CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Lớp 8 - 123doc

Tải bản đầy đủ (.docx) (25 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.97 KB, 25 trang )

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNa ( a + 1) = k 2Dạng 1: Sử dụng tính chất:x2 + x − y 2 = 0Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:x = 02x +1 = 0x ( x + 1) = y=>x 2 + y 2 + 3 xy = x 2 y 2Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2( x + y ) = x 2 y 2 − xy = xy ( xy − 1)x2 − y 2 − x + 2 y = 1Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2x 2 − x = y 2 − 2 y + 1 => ( y − 1) = x ( x − 1)x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2( x + y ) = x 2 y 2 + xy = xy ( xy + 1)1GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713Dạng 2: Đưa về tổng các số chính phương4 x 2 + 8 y 2 + 8 xy + 4 y − 8 = 0Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:22( 2 x + 2 y ) + ( 2 y + 1) = 9 = 02 + 32x2 + y 2 − x − y = 8Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:( 4 x 2 − 4 x + 1) + ( 4 y 2 − 4 y + 1) = 34Nhân với 4 ta được:x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 169Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2( x − 2 y ) + y 2 = 169x 2 + 5 y 2 + 2 y − 4 xy − 3 = 0Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:22( x − 2 y ) + ( y + 1) = 4x 2 + 13 y 2 − 6 xy = 100Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:HD:2( x − 3 y ) + 4 y 2 = 1002 x 6 + y 2 − 2 x3 y = 64Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2t 2 + ( t − y ) = 64x3 = tnếu đặtx+11+ y+ =4xy(x+ 1) ( x 2 + y 2 ) = 4 x 2 yBài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:221  1 x−+y−÷ =4÷x  y÷2Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:x 4 + x 2 y 2 + x 2 + y 2 = 4 x 2 y => ( x 2 − y ) + x 2 ( y − 1) = 0222 x 2 + y 2 − 2 xy + 2 y − 6 x + 5 = 0Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::HD :2GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713(x2− 2 xy + y 2 ) − 6 x + 2 y + x 2 + 5 = 0( x − y)2− 2 ( x − y ) − 4x + x2 + 5 = 0=>( x − y − 1)2+ ( x − 2) = 02=>x2 + 4 y 2 − 2x − 4 y + 2 = 0Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:( x2 − 2 x + 1) + ( 4 y 2 − 4 y + 1) = 04 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 xy − 4 xz + 2 yz − 6 y − 10 z + 34 = 0Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2( 2 x ) − 4 x ( y + z ) + y 2 + 2 yz + z 2 + y 2 − 6 y + z 2 − 10 z + 34 = 0(( 2x − x − y )2) () ()+ ( y 2 − 6 y + 9 ) + ( z 2 − 10 z + 25 ) = 0=>x2 + y 2 − x − y = 8Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:1  21  1722 2=> ( 2 x − 1) + ( 2 y − 1) = 34 x − x + ÷+  y − y + ÷ =4 4 2m 2 + n 2 = 9m + 13n − 20Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:( 4m2 − 36m + 81) + ( 4n2 − 52n + 169 ) = 170Nhân 4x 2 − 6 xy + 13 y 2 = 100Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:( x − 3 y ) 2 = 4(25 − y 2 )y 2 ≤ 25, y 2, màlà số chính phương nên =>yx 2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:HD :x 2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0Ta có phương trình trở thành :2x 2 − 4 xy + 4 y 2 + y 2 = 16 => ( x − 2 y ) + y 2 = 16( x − 2y) ∈ Z=>, Vì x,y là số nguyên nên22( x − 2 y ) + y = 16 = 0 + 16 = 16 + 0=>x 2 + y 2 + 5 x 2 y 2 + 60 = 37 xyBài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:HD:3GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713( x − y)2= − x 2 y 2 + 35 xy − 60 => ( x − y ) = 5 ( xy − 3 ) ( 4 − xy )2≥05 ( xy − 3) ( 4 − xy ) ≥ 0 => 3 ≤ xy ≤ 4Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT=>Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=42( x − y ) = 0 => x = yNếu xy=3 thìvà xy=3( vô lý)2( x − y ) = 0 => x = y = 2Nếu xy=4 thì.10 x 2 + 20 y 2 + 24 xy + 8 x − 24 y + 51 < 0Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:HD:222( 3x + 4 y ) + ( x + 4 ) + ( 2 y − 6 ) − 1 < 03x + 4 y = 0, x + 4 = 0, 2 y − 6 = 0Biến đổi:khi2x + y 2 − 8 x + 3 y = −18Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD:x5 + 29 x − 30 y = 10Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:HD:4GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCHx2 + 4x − y 2 = 1Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x2 + 4x + 4) − y 2 = 5x − y + 2 xy = 6Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:Ta có:<=> x ( 1 + 2 y ) − y = 6 <=> x ( 1 + 2 y ) − y −1 11=2 22 x ( 1 + 2 y ) − ( 2 y + 1) = 11 <=> ( 2 x − 1) ( 2 y + 1) = 11x 2 + xy + 3 y = 11Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :22 2y y2   y2 2x + y   y − 3  x + 2 x. + ÷−  − 3 y ÷ = 11 => ÷ −÷ =22 4   4 2   2 ( 2x + y )2− ( y − 3) = 8 <=> ( 2 x + y + y − 3) ( 2 x + y − y + 3) = 82x 2 − 25 = y ( y + 6 )Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 − ( y 2 + 6 y ) = 25 => x 2 − ( y 2 + 6 y + 9 ) = 16( x + y + 3)( x − y − 3) = 16=>x − y − 3 + x + y + 3 = 2xmàlà 1 số chẵn nên 2 số đều chẵnx ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) = y 2Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x2 + 3x ) ( x 2 + 3x + 2 ) = y 2 => ( a + 1 + y ) ( a + 1 − y ) = 1 a = x2 + 3xvới22x − y = 1999Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:( x − y ) ( x + y ) = 1999x 2 + 2 y = xyBài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD: 2y y2   y2yx−2x.+ ÷−  + 2. .2 + 4 ÷ = −42 4   42( x − 2 y − 2 ) ( x + 2 ) = −16=>x − y = 6 − 2 xyBài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :5GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 09818917132 xy + x − y = 6 <=> x ( 2 y + 1) − y −1 11=2 22 x ( 2 y + 1) − ( 2 y + 1) = 11 <=> ( 2 x − 1) ( 2 y + 1) = 11x2 + y 2 = 2x2 y 2Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:2 x 2 y 2 − x 2 − y 2 = 0 => x 2 ( 2 y 2 − 1) − y 2 +1 1=2 22 x 2 ( y 2 − 1) − ( 2 y 2 − 1) = 1 => ( 2 x 2 − 1) ( 2 y 2 − 1) = 1=>xy = 4 ( x + y )Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :xy − 4 x − 4 y = 0 <=> x ( y − 4 ) − 4 y + 16 = 16 <=> x ( y − 4 ) − 4 ( y − 4 ) = 16 <=> ( x − 4 ) ( y − 4 ) = 16x ( x − 1) ( x − 7 ) ( x − 8 ) = y 2Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:( x 2 − 8 x ) ( x 2 − 8 x + 7 ) = y 2 <=> a ( a + 7 ) = y 2x ( x − 8 ) = y 2 − 116Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:2x 2 − 8 x + 16 − y 2 = −110 => ( x − 4 ) − y 2 = −110xy + 3 x − 5 y = −3Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:x ( y + 3) − 5 y − 15 = −18 => x ( y + 3) − 5 ( y + 3) = −186 x 2 y 3 + 3 x 2 − 10 y 3 = 2Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:3x 2 ( 2 y 3 + 1) − 10 y 3 − 5 = 23 x 2 ( 2 y 3 + 1) − 5 ( 2 y 3 + 1) = 2=>2 x 2 + y 2 + 3 xy + 3 x + 2 y + 2 = 0Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:22 23x + 2 )   2 ( 3x + 2 )(y+ 3x + 2 ÷ = 0 y + 2. . ( 3 x + 2 ) + +  2x −÷244 2=>3 x + 2  8 x 2 − 9 x 2 − 12 x − 4 + 12 x + 8y+=0÷ +2 4( 2 y + 3x + 2 )2− x 2 = −4=>6GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 09818917134 2+ =1x yBài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:4 y + 2 x = xy => x ( y − 4 ) − 2 x = 01 1 1+ =x y 3Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :⇔ 3 ( x + y ) = xy ⇔ x ( y − 3) − 3 y = 0xy − x − y = 2Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :<=> x ( y − 1) − y + 1 = 3 <=> x ( y − 1) − ( y − 1) = 3 <=> ( x − 1) ( y − 1) = 3x + xy + y = 9Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x ( y + 1) + y + 1 = 10 <=> ( x + 1) ( y + 1) = 10x 2 − 2 x − 11 = y 2Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2<=> ( x 2 − 2 x + 1) − y 2 = 12 <=> ( x − 1) − y 2 = 12 <=> ( x − 1 − y ) ( x − 1 + y ) = 12x3 − y 3 = xy + 8Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :3( x − y ) + 3xy ( x − y ) = xy + 8x − y = aa3 − 833=>ft<=>a+3ab=b+8<=>a−8=−b3a−1=>−b=()3a − 1 xy = bĐặt :27 ( a 3 − 8 ) M3a − 1 => 27 a 3 − 1 − 215M3a − 1 => 3a − 1 ∈ U ( 215 )1 111+ +=x y 6 xy 6Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :<=> 6 ( x + y ) + 1 = xy <=> xy − 6 x − 6 y = 1 <=> x ( y − 6 ) − 6 y + 36 = 37<=> x ( y − 6 ) − 6 ( y − 6 ) = 37 <=> ( x − 6 ) ( y − 6 ) = 372 x 2 − 2 xy − 5 x + y + 19 = 0Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :7GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD :Ta có :<=> 2 x ( x − y ) − ( x − y ) − 4 x + 19 = 0 <=> ( x − y ) ( 2 x − 1) − 4 x + 2 = −17<=> ( x − y ) ( 2 x − 1) − 2 ( 2 x − 1) = −17 <=> ( 2 x − 1) ( x − y − 2 ) = −17x 2 + 2 y 2 + 2 xy + y − 2 = 0Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :<=> x 2 + 2 yx + 2 y 2 + y − 2 = 0∆ ' = y2 − ( 2 y 2 + y − 2) = − y2 − y + 2Có, Để phương trình có nghiệm thì :1 931 3∆ ' ≥ 0 <=>  y + ÷ ≤ <=> − ≤ y + ≤ <=> −2 ≤ y ≤ 12 422 22x2 + ( 3 − 2 y ) x + 2 y 2 − 3 y + 2 = 0Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :∆ ' = 1 − 4y 2∆ ' ≥ 0 <=> y 2 ≤Có1<=> y = 0 => x = −1, x = −24, để phương trình có nghiệm thì3x 2 + 4 y 2 + 6 x + 3 y − 4 = 0Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :<=> ( 3 x 2 + 6 x ) + ( 4 y 2 + 3 y ) = 4x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 y − 3 = 0Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :22<=> ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) + ( y 2 + 2 y + 1) = 4 <=> ( x − 2 y ) + ( y + 1) = 43 x 2 + y 2 + 4 xy + 4 x + 2 y + 5 = 0Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :∆ y = x 2 − 4 => ∆ y ≥ 0 <=> ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≥ 0 => x = ±Xét :x 2 − ( y + 5) x + 5 y + 2 = 0Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Theo vi- ét ta có : x1 + x2 = y + 5=> ( x1 − 5 ) ( x2 − 5 ) = 2 = 1.2 = ( −1) . ( −2 ) x1.x2 = 5 y + 2x 2 − 2 x − 11 = y 2Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :8GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713( x − 1)2− y 2 = 12 <=> ( x − 1 + y ) ( x − 1 − y ) = 12Đưa phương trình về dạng :x 2 + 2 y 2 + 3 xy − x − y + 3 = 0Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Chuyển phương trình thành bậc hai với x<=> x 2 + ( 3 y − 1) x + ( y 2 − y + 3) = 0, có :2∆ = y − 2 y − 11∆, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phươngy 2 − 2 y − 11 = k 2 ( k ∈ Z ) => y = 5, y = −3=>xy − 2 x + 3 y = 27Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x + 3) ( y − 2 ) = 21Đưa phương trình về dạng :x ( y + 3) − y = 38Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x − 1) ( y + 3) = 35Đưa phương trình về dạng :3 xy + x + y = 17Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( 3x + 1) ( 3 y + 1) = 52Đưa phương trình về dạng :x 2 + x + 1 = xy − yBài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x − 1) ( y − x − 2 ) = 3Đưa phương trình về dạng :xy 2 + 2 xy − 243 y + x = 0Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình về dạng :22x ( y + 1) = 243 y => ( y + 1) ∈ U ( 243)( x; y ) = ( 54; 2 ) ; ( 24;8 )=>2 x 2 − 2 xy = 5 x − y − 19Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2 x 2 − 5 x + 192 x 2 − 5 x + 19 = y ( 2 x − 1) => y =2x −1đưa phương trình về :9GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713y ( x − 1) = x 2 + 2Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình về dạng :3y = x +1+x −115 x 2 − 7 y 2 = 9Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y 2 M3 => y M3 => y = 3 y1 => 5 x 2 − 21 y12 = 3 => xM3 => x = 3 x1Ta có :=> 15 x12 − 7 y12 = 1 => y12 ≡ −1( mod 3 )=> Vô nghiệm29 x 2 − 28 y 2 = 2000Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 ≡ 5 ( mod 7 )Đưa phương trình về thành :, Vô nghiệm1999 x 2 − 2000 y 2 = 2001Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 ≡ −1( mod 4 )Đưa phương trình về dạng :, Vô nghiệmx 2 y 2 − x 2 − 8 y 2 = 2 xyBài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2y 2 ( x2 − 7 ) = ( x + y )Đưa phương trình về dạng :x= y=0x2 − 7Phương trình có nghiệm, xét x, y # 0 =>là 1 số chính phương22x − 7 = a => ( x − a ) ( x + a ) = 7 =>Đặt :Tìm x( 0;0 ) , ( 4; −1) , ( 4; 2 ) , ( −4;1) , ( −4; −2 )x + xy + y = 9Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x + 1) ( y + 1) = 10Đưa phương trình vê dạng :y 2 = x ( x + 1) ( x + 7 ) ( x + 8 )Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2y 2 = ( x 2 + 8 x ) ( x 2 + 8 x + 7 ) = z 2 + 7 z => 4 y 2 = ( 2 z + 7 ) − 49Đưa phương trình thành :10GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 098189171349 = ( 2 z − 2 y + 7 ) ( 2 z + 2 y + 7 )=>x ( 1 + x + x 2 ) = 4 y ( y + 1)Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :21 + x + x 2 + x3 = 4 y 2 + 4 y + 1 => ( x + 1) ( x 2 + 1) = ( 2 y + 1)Phương trình <=>( x + 1) , ( x 2 + 1)Vì VP là 1 số lẻ =>là số lẻ ,1 − x 2 Md1 + x Md=> 22( x + 1; x2 + 1) = d1 + x Md1 + x MdGiả sử :=> d lẻ , Mà :2=> ( 1 + x ) ( 1 + x )x + 1 = x 2 + 1 => x = 0là số chính phương =>x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :2x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 => ( x + y ) = x 2 y 2 + xy = xy ( xy + 1) xy = 0=>  xy + 1 = 0x + y + xy = x 2 + y 2Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình về dạng :x 2 − ( y + 1) x + ( y 2 − y ) = 0, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :222∆ ≥ 0 <=> 3 y − 6 y − 1 < 0 <=> 3 ( y − 1) ≤ 4 => ( y − 1) ≤ 1y = 0,1, 2Từ đó ta có :x 2 + 2 y 2 + 3 xy − x − y + 3 = 0Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 + ( 3 y − 1) x + ( 2 y 2 − y + 3) = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làLàm giống bài trên( x2 + y ) ( x + y 2 ) = ( x − y ) 3Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y  2 y 2 + ( x 2 − 3 x ) y + ( x + 3x 2 )  = 0Đưa phương trình về dạng :TH1 : y=0 => ...11GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713y ≠ 0 => 2 y 2 + ( x 2 − 3 x ) y + ( x + 3 x 2 ) = 0TH2 :∆ ≥ 0 => ( x + 1) x ( x − 8 )2Điều kiện để phương trình có nghiệm làphải là 1 số chính phương2x ( x − 8 ) = a ( a ∈ N ) => ( x − 4 − a ) ( x − 4 + a ) = 16=>=> Tìm xĐáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên7 ( x + y ) = 3 ( x 2 − xy + y 2 )Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :3x 2 − ( 3 y + 7 ) x + 3 y 2 − 7 y = 0Đưa phương trình về dạng :∆Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương12 x 2 + 6 xy + 3 y 2 = 28 ( x + y )Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :214214  196229 x = −3 ( x + y ) + 28 ( x + y ) =− 3 ( x + y ) −  ≤333x 2 ≤ 7 => x 2 ∈ { 0;1; 4}=>Cách 2 : Tính∆x 2 + xy + y 2 = 2 x + yBài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x2 + ( y − 2) x + y2 − y = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làx 2 + xy + y 2 = x + yBài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 + ( y − 1) x + y 2 − y = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làx 2 − 3 xy + 3 y 2 = 3 yBài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 − 3 yx + 3 y 2 − 3 y = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làx 2 − 2 xy + 5 y = y + 1Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :12GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713x 2 − 2 yx + 5 y 2 − y − 1 = 0Đưa phương trình về dạng :Điều kiện để phương trình có nghiệm là∆≥0x2 − 4 y 2 = 1Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x − 2y) ( x + 2 y) = 1Biến đổi phương trình thành :x 2 − y 2 = 91Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x − y ) ( x + y ) = 91Biến đổi phương trình thành :2 x3 + xy = 7Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x ( 2 x2 + y ) = 7Biến đổi phương trình thành :x3 + 7 y = y 3 + 7 xBài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :x3 − y 3 − ( 7 x − 7 y ) = 0 <=> ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) − 7 ( x − y ) = 0<=> ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 − 7 ) = 0x=yTH1 :x 2 + xy + y 2 = 7 => ( x − y ) = 7 − 3 xy => xy y = 27=> 3 x = 2 => y = 13x 2 + 10 xy + 8 y 2 = 96Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x + 2 y ) ( 3x + 4 y ) = 96Đưa phương trình về dạng :( x + 2 y ) + ( 3x + 4 y ) = 2 ( 2 x + 3 y )Chú ý : Vìlà 