Cơ Sở Của Không Gian Véctơ | Học Toán Online Chất Lượng Cao 2022

Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc Lý thuyết kèm ví dụ bài tập chi tiết về Cơ sở của không gian véctơ:

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>>Hạng của một hệ véctơ

1. Cơ sở của không gian véctơ

Trong không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}$ mỗi hệ gồm $n$ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}} \right\}$ độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}.$

Ví dụ 1: Hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=(1,2),{{P}_{2}}=(-2,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{2}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ độc lập tuyến tính do không tỉ lệ.

Ví dụ 2: Hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=(1,0,0),{{P}_{2}}=(0,1,0),{{P}_{3}}=(0,0,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{3}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ độc lập tuyến tính.

Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ ${{E}_{1}}=(1,0,0,...,0),{{E}_{2}}=(0,1,0,...,0),...,{{E}_{n}}=(0,0,0,...,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}.$

Ví dụ 4: Cho $A=\left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$ Chứng minh rằng $B=\left\{ {{y}_{1}}={{x}_{1}}+2{{x}_{2}}-{{x}_{3}},{{y}_{2}}=2{{x}_{1}}+19{{x}_{2}}-{{x}_{3}},{{y}_{3}}=-{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+31{{x}_{3}} \right\}$ cũng là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

Giải. Do $A=\left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ nên hệ véctơ $\left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right\}$ độc lập tuyến tính, do đó $m{{x}_{1}}+n{{x}_{2}}+p{{x}_{3}}=0\Leftrightarrow m=n=p=0.$

Xét đẳng thức:

$\begin{gathered} a\left( {{x_1} + 2{x_2} - {x_3}} \right) + b\left( {2{x_1} + 19{x_2} - {x_3}} \right) + c\left( { - {x_1} + {x_2} + 31{x_3}} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + 2b - c} \right){x_1} + \left( {2a + 19b + c} \right){x_2} + \left( { - a - b + 31c} \right){x_3} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2b - c = 0 \hfill \\ 2a + 19b + c = 0 \hfill \\ - a - b + 31c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 0 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} $

Do đó hệ véctơ $\left\{ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}} \right\}$ độc lập tuyến tính hay $B=\left\{ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

Ví dụ 5: Cho $\left\{ {{x_1},{x_2},{x_3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$ Tìm điều kiện của $m$ để $\left\{ m{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+3{{x}_{3}},m{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}+{{x}_{3}},{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right\}$ cũng là một cơ cở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

Giải. Xét điều kiện:

$\begin{gathered} a(m{x_1} + {x_2} + 3{x_3}) + b(m{x_1} - 2{x_2} + {x_3}) + c({x_1} - {x_2} + {x_3}) = O \hfill \\ \Leftrightarrow (ma + mb + c){x_1} + (a - 2b - c){x_2} + (3a + b + c){x_3} = O \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} ma + mb + c = 0 \hfill \\ a - 2b - c = 0 \hfill \\ 3a + b + c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.(*). \hfill \\ \end{gathered} $

Ta cần tìm m để (*) có nghiệm duy nhất $(a;b;c) = (0;0;0) \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m&m&1 \\ 1&{ - 2}&{ - 1} \\ 3&1&1 \end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow 7 - 5m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{7}{5}.$

Ví dụ 6: Cho hệ véctơ $S=\left\{ {{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}},{{e}_{4}},{{e}_{5}} \right\}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ trong đó \[{e_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 5 \\ 7 \\ 9 \end{array}} \right),{e_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 4} \\ 2 \\ 6 \end{array}} \right),{e_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0,2} \\ {2,5} \\ { - 0,3} \\ { - 2,1} \end{array}} \right),{e_4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ { - 9} \\ { - 5} \\ { - 3} \end{array}} \right),{e_5} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {30} \\ 4 \\ a \end{array}} \right).\]

a) Chứng minh rằng với mọi $a$ thì $S$ phụ thuộc tuyến tính

b) Tìm một hệ véctơ độc lập tuyến tính có nhiều véctơ nhất trong $S$ và không phụ thuộc vào $a$

c) Tìm điều kiện của $a$ để sau khi bỏ đi một véctơ trong $S$ ta được một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}$

