ge {2^{k - 1}}C_{12}^{k - 1}\\{2^k}C_{12}^k \ge {2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{k} \ge \frac{1}{{12 - k + 1}}\\\frac{1}{{12 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow m{\rm{ax}}\left( {{a_0},{a_1},{a_2},...,{a_{12}}} \right) = {a_8} =C_{12}^8{2^{18}} = 126720$ 2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton. Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ${\left( {2 - 3x} \right)^{25}}$ GiảiSố hạng thứ 21 trong khai triển là: $C_{25}^{20}{2^5}{\left( { - 3x} \right)^{20}} = C_{25}^{20}{2^5}{3^{20}}{x^{20}}$ Ví dụ 7: a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{21}}$ b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ${\left( {x\sqrt[4]{x} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xy} \right)}^2}}}}}} \right)^{20}}$ Giảia. Khai triển ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{20}}$ có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12. • Số hạng thứ 11 là: $C_{21}^{10}{\left( {{x^3}} \right)^{11}}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{21}^{10}{x^{43}}{y^{10}}$ • Số hạng thứ 12 là: $C_{21}^{11}{\left( {{x^3}} \right)^{10}}{\left( {xy} \right)^{11}} = C_{21}^{10}{x^{41}}{y^{11}}$ b. Khai triển ${\left( {x\sqrt[4]{x} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xy} \right)}^2}}}}}} \right)^{20}}$ có 20 + 1 = 21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng thứ $\left[ {\frac{{21}}{2}} \right] + 1 = 16:C_{20}^{10}{\left( {{x^{\frac{7}{4}}}} \right)^{10}}{\left( {{{\left( {xy} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{10}} = C_{20}^{10}{x^{\frac{{65}}{6}}}{y^{ - \frac{{20}}{3}}}$ ( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x). Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. $f\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}$với GiảiSố hạng tổng quát trong khai triển: ${T_{k + 1}} = C_7^k{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^{7 - k}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^k} = C_7^k{x^{\frac{7}{3} - \frac{7}{{12}}k}}\left( {k \in N,k \le 7} \right)$ Ứng với số hạng không chứa x ta có: $\frac{7}{3} - \frac{7}{{12}}k = 0 \Leftrightarrow k = 4$ Vậy số hạng không chứa x trong khai triển $f\left( x \right)$ là: $C_7^4 = 35$ Ví dụ 9: (ĐH SPHN - 2001) Cho khai triển nhị thức: ${\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}.$ Hãy tìm số hạng a$_k$ lớn nhất. GiảiTa có: ${\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}} = \frac{1}{{{3^{10}}}}{\left( {1 + 2x} \right)^{10}} = \frac{1}{{{3^{10}}}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^k} \Rightarrow {a_k} = \frac{1}{{{3^{10}}}}C_{10}^k{2^k}} $ Ta có a$_k$ đạt được max $\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{10}^k{2^k} \ge C_{10}^{k + 1}{2^{k + 1}}\\C_{10}^k{2^k} \ge C_{10}^{k - 1}{2^{k - 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{2^k}10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} \ge \frac{{{2^k}10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\\ \frac{{{2^k}10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} \ge \frac{{{2^k}10!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {11 - k} \right)!}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{10 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}\\\frac{2}{k} \ge \frac{2}{{11 - k}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{19}}{3} \le k \le \frac{{22}}{3}\\ \Rightarrow k = 7\left( {k \in ,k \in \left[ {0,10} \right]} \right)\end{array}$ Vậy max ${a_k} = {a_7} = \frac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7$ Bài tập rèn luyện Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a$_1$, a$_2$,…, a$_{11}$ là các hệ số trong khai triển sau: $\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + ... + {a_{11}}$ Hãy tìm hệ số a$_5$ Bài 2: Tìm hệ số của x$^5$ trong khai triển $x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}$ ( Khối D-2007) Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức \[{\left( {x + y + z + t} \right)^{20}}\] ( Đề 4 “TH&TT” -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x$^{11}$ trong khai triển đa thức: ${\left( {{x^2} + 2} \right)^n}{\left( {3{x^3} + 1} \right)^n}$ biết: $C_{2n}^{2n} - 3C_{2n}^{2n - 1} + ... + {\left( { - 1} \right)^k}{3^k}C_{2n}^{2n - k} + ... + {3^{2n}}C_{2n}^0 = 1024$ Bài 5: (LAISAC) Khai triển $P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^n}$ ta được $P\left( x \right) = {a_0}{x^{3n}} + {a_1}{x^{3n - 5}} + {a_2}{x^{3n - 10}} + ...$ Biết rằng ba hệ số đầu a$_0$, a$_1$, a$_2$,lập thành cấp số cộng. Tính số hạng thứ x$^4$ II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. 1. Thuần nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng $C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $. Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b. Ví dụ 10: Tính tổng ${3^{16}}C_{16}^0 - {3^{15}}C_{16}^1 + {3^{14}}C_{16}^2 - ... + C_{16}^{16}$ GiảiDễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b= - 1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)$^{16}$=2$^{16}$=16 Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: $C_{2n}^0 + {3^2}C_{2n}^2 + {3^4}C_{2n}^4 + ... + {3^{2n}}C_{2n}^{2n} = {2^{2n - 1}}\left( {{2^{2n}} + 1} \right)$ Giải$\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\left( 1 \right)\\{\left( {1 - x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... - C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\left( 2 \right)\end{array}$ Lấy (1) + (2) ta được: ${\left( {1 + x} \right)^{2n}} + {\left( {1 - x} \right)^{2n}} = 2\left[ {C_{2n}^0 +C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}} \right]$ Chọn x=3 suy ra: $\begin{array}{l}{\left( 4 \right)^{2n}} + {\left( { - 2} \right)^{2n}} = 2\left[ {C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}} \right]\\\Leftrightarrow\frac{{{2^{4n}} + {2^{2n}}}}{2} = C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}\\\Leftrightarrow \frac{{{2^{2n}}\left( {{2^{2n}} + 1} \right)}}{2} = C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}\\\Leftrightarrow {2^{2n - 1}}({2^{2n}} + 1) = C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}\\\Rightarrow {\rm{PCM}}\end{array}$ 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. a.Đạo hàm cấp 1. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng $kC_n^k$ hoặc $kC_n^k{a^{n - k}}{b^{k - 1}}$ thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể: ${\left( {a + x} \right)^n} = C_n^0{a^n} + 2C_n^1{a^{n - 1}}x + ... + nC_n^na{x^n}$ Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: $n{\left( {a + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1{a^{n - 1}} + 2C_n^2{a^{n - 2}} + ... + nC_n^na{x^{n - 1}}\left( 1 \right)$ Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Ví dụ 12: (ĐH BKHN-1999) Tính tổng $C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - 4C_n^4 + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}nC_n^n$ GiảiTa thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x= - 1 ta tính được tổng băng 0. Cách khác: Sử dụng đẳng thức $kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$ ta tính được tổng bằng: $nC_{n - 1}^0 - nC_{n - 1}^1 + nC_{n - 1}^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}nC_{n - 1}^{n - 1} = n{\left( {1 - 1} \right)^{n - 1}} = 0$ Ví dụ 13:Tính tổng: $2008C_{2007}^0 + 2007C_{2007}^1 + ... + C_{2007}^{2007}$ GiảiHệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008, 2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: ${\left( {x + 1} \right)^{2007}} = C_{2007}^0{x^{2007}} + C_{2007}^1{x^{2006}} + ... + C_{2007}^{2007}$ Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được $2007C_{2007}^0{x^{2006}}$ trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: $\begin{array}{l}x{\left( {x + 1} \right)^{2007}} = C_{2007}^0{x^{2008}} + C_{2007}^1{x^{2007}} + ... + C_{2007}^{2007}x\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^{2006}}\left( {2008x + 1} \right) = 2008C_{2007}^0{x^{2007}} + 2007C_{2007}^1{x^{2006}} + ... + C_{2007}^{2007}\end{array}$ Thay x = 1 vào ta tìm được tổng là 2009.2$^{2006}$ b.