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵnxy + 3x − 5 y = −3Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x ( y + 3) − 5 y − 15 = −18 => x ( y + 3) − 5 ( y + 3) = −18Đưa phương trình về dạng :13GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713<=> ( x − 5 ) ( y + 3) = −18x + y + 1 = xyzBài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x≤ yGiả sử :x = y => 2 x + 1 = x 2 z => x ( xz − 2 ) = 1 => x = y = 1, z = 3TH1 :x < y => xyz < 2 y + 1 => xyz ≤ 2 y <=> xz ≤ 2 => x = 1, y = 2, z = 2TH2 :hoặcx = 2, y = 2, z = 12 x 2 − 2 xy − 5 x + 5 y = −19Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2 x ( x − y ) − 5 ( x − y ) = −19 <=> ( 2 x − 5 ) ( x − y ) = −19Đưa phương trình về dạng :4 x + 11 y = 4 xyBài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( 4 x − 11) ( y − 1) = 1Đưa phương trình về dạng :x 2 − 656 xy − 657 y 2 = 1983Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x + y ) ( x − 567 y ) = 1983Đưa phương trình về dạng :7 x − xy − 3 y = 0Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x + 3) ( 7 − y ) = 21Đưa phương trình về dạng :y 2 ( x + 1) = 1576 + x 2Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x + 1) ( y 2 − x + 1) = 1577 = 19.83Đưa phương trình về dạng :x 2 + 2003 x + 2004 y + y = xy + 2004 xy 2 + 2005Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :( x − 1) ( x + 2004 − 2004 y 2 − y ) = 1Đưa phương trình về dạng :14GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713DẠNG 4 : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐx 2 − 3x + 9 = − xy + 2 yBài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y ( x − 2 ) = x2 − 3 x + 9Phương trình tương đương với :=> x 2 − 3x + 9M2 − xy=x 2 − 3x + 92− xVới x=2 không phải là nghiệm khi đó ta có :x2 y + 2 y = x + 4Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y ( x 2 + 2 ) = x + 4 => y =Biến đổi phương trình thành :x+4x2 + 2x2 y + 2 y − 2x +1 = 0Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y ( x 2 + 2 ) = 2 x − 1 => y =Biến đổi phương trình thành :2x −1x2 + 2x3 − x 2 y + 3x − 2 y − 5 = 0Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x3 + 3x − 5 = x 2 y + 2 y = y ( x 2 + 2 )Biến đổi phương trình về dạng :x3 + 3x − 5=> y =x2 + 2A=x3 − 2 x2 + 7 x − 7x2 + 3Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :HD :4x −1A = ( x − 2) + 2=> ( 4 x − 1) Mx 2 + 3 => ( 4 x − 1) ( 4 x + 1) Mx 2 + 3x +3Ta có :7 ( x − 1) + 3 y = 2 xyBài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :7 x − 7 + 3 y = 2 xy => 7 ( x − 1) = 2 xy − 3 y = y ( 2 x − 3 )ta có :7x − 7=> y =2x − 3x 2 y + xy + y − x − 1 = 0Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :15GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713y ( x 2 + x + 1) = x + 1 => y =Biến đổi phương trình thành :x +1x + x +12x2 y − 2x + 2 y +1 = 0Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :2x −1y ( x 2 + 2 ) = 2 x − 1 => y = 2x +2x3 − x 2 y − 2 x 2 − 3 y − 7 x − 7 = 0Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình trở thành :x3 − 2 x 2 − 7 x − 7 = x 2 y + 3 y = y ( x 2 + 3)x3 − 2 x 2 − 7 x − 7=> y =x2 + 33 x + 4 y − xy = 16Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :xy − 3 x − 4 y = −16 <=> x ( y − 3) − 4 y + 12 = −4x ( y − 3) − 4 ( y − 3) = −4 => ( y − 3 ) ( x − 4 ) = −4xy − 3x − 4 y = 9Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :x ( y − 3) − 4 y + 12 = 21 <=> ( x − 4 ) ( y − 3) = 212 xy − 5 = 6 x + yBài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :2 xy − 6 x − y = 5 <=> 2 x ( y − 3) − y + 3 = 8( y − 3) ( 2 x − 1) = 8( y + 2) x2 + 1 = x 2Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :x2 −1x2 − 1y + 2 = 2 => y = 2 − 2xxx 2 + 2 xy + x + 1 + 3 y = 15Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :16GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713Biến đổi phương trình thành :x 2 + x + 1 − 15 = − y ( 2 x + 3) => − y =x 2 + x − 142x + 35 x + 25 = 8 y 2 − 3xyBài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :3 xy + 5 x = 8 y 2 − 25 => x ( 3 y + 5 ) = 8 y 2 − 25x=8 y 2 − 253y + 52 xy 2 + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xyBài 16 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :( 2 xy 2 − 2 y 2 ) − ( xy − y ) − ( x 2 − x ) = −1<=> 2 y 2 ( x − 1) − y ( x − 1) − x ( x − 1) = −1 <=> ( x − 1) ( 2 y 2 − y − x ) = −1( y + 2) x2 + 1 = y2Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :y2 −1x2 =y+25 x − 3 y = 2 xy − 11Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :2 xy − 5 x + 3 y = 11 <=> x ( 2 y − 5 ) = 11 − 3 y => x =11 − 3 y2y −5xy − 2 x − 3 y + 1 = 0Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình ta có :5y = 2+x −3y ( x + 1) = x 2 + 2Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình ta có :3y = x +1+x −12 x − 3 y + 5 xy = 39Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :17GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD :Biến đổi phương trình thành :2 x − 39y==> 2 x − 39 ≥ 3 − 5 x => −12 ≤ x ≤ 63 − 5x=> ( 2 x − 39 ) ≥ ( 3 − 5 x )225 x − 3 y = 2 xy − 11Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình về dạng :x+522y = 2+=> x + 5 ≥ 2 x + 3 => ( x + 5 ) ≥ ( 2 x + 3)2x + 3Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình trở thành :( y − 1) x 2 + ( y + 1) x + y − 1 = 0x2 − x + 1y= 2x + x +1TH1 : y=1=>x=0y ≠ 1 => ∆ x ≥ 0 <=>TH2 :1≤ y ≤ 3 => y ∈ { 0;1; 2;3}3A=x2 + x + 1xy − 1Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên sao cho A có giá trị nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :x + y +1yA = x + 1 +=> x + y + 1 ≥ xy − 1 => ( x − 1) ( y − 1) ≤ 3xy − 12 ( y + z ) = x ( yz − 1)Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết :HD :Biến đổi phương trình thành :2 y + 2zx==> 2 y + 2 z ≥ yz − 1 => yz − 1 − 2 y − 2 z ≤ 0yz − 1A=Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :2 ( a + b ) M( ab + 2 ) => 2 ( a + b ) = k ( ab + 2 )a2 − 2ab + 2Chứng minh k=1=>a=4, b=3x 2 − y 2 = 2003Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :18GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD:( x − y ) ( x + y ) = 2003Biến đổi phương trình thành:3 x 2 + 7 y 2 = 2002Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :HD:Biến đổi phương trinhg thành:x23. + y 2 = 286 => x 2 M7x 2 < 286 => 7 ≤ x ≤ 16x M7 => x = 7, x = 147vàvà2x = 7 => y = 165 ( l )Vớix = 14 => y 2 = 202 ( l )Vớix 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2006Bài 29 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :HD:Biến đổi phương trình thành:x 3 − x = x ( x 2 − 1) = ( x − 1) x ( x + 1) M3y 3 − y M3, z 3 − z M3Tương tự ta có:, Mà/32006 M, Vậy không tồn tại x,y,zx + 3 = 30262yBài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn :HD:y = 0 => x 2 = 3026 − 1 = 3025 => x = 55Xéty > 0 => 3 y M3x2 : 3Xétcòndư 0 hoặc 12yx +3 :3=>dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lýx 2 − 2 y = 2005Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :HD:Với y<0 => Phương trình vô nghiệmnếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệmy > 3 => 2 y M8 => PT <=> x 2 − 2005 = 2 y M8nếux 2 ≡ 5 ( mod 8 )=>( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chuviHD:(1≤ x ≤ y < z)Gọi x, y là các cạnh của hình vuôngxy = 2 ( x + y + z )x2 + y 2 = z 2ta có:và(2)222z = ( x + y ) − 2 xy = ( x + y ) − 4 ( x + y + z )Khi đó ta có:19GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713=> ( x + y ) − 4 ( x + y ) + 4 = z 2 + 4 z + 42=> ( x + y − 2 ) = ( z + 2 ) => ( x + y − 2 = z + 2 )22z = x+ y−4Thayvào (2) ta được5 x − 3 y = 2 xy − 11Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:5 x + 11x+5y== 2+=> 2 ( x + 5 ) M2 x + 3 => 7 M2 x + 32x + 32x + 3Đưa phương trình thành:x 2 − 2 x − 11 = y 2Bài 34 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:( x2 − 2 x + 1) − y 2 = 12 <=> ( x − 1 − y ) ( x − 1 + y ) = 12Biến đổi phương trình thành:y ( x − 1) = x 2 + 2Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:x2 + 23y== x +1+x −1x −1Biến đôi phương trình thành:xy 2 + 2 xy − 243 y + x = 0Bài 36 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:222/ ( y + 1) => 243Mx ( y + 1) = 243 yyM( y + 1)Vìx + y = xyBài 37 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:( x − 1) ( y − 1) = 1xy + 1 = x + yBài 38 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:( x − 1) ( y − 1) = 0Biến dổi phương trình thành:x 2 − xy = 6 x − 5 y − 8Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:x2 − 6 x + 83y== ( x − 1) +x −5x −520GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713x 3 − y 3 = xy + 8Bài 40 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:x − y = a3( x − y ) + 3xy ( x − y ) = xy + 8 xy = b, Đặt:Khi đó phương trình trở thành:a3 − 8a 3 + 3ab = b + 8 => −b ==> a 3 − 8M3a − 1 => 27 ( a 3 − 8 ) M3a − 13a − 127 a 2 − 1 − 215M3a − 1 => 3a − 1 ∈U ( 215 )xy − 2 x − 3 y + 1 = 0Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:2x −15y== 2+x−3x −3x 2 y 2 − x 2 − 8 y 2 = 2 xyBài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:2y 2 x2 − 7 = ( x + y )()Biến đổi phương trình thành:x= y=0Phương trình đã cho có nghiệm:x, y ≠ 0,x2 − 7Xét:từ (1) =>là 1 số chính phương22x − 7 = a => ( x − a ) ( x + a ) = 7Đặt=> Tìm đc x=> (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2)(1)3 x 2 + 4 y 2 = 6 x + 13Bài 43 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:23 x 2 − 6 x + 3 = 16 − 4 y 2 => 3 ( x − 1) = 4 4 − y 2()=> 4 − y 2 ≥ 0 => y 2 ≤ 4 => y ≤ 2 => y = 1, y = 221GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨCx4 + x2 + 1 = y 2Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn :HD:Ta có:x 2 + 1 ≥ 1 > 0 => y 2 = x 4 + x 2 + 1 > x 4 = ( x 2 )2y 2 = x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 = ( x 2 + 1) − x 2 ≤ ( x 2 + 1)2Mặt khác(x )2 2(1)2< y 2 ≤ ( x 2 + 1) => y 2 = ( x 2 + 1)2(2)2Từ (1) và (2) ta có:y =1=> x 4 + x 2 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 <=> x = 0 => y 2 = 1 =>  y = −1x4 − y 4 = 3 y2 + 1Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :x 4 = y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 2 y 2 + 1 + y 2 = ( y 2 + 1) + y 2 ≥ ( y 2 + 1)22x 4 = y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 4 y 2 + 4 − y 2 − 3 = ( y 2 + 2 ) − ( y 2 + 3) < ( y 2 + 2 )2Mặt khác :(y2+ 1) ≤ x 4 < ( y 2 + 2 ) => x 4 = ( y 2 + 1)2222Khi đó :x 4 = y 4 + 2 y 2 + 1 => y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 2 y 2 + 1 => y = 0, x = ±1x3 − y 3 − 2 y 2 − 3 y − 1 = 0Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :3x 3 = y 3 + 2 y 2 + 3 y + 1 = y 3 + 3 y 2 + 3 y + 1 − y 2 ≤ ( y + 1)()(1)3x = y + 2 y + 3 y + 1 = y − 3 y + 3 y − 1 + 5 y + 2 > ( y − 1)332(32)2mặt khác :33( y − 1) < x3 ≤ ( y + 1)Khi đó : y = −133x = y => => x = −1 y = − 1 (l )2TH1 :3x 3 = ( y + 1) => y 2 = 0 => x = 1TH2 :1 + x + x 2 + x3 = y 3Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :22GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713Ta có :21 3 31 + x + x 2 =  x + ÷ + ≥ > 0 => y 3 = ( 1 + x + x 2 ) + x3 > x 32 4 4y 3 = x 3 + 3x 2 + 12 x + 8 − 5 x 2 − 11x − 7 = ( x + 2 ) − ( 5 x 2 + 11x + 7 ) < ( x + 2 )23Mặt khác :Khi đó :x = 0y =133x 3 < y 3 < ( x + 2 ) => y 3 = ( x + 1) => =>  x = −1  y = 0Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương :HD :x 4 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 3 = y 2Đặtx 4 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 3=> ( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) + ( x 2 + x + 3 ) = ( x 2 + x ) + ( x 2 + x + 3) = y 22=> y 2 > ( x 2 + x )2(x(1)2+ x ) < y 2 < ( x2 + x + 2)22Vậy ta cần chứng minhy 2 − ( x 2 + x ) = x 2 + x + 3 > 0 => y 2 > ( x 2 + x )22Thật vậy :y 2 = ( x 2 + x + 2 ) = 3x 2 + 3x + 1 > 022x = 1y 2 = ( x 2 + x + 1) => x 2 + x − 2 = 0 =>  x = −22 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :24 x 2 + 6 y 2 + 8 x = 38 <=> ( 2 x ) + 2.2 x.2 + 4 + 6 y 2 = 42Ta có :22( 2 x + 2 ) + 6 y 2 = 42 ≥ ( 2 x + 2 ) ≥ 0( 2x + 2)Mà2M4=> Tìm x => Tìm yx2 + 2 y 2 = 5Bài 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :2 y 2 M2mà 5 :2 dư 1=> x2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lývậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn9 x + 5 = y ( y + 1)Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên :23GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD:Nhân với 4 ta có:36 x + 20 = 4 y 2 + 4 y36 x + 21 = 4 y 2 + 4 y + 1 = ( 2 y + 1)=>236 x + 21M3 => 2 y + 1M3 => ( 2 y + 1) M9Dovậy không tồn tại x, y nguyên, mà2/936 x + 21M=> Vô lý2 x 2 + 4 x = 19 − 3 y 2Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:ta có:22 x 2 + 4 x + 2 = 21 − 3 y 2 => 2 ( x + 1) = 3 7 − y 2(=> 7 − y M2 => y2)x = 2y = ±1 =>  x = −42là số lẻ < 7=>2x + 3 = y 2Bài 10 : Tìm x, y nguyên sao cho :HD:x = 0 => y = ±2Xétx = 1 => y 2 = 5 =>XétVô lý2y 2 = 4k 2 + 4k + 1: 4x ≥ 2 => 2 M4 => VT : 4Vớidư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=>dư 1 (vl)Vậy không tồn tại x, y nguyên2 x + 57 = y 2Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho :HD :TH1 : x là số lẻ :x = 2n + 1( n ∈ N ) => 2 x = 2 2 n +1 = 2.4n = 2 ( 3 + 1)n= 2 ( B ( 3) + 1) = B ( 3) + 2n=>VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2TH2 : x là số chẵn :=> x = 2n ( n ∈ N ) => y 2 − 2 2 n = 57 => ( y + 2n ) ( y − 2n ) = 3.19y + 2n > 0 => y − 2 n > 0Thấy y + 2n = 57=> ny − 2 =1chia 3 dư 2y + 2n > y − 2nvà y + 2 = 19ny −2 = 3nhoặcx 4 + 4 x3 + 7 x 2 + 6 x + 4 = y 2Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD:Ta có:(x4+ 4 x 3 + 4 x 2 ) + ( 3x 2 + 6 x + 4 ) = y 2 > ( x 2 + 2 x ) + 2 ( x 2 + 2 x ) + 1 + x 2 + 2 x + 3224GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713=> y 2 > ( x 2 + 2 x + 1) + ( x 2 + 2 x + 3)2y 2 ≤ ( x 2 + 2 x + 3)2Ta cần chứng minh:x 4 + 4 x 3 + 7 x 2 + 6 x + 4 ≤ x 4 + 4 x 2 + 9 + 4 x 3 + 12 x + 6 x 2Khi đó:(x2+ 2 x + 1) < y 2 ≤ ( x 2 + 2 x + 3)2vậy=> y 2 = ( x 2 + 2 x + 2 )2y 2 = ( x 2 + 2 x + 3)22hoặcx 2 + y 2 + z 2 + xyz = 20Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:1 ≤ x ≤ y ≤ z => VT = x 2 + y 2 + z 2 + xyz ≥ x 2 + x 2 + x 2 + x 2 = 4 x 2Giả sử:x = 1=> 20 ≥ x 2 => x ≤ 2 => x = 2y 2 + z 2 + yz = 19 > y 2 + y 2 + y 2 = 3 y 2 => y 2 y =1y 2 < 6 => y = 2=>Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3TH2 : Với x=2 làm tương tự1 1 1+ + =1x y zBài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:31 ≤ x ≤ y ≤ z => 1 ≤ => x < 3 => x ∈ { 2;3}xGiả sử:làm tương tự bài trên1 1 1 111+ + ++ +a b c ab bc caBài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :cógiá trị nguyênHD:ta có:A.abc = ab + bc + ca + a + b + c => a, b, cGiả sử :a A < 1( l ) => a = 2Nếub ≥ 3, c ≥ 5 => 1 < A < 3 => A = 2nếu a=1=>thay a=1 và A=2 vào ta được:25GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

Tài liệu liên quan

• Sử dụng tính đơn điệu trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
  • 8
  • 2
  • 135
• sử dụng tính chất ánh xạ để giải phươngg trình hàm - nguyễn đình thức
  • 155
  • 513
  • 1
• Sử dụng tính chất ánh xạ giải một số lớp phương trình hàm
  • 155
  • 1
  • 12
• Sử dụng tính chất ánh xạ của hàm số để giải các phương trình hàm số
  • 14
  • 5
  • 96
• PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
  • 4
  • 556
  • 4
• một số hệ phương trình sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
  • 13
  • 494
  • 0
• Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
  • 5
  • 566
  • 3
• SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG TÍNH CHẤT GÓC NGOÀI CỦA TAM GIÁC TRONG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHƯƠNG II HÌNH HỌC 9
  • 17
  • 986
  • 0
• Phương pháp 2 sử dụng tính chất chia hết
  • 6
  • 241
  • 0
• Kinh nghiệm sử dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số 7
  • 21
  • 358
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(914.37 KB - 25 trang) - CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN lớp 8 Tải bản đầy đủ ngay ×