Giải. a) Vì số véctơ có trong S là 5 nhiều hơn số chiều của ${{\mathbb{R}}^{4}}$ là 4 nên S luôn phụ thuộc tuyến tính

b) Xét ma trận $A=\left( {{e}_{2}}\text{ }{{e}_{1}}\text{ }{{e}_{4}}\text{ }{{e}_{3}}\text{ }{{e}_{5}} \right)$ (cho ${{e}_{2}}$ đầu tiên vì phần tử đầu tiên của nó là số 1 thuận tiện cho biến đổi sơ cấp)

Biến đổi sơ cấp cho ma trận này $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&4&{ - 0,2}&1 \\ { - 4}&5&{ - 9}&{2,5}&{30} \\ 2&7&{ - 5}&{ - 0,3}&4 \\ 6&9&{ - 3}&{ - 2,1}&a \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 6}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&4&{ - 0,2}&1 \\ 0&{17}&3&{1,7}&{34} \\ 0&1&{ - 13}&{0,1}&2 \\ 0&{ - 9}&{ - 27}&{ - 0,9}&{a - 6} \end{array}} \right)$

$\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}\dfrac{{\mathbf{1}}}{{{\mathbf{17}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ \dfrac{{\mathbf{9}}}{{{\mathbf{17}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&4&{ - 0,2}&1 \\ 0&{17}&3&{1,7}&{34} \\ 0&0&{ - \dfrac{{224}}{{17}}}&0&0 \\ 0&0&{ - \dfrac{{432}}{{17}}}&0&{a + 12} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - }}\dfrac{{{\mathbf{432}}}}{{{\mathbf{224}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&4&{ - 0,2}&1 \\ 0&{17}&3&{1,7}&{34} \\ 0&0&{ - \dfrac{{224}}{{17}}}&0&0 \\ 0&0&0&0&{a + 12} \end{array}} \right)$

Quan sát ma trận cuối cùng suy ra hệ véctơ $\left\{ {{e}_{2}},{{e}_{1}},{{e}_{4}} \right\}$ độc lập tuyến tính là hệ véctơ độc lập tuyến tính có nhiều véctơ nhất trong $S$ và không phụ thuộc vào $a$

c) Quan sát ma trận cuối cùng suy ra nếu $a+12\ne 0\Leftrightarrow a\ne -12$ thì hệ véctơ $\left\{ {{e}_{2}},{{e}_{1}},{{e}_{4}},{{e}_{5}} \right\}=S\backslash \left\{ {{e}_{3}} \right\}$ độc lập tuyến tính và nó là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở

Giả sử hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{n}}.$ Khi đó mọi véctơ $X\in {{\mathbb{R}}^{n}}$ đều được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}}$, tức là luôn tồn tại duy nhất $n$ số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}$ sao cho $X={{\alpha }_{1}}{{P}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{P}_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}{{P}_{n}}.$ Bộ số $({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}})$ được gọi là toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}} \right\}.$

Ta đã biết rằng $({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}})$ là nghiệm của hệ tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng $\overline{A}=\left( {{P}_{1}}{{P}_{2}}...{{P}_{n}}X \right)$ trong đó ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}},X$ viết dưới dạng cột.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ gồm 3 véctơ ${{v}_{1}}=(1,1,1),{{v}_{2}}=(1,1,2),{{v}_{3}}=(1,2,3)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với cơ sở đó.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cơ sở đó:

a) ${{v}_{1}}=(2,1,1),{{v}_{2}}=(6,2,0),{{v}_{3}}=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) ${{v}_{1}}=(0,1,1),{{v}_{2}}=(2,3,0),{{v}_{3}}=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) ${{v}_{1}}=(1,2,-1),{{v}_{2}}=(2,3,0),{{v}_{3}}=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) ${{v}_{1}}=(1,2,3),{{v}_{2}}=(1,3,-2),{{v}_{3}}=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ gồm 4 véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} \right\}$ dưới đây

${{P}_{1}}=(1,2,-1,1),{{P}_{2}}=(5,9,2,-3),{{P}_{3}}=(3,5,5,-1),{{P}_{4}}=(4,7,3,-3)$

là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}$ và tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong cơ sở đó.