Đạo hàm cấp 2. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n - 1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 1$^2$,2$^2$,…,n$^2$ (không kể dấu) tức có dạng $k(k - 1)C_n^k{a^{n - k}}$ hay tổng quát hơn $k\left( {k - 1} \right)C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức ${\left( {a + bx} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1{a^{n - 1}}bx + ... + C_n^n{b^n}{x^n}$ Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: $bn{\left( {a + bx} \right)^{n - 1}} = C_n^1{a^{n - 1}}b + 2C_n^2{a^{n - 2}}{b^2}x... + nC_n^n{b^n}{x^{n - 1}}$ Đạo hàm lần nữa: ${b^2}n\left( {n - 1} \right)\left( {a + b{x^{n - 2}}} \right) = 2.1C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + n\left( {n - 1} \right)C_n^n{b^n}{x^{n - 1}}\left( 2 \right)$ Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi. Ví dụ 14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho $f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^n},\left( {2 \le n \le Z} \right)$ a.Tính f”(1) b.Chứng minh rằng: $2.1C_n^2 + 3.2C_n^3 + ... + \left( {n - 1} \right)nC_n^n = n\left( {n - 1} \right){2^{n - 2}}$ Giảia. $f''\left( x \right) = n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} \Rightarrow f''\left( x \right) = n\left( {n - 1} \right){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} \Rightarrow f''(1) = n{(1 + x)^{n - 2}}$ b. Ta có $\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 1}^n{C_n^k{x^k} = C_n^0 + C_n^1x} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{x^k}} \\f'\left( x \right) = C_n^1 + \sum\limits_{k = 2}^n {kC_n^k{x^{k - 1}}} \\f''\left( x \right) = \sum\limits_{k = 2}^n {k\left( {k - 1} \right)C_n^k{x^{k - 2}}} \\\Rightarrow f''\left( 1 \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k - 1} \right)C_n^k = {2^{n - 2}}} \\\Rightarrow 2.1C_n^1 + 3.2C_n^2 + ... + \left( {p + 1} \right)C_n^p + ... + \left( {n + 1} \right)nC_n^n = n\left( {n + 1} \right){2^{2n - 1}}\left( {{\rm{PCM}}} \right)\end{array}$ Từ câu b thay (n - 1) = (n + 1) thì ta có một bài toán khác: b’. Chứng minh rằng: $2.1C_n^1 + 3.2C_n^2 + ... + \left( {n + 1} \right)pC_n^p + ... + \left( {n + 1} \right)nC_n^n = n\left( {n + 1} \right){2^{n - 2}}$ Với bài toán này ta giải như sau: Xét nhị thức: ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + ... + C_n^n{x^n}$ Nhân 2 vế của đẳng thức với $x \ne 0$đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được: $2n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} + n\left( {n - 1} \right)x{\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = 2C_n^1x + 3.2C_n^2x + ... + \left( {n + 1} \right)nC_n^n{x^{n - 1}}$ Cho x = 2 ta được ĐPCM Bài tập rèn luyện Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: $C_{20}^1 + C_{20}^1 + ... + C_{20}^{19} = {2^{19}}$ Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : $C_{2004}^0 + {2^2}C_{2004}^1 + ... + {2^{2004}}C_{2004}^{2004} = \frac{{{3^{2004}} + 1}}{2}$ Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: ${\left( {2 + x} \right)^n} = {1.2^{n - 1}}.C_n^1 + {2.2^{n - 2}}.C_n^2 + {3.2^{n - 2}}.C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.3^{n - 1}}\left( {\forall 1 \le n \in Z} \right)$ Bài 4: Rút gọn tổng: ${1^2}C_{2009}^1{2^{2008}} + {2^2}C_{2009}^2{2^{2007}} + ... + {2009^2}C_{2009}^{2009}$ III.Một số phương pháp khác: Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho $\left\{ \begin{array}{l}0 \le m \in k \le n\\k,m,n \in Z\end{array} \right.