Chuyên đề: Tìm Nghiệm Nguyên Của Phương Trình

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Chuyên đề: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29.

Giải:

Ta có x = 29 - 4y /3 = 9 - y + 2-y/3

Muốn có x, y nguyên thì 2-y/3 phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y.

Vậy: 2 – y = 3t (t ∈ Z).

Khi đó: y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7.

Vậy:

x = 4t + 7

y = 2 - 3t (t nguyên)

là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho

2 trang

haha99

3174

0 Download Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề: Tìm nghiệm nguyên của phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênBiên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29. Giải: Ta có x = 29 4y 2 y9 y 3 3 − − = − + . Muốn có x, y nguyên thì 2 y 3 − phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y. Vậy: 2 – y = 3t (t ∈ Z). Khi ñó: y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7. Vậy: x 4t 7 (t nguyên) y 2 3t = +  = − là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình ñã cho. Muốn tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên, ta ñặt thêm các ñiều kiện ñể x > 0; y > 0. Ta có: 7 t x 4t 7 0 4 2y 2 3t 0 t 3   > − = + >  ⇔  = − >  <   Do ñó: 7 2t 4 3 − < < và t chỉ có hai giá trị t1 = –1, t2 = 0. Với t1 = –1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho. Với t2 = 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho. Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 23y = 120 (1) Giải: Ta có x = 120 23y 1 2y17 3y 7 7 − − = − + . (2) Muốn có x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t (t nguyên). Từ ñó: y = –3t + 1 t 2 − . (3) Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t1 (t1 nguyên) ⇔ t = 1 – 2t1. Thay vào (3) ta có: y = –3(1 – 2t1) + t1 = 7t1 – 3. Thay vào (2) ta ñược: x = 17 – 3(7t1 – 3) + 1 – 2t1 = 27 – 23t1. Vậy: x = 27 – 23t1 , y = 7t1 – 3 là nghiệm nguyên của phương trình (1). Muốn có nghiệm nguyên dương, ta phải có: 1 1 1 1 27 t x 27 23t 0 23 y 7t 3 0 3 t 7    ⇔  = − >  >  Suy ra t1 = 1 và x = 4, y = 4 là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình ñã cho. Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1) Giải: (1) ⇒ xy – 4x + 5y – 20 = 15 hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3. Vì x, y ñều là số tự nhiên nên x + 5 ≥ 5 và là ước của 15, CHUYEÂN ÑEÀ. TÌM NGHIEÄM NGUYEÂN CUÛA PHÖÔNG TRÌNH Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ta có: hoặc x 5 15 x 5 5 y 4 1 y 4 3  + = + =   − = − = hoaëc Suy ra: x = 10, y = 5 hoặc x = 0, y = 7. ðó là những nghiệm tự nhiên của phương trình ñã cho. Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 (1) Giải: (1) ⇒ x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay (x – 3y)2 = 4(25 – y2) ≥ 0 . Vậy 2y 5 và 25 y≤ − là số chính phương. Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 – y2 không là số chính phương (loại). Với y = 3 ta có: 2 x 9 8 x 17(x 9) 4.16 x 9 8 x 1 − = ⇒ = − = ⇒  − = − ⇒ = . Với y = 4 ta có: 2 x 12 6 x 18(x 12) 36 x 12 6 x 6 − = ⇒ = − = ⇒  − = − ⇒ = . Với y = 5 ta có: (x – 15)2 = 0 ⇒ x = 15. Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho là: (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5). Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x2 + 5 y2 = 345 (1) Giải: 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên 3x2 + 5 y2 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Vì (3, 5) = 1 nên x ⋮ 5 ⇒ x = 5a (a ∈ Z) và y ⋮ 3 ⇒ y = 3b (b ∈ Z). Ta có: 3.25a2 + 5.9b2 = 345 ⇔ 5a2 + 3b2 = 23 (2) Ngoài ra: a2 2b23 23; a 2, b 2 5 3 ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Thay vào (2) các giá trị của a = 1, 2 và b = 1, 2 ta thấy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất với a = 2, b = 1. Lúc ñó x = 10, y = 3. Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Giải: (1) ⇒11 + 5x = y(2x + 3) hay 11 5x 2(5x 11) 7y 2y và 2y 5 2x 3 2x 3 2x 3 + + = ⇒ = = + + + + . Nếu x, y ñều là nguyên dương thì 2x +3 phải là ước của 7 tức là bằng –1, 1, –7, 7. Trong bốn trường hợp này phương trình chỉ nhận một cặp nghiệm nguyên dương với 2x + 3 = 1 & 7. Lúc ñó x = 2 và y = 3. Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz (1). Giải: Do vai trò của x, y, là bình ñẳng nên ta giả sử 0 < x ≤ y ≤ z. Ta có: xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3. Nếu x = y = z thì z3 = 3z ⇒ z2 = 3 ñiều này không xảy ra với z nguyên. Vậy ba số x, y, z không thể bằng nhau. Vậy số nhỏ nhất không thể bằng 3. Ta có xy < 3. Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2 ⇒ z = 3. Nếu xy = 1 thì x = 1, y = 1 ⇒ 2 + z = z vô nghiệm. ---------- HẾT ---------- TRUNG TÂM LUYÊN THI ðẠI HỌC ÑÖÙC KHAÙNH 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Thầy KHÁNH (GV TOÁN) 0975.120.189 – 0563.602.929

Tài liệu đính kèm:

CHU DE TIM NGHIEM NGUYEN CUA PHUONG TRINH.pdf

Tài liệu liên quan

Giáo án Giải tích lớp 12 tiết 38: Luyện tập
Lượt xem: 1265 Lượt tải: 0
Giáo án lớp 12 Giải tích - Tiết 4: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lượt xem: 932 Lượt tải: 0
Ôn thi Đại học: Phương trình và bất phương trình mũ
Lượt xem: 1044 Lượt tải: 0
Tài liệu tham khảo ôn tập tốt nghiệp PTTH Toán 12
Lượt xem: 842 Lượt tải: 0
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 môn: Toán; Khối: D
Lượt xem: 1087 Lượt tải: 0
Đề luyện thi đại học môn Toán - Đề số 10
Lượt xem: 1027 Lượt tải: 0
Giáo án Tự chọn nâng cao 12 - Tiết 4: Luyện tập khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Lượt xem: 1074 Lượt tải: 0
10 đề ôn tập hàm số lũy thừa, mũ, logarit (cơ bản) kiểm tra 1 tiết 2009
Lượt xem: 1333 Lượt tải: 1
Đề 01 thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2010 môn thi : Toán - Khối A
Lượt xem: 1053 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học môn Toán (Đề 1 đến 55)
Lượt xem: 751 Lượt tải: 0