Giải. Xét ma trận $A$ nhận các véctơ đã cho lần lượt là các véctơ cột của $A.$

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&3&4 \\ 2&9&5&7 \\ { - 1}&2&5&3 \\ 1&{ - 3}&{ - 1}&{ - 3} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&3&4 \\ 0&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1} \\ 0&7&8&7 \\ 0&{ - 8}&{ - 4}&{ - 7} \end{array}} \right) \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{7}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 8}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&3&4 \\ 0&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1} \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&4&1 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ - 4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&3&4 \\ 0&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1} \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $

Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác nên hệ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} \right\}$ độc lập tuyến tính, do đó hệ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Với $X={{\alpha }_{1}}{{P}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{P}_{2}}+{{\alpha }_{3}}{{P}_{3}}+{{\alpha }_{4}}{{P}_{4}}\Rightarrow ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}},{{\alpha }_{4}})$ là nghiệm của hệ có ma trận hệ số mở rộng:

\[\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&3&4 \\ 2&9&5&7 \\ { - 1}&2&5&3 \\ 1&{ - 3}&{ - 1}&{ - 3} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 2 \\ { - 3} \\ 0 \end{array}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {\alpha _1} = 36 \hfill \\ {\alpha _2} = - 57 \hfill \\ {\alpha _3} = - 15 \hfill \\ {\alpha _4} = 74 \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

Vậy toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} \right\}$ là $(36,-57,-15,74).$

Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ gồm 3 véctơ ${{P}_{1}}=(2,1,1),{{P}_{2}}=(6,2,0),{{P}_{3}}=(7,0,m)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ gồm 4 véctơ ${{P}_{1}}=(1,2,-1,1),{{P}_{2}}=(5,9,2,-3),{{P}_{3}}=(3,5,5,-1),{{P}_{4}}=(4,7,3,m)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(3,-2,4,1),{{X}_{2}}=(-2,1,3,-2),{{X}_{3}}=(-3,-1,k,2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&4&1\\ { - 2}&1&3&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&k&2\\ a&b&c&d \end{array}} \right).$

Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $\det (A)\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:

$\begin{array}{c} \det (A) = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{( - 1)^{4 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&1\\ { - 2}&1&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&2 \end{array}} \right| + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + 15c + d{A_{44}}. \end{array}$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c\ne 0$ khi đó $\det (A)=15c\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=(0,0,c,0),c\ne 0.$

Ví dụ 7: Cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(2,k,4,-1),{{X}_{2}}=(-3,1,2,k),{{X}_{3}}=(6,-1,-4,-2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4&{ - 1}\\ { - 3}&1&2&k\\ 6&{ - 1}&{ - 4}&{ - 2}\\ a&b&c&d \end{array}} \right).$ Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $\det (A)\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:

$\begin{array}{c} \det (A) = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{( - 1)^{4 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4\\ { - 3}&1&2\\ 6&{ - 1}&{ - 4} \end{array}} \right|\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} - 16d. \end{array}$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=c=0,d\ne 0$ khi đó $\det (A)=-16d\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=(0,0,0,d),d\ne 0.$

Ví dụ 8: Trong không gian ${{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ gồm các ma trận vuông cấp 2 hệ số thực cho hệ các ma trận $S = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ 5&0 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2 \\ { - 2}&{ - 1} \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0 \\ 8&m \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&{m + 1} \end{array}} \right]} \right\}.$

a) Tìm $m$ để $S$ là một cơ sở của ${{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right).$

b) Với $m=0,$ tìm toạ độ của ma trận \[B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ 0&1 \end{array}} \right]^{ - 1}}\] trong cơ sở $S$ tương ứng.