$ Chứng minh: $C_n^k.C_m^0 + C_n^{k - 1}C_m^1 + ... + C_n^{k - m}C_m^m = C_{n + m}^k$ Giải${\rm{Ta c}}\'o :\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^m} = C_m^0 + C_m^1x + ... + C_m^m{x^m}\\{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + ... + C_n^n\\ {\left( {1 + x} \right)^{m + n}} = C_{m + n}^0 + C_{m + n}^1x + ... + C_{m + n}^{m + n}{x^{m + n}}\end{array} \right.$ Suy ra hệ số xk trong (1+x)$^n$ .(1+x) $^m$ là $C_m^0C_n^k + C_m^1C_n^{k - 1} + ... + C_m^mC_n^{k - m}$ Và hệ số x$^k$ trong khai (1+x)¬¬$^{m+n}$ là $C_{m + n}^k$ Đồng nhất thức: (1+x) )$^n$ .(1+x) )$^m$ = (1+x)$^{n+m}$ Ta được: $C_n^k.C_m^0 + C_n^{k - 1}C_m^1 + ... + C_n^{k - m}C_m^m = C_{n + m}^k \Rightarrow $ĐPCM Ví dụ 16: (Đề2-TH&TT-2008) S$_2$=${\left( {C_n^1} \right)^2} + 2{\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + n{\left( {C_n^n} \right)^2}$ với n là số tự nhiên lẽ GiảiTa có: $S = \left( {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + \left( {n - 1} \right){{\left( {C_n^{n - 1}} \right)}^2}} \right) + ... + {\left( {\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)\left( {C_n^{\frac{{n - 1}}{2}}} \right)} \right)^2} + {\left( {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)\left( {C_n^{\frac{{n + 1}}{2}}} \right)} \right)^2} + n{\left( {C_n^n} \right)^2}$ $\begin{array}{l}n\left( {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^{n - 1}} \right)}^2}} \right) + n\\ = n\left( {{{\left( {C_n^{n + 1}} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^{n - 1}} \right)}^2}} \right) + n\\ \Rightarrow 2{S_n} = n\left[ {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^n} \right)}^2}} \right] + n\end{array}$ Mặt khác ta có: ${\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}} \Rightarrow $hệ số của xn là: $C_{2n}^n(*)$ Trong khi đó: ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + ... + C_n^n{x^n}$ Nên hệ số của x$^n$ là ${\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2}$ (**) Từ (*) và (**) $ \Rightarrow C_{2n}^n - 1 = n\left[ {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^n} \right)}^2}} \right]$ $ \to {S_n} = \frac{n}{2}C_{2n}^n \to {\rm{PCM}}$ Bài tập rèn luyện Bài 1: Chứng minh rằng: a) $C_n^1{3^{n - 1}} + 2C_n^2{3^{n - 1}} + ... + nC_n^n = n{.4^{n - 1}}$ (ĐH Luật-2001) b) ${1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {n^2}C_n^n = n\left( {n + 1} \right){2^{n - 2}}$ ( Đề 1-TH&TT-2008) Bài 2: Tính các tổng sau: a) $C_{30}^1 + {3.2^2}C_{30}^3 + {5.2^4}C_{30}^5 + ... + {29.2^{28}}C_{30}^{29}$ b) $C_n^0 - \frac{{C_n^1}}{2} + \frac{{C_n^2}}{3} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}\frac{{C_n^n}}{{n + 1}}$ Bài 3: Đặt ${T_k} = {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}{3^k}C_{6n}^{2k + 1}$. Chứng minh $\sum\limits_{k = 1}^{3n} {{T_k}} = 0$

Bài viết mới nhất
- CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG08/12/2014
Last edited by a moderator: 4/10/19 Doremon, 9/12/14 #1 Chuột kon thích bài này.
Chuột kon Mới đăng kí
Tham gia ngày: 25/1/15 Bài viết: 3 Đã được thích: 1 Điểm thành tích: 1
Giúp em bài này ạ! tìm hệ số của x^26 trong khai triễn (1/x^4 +x^7)^n. Biết (2n+1)C1 +(2n+1)C2 +(2n+1)C3......+(2n+1)Cn=2^10 -1
Chuột kon, 8/4/15 #2
AnhNguyen Mới đăng kí Thành viên BQT
Tham gia ngày: 12/4/16 Bài viết: 23 Đã được thích: 13 Điểm thành tích: 3 Giới tính: Nam
Những bài như thế này khó ở chỗ tìm được giá trị n. Sau đây là cách làm. Có gì chưa rõ e cứ trao đổi nhé. Chúc em học tốt !
AnhNguyen, 13/4/16 #3 Huy Hoàng thích bài này.
Bá thắng Mới đăng kí
Tham gia ngày: 28/9/17 Bài viết: 22 Đã được thích: 1 Điểm thành tích: 1 Giới tính: Nam
cho e hỏi với ạ! Công thức khi a=b=1 dùng để làm gì ạ (2^n)
Bá thắng, 28/9/17 #4