Giải. a) Xét $x\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ 5&0 \end{array}} \right] + y\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2 \\ { - 2}&{ - 1} \end{array}} \right] + z\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0 \\ 8&m \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&{m + 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&0 \end{array}} \right]$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 2z + t = 0 \hfill \\ - x + 2y + t = 0 \hfill \\ 5x - 2y + 8z + t = 0 \hfill \\ - y + mz + \left( {m + 1} \right)t = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( * \right)$

Đây là hệ thuần nhất 4 ẩn 4 phương trình có ma trận hệ số $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&2&1 \\ { - 1}&2&0&1 \\ 5&{ - 2}&8&1 \\ 0&{ - 1}&m&{m + 1} \end{array}} \right);\det \left( A \right) = 4\left( {m + 1} \right).$

Để $S$ là một cơ sở của ${{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ thì $S$ độc lập tuyến tính tức (*) chỉ có nghiệm tầm thường tức $\det \left( A \right)\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1.$

b) Ta có \[B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ 0&1 \end{array}} \right]^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right].\]

Khi $m=0$ ta cần tìm $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right] = x\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ 5&0 \end{array}} \right] + y\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2 \\ { - 2}&{ - 1} \end{array}} \right] + z\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0 \\ 8&0 \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&1 \end{array}} \right]$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 2z + t = 2 \hfill \\ - x + 2y + t = 3 \hfill \\ 5x - 2y + 8z + t = 0 \hfill \\ - y + t = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 13/2;y = 7/2;z = - 7/2;t = 5/2$

Vậy toạ độ của $B$ trong cơ sở $S$ khi $m=0$ là $\left( \dfrac{13}{2};\dfrac{7}{2};-\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2} \right).$

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH

3. Cơ sở và số chiều của không gian con

Cho L là một không gian con của ${{\mathbb{R}}^{n}}.$ Hệ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}$ nằm trong L được gọi là một cơ sở của L nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

i) Hệ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}$ độc lập tuyến tính;

ii) Mọi véctơ $X\in L$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}.$

Số véctơ của cơ sở của L được gọi là số chiều của L và được kí hiệu là dimL.

Ví dụ 1: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \right\}.$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véc tơ ${{P}_{1}}=(1,2,0),{{P}_{2}}=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.

Giải. Có $X=({{x}_{1}},2{{x}_{1}},{{x}_{3}})\in L$ và $X=({{x}_{1}},2{{x}_{1}},0)+(0,0,{{x}_{3}})={{x}_{1}}(1,2,0)+{{x}_{3}}(0,0,1)={{x}_{1}}{{P}_{1}}+{{x}_{3}}{{P}_{2}}.$

Rõ ràng ${{P}_{1}}=(1,2,0),{{P}_{2}}=(0,0,1)$ độc lập tuyến tính do chúng không tỉ lệ. Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Giải. Có $X\in L\Rightarrow X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},-{{x}_{1}})=({{x}_{1}},0,-{{x}_{1}})+(0,{{x}_{2}},0)={{x}_{1}}(1,0,-1)+{{x}_{2}}(0,1,0).$

Ta có ${{P}_{1}}=(1,0,-1),{{P}_{2}}=(0,1,0)$ độc lập tuyến tính do không tỉ lệ

và $X={{x}_{1}}{{P}_{1}}+{{x}_{2}}{{P}_{2}}$ nên hệ gồm hai véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right\}$ là một cơ sở của L và $dimL=2.$

Ví dụ 3: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0 \right\}(a,b,c\in \mathbb{R};a\ne 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\dfrac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\dfrac{c}{a},0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\dfrac{b}{a}{{x}_{2}}-\dfrac{c}{a}{{x}_{3}}(a\ne 0).$

Vậy $X=\left( -\dfrac{b}{a}{{x}_{2}}-\dfrac{c}{a}{{x}_{3}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)=\left( -\dfrac{b}{a}{{x}_{2}},{{x}_{2}},0 \right)+\left( -\dfrac{c}{a}{{x}_{3}},0,{{x}_{3}} \right)={{x}_{2}}\left( -\dfrac{b}{a},1,0 \right)+{{x}_{3}}\left( -\dfrac{c}{a},0,1 \right).$

Rõ ràng ${{P}_{1}}=\left( -\dfrac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\dfrac{c}{a},0,1 \right)$ độc lập tuyến tính vì không tỉ lệ nên hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\dfrac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\dfrac{c}{a},0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Ví dụ 8: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},4{{x}_{1}}-5{{x}_{2}})\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 9: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 10: Cho không gian con $L=\left\{ X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 11: Cho không gian con $L=\left\{ X=(a,b,c,d)\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2a+b=c-3d \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 12: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|{{x}_{1}}-3{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=0,4{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 13: Cho không gian con $L=\left\{ X=(4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+3,{{x}_{2}},{{x}_{3}},-3{{x}_{2}}+{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{4}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 14: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0 \right\}(a,b,c,d\in \mathbb{R};a\ne 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\dfrac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\dfrac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\dfrac{d}{a},0,0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\dfrac{b}{a}{{x}_{2}}-\dfrac{c}{a}{{x}_{3}}-\dfrac{d}{a}{{x}_{4}}(a\ne 0).$

Vậy $\begin{array}{c} X = \left( { - \dfrac{b}{a}{x_2} - \dfrac{c}{a}{x_3} - \dfrac{d}{a}{x_4},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( { - \dfrac{b}{a}{x_2},{x_2},0,0} \right) + \left( { - \dfrac{c}{a}{x_3},0,{x_3},0} \right) + \left( { - \dfrac{d}{a}{x_4},0,0,{x_4}} \right)\\ = {x_2}\left( { - \dfrac{b}{a},1,0,0} \right) + {x_3}\left( { - \dfrac{c}{a},0,1,0} \right) + {x_4}\left( { - \dfrac{d}{a},0,0,1} \right). \end{array}$

Rõ ràng ${{P}_{1}}=\left( -\dfrac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\dfrac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\dfrac{d}{a},0,0,1 \right)$ độc lập tuyến tính nên hệ gồm bavéctơ ${{P}_{1}}=\left( -\dfrac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\dfrac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\dfrac{d}{a},0,0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Ví dụ 15: Cho $L = \left\{ {(x;y;z) \in {\mathbb{R}^3};\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ 1&0&1 \\ 1&2&{ - 2} \end{array}} \right| = 0} \right\}.$

a) Chứng minh rằng $L$ là không gian con của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

b) Tìm cơ sở và số chiều của $L.$

Giải. a) Có $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ 1&0&1 \\ 1&2&{ - 2} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow - 2x + 3y + 2z = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3y + 2z}}{2} \Rightarrow L = \left\{ {X = \left( {\dfrac{{3y + 2z}}{2};y;z} \right) \in {\mathbb{R}^3}} \right\}.$

Ta có $X\left( 0;0;0 \right)\in L\Rightarrow L\ne \varnothing $ và $X=\left( \dfrac{3y+2z}{2};y;z \right)\in L\Rightarrow \alpha X=\left( \dfrac{3(\alpha y)+2(\alpha z)}{2};\alpha y;\alpha z \right)\in L$ và $Y=\left( \dfrac{3{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}}{2};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in L\Rightarrow X+Y=\left( \dfrac{3\left( y+{{y}_{0}} \right)+2\left( z+{{z}_{0}} \right)}{2};y+{{y}_{0}};z+{{z}_{0}} \right)\in L.$

Vậy $L$ là không gian con của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

b) Ta có $X=\left( \dfrac{3y+2z}{2};y;z \right)=\left( \dfrac{3}{2}y;y;0 \right)+\left( z;0;z \right)=y\left( \dfrac{3}{2};1;0 \right)+z\left( 1;0;1 \right)=y{{P}_{1}}+z{{P}_{2}}.$

Trong đó ${{P}_{1}}=\left( \dfrac{3}{2};1;0 \right),{{P}_{2}}\left( 1;0;1 \right)$ và $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right\}$ độc lập tuyến tính do chúng không tỷ lệ.

Vậy $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right\}$ là một cơ sở của $L$ và $dimL=2.$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY