Có Thể Nói Gì Về Số điểm Chung Của đường Thẳng Và đường Tròn

Với một chương mới về đường tròn ở hình học lớp 9, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là một kiến thức nền tảng vô cùng quan trọng để có thể áp dụng cho các bài tập sau này. Bài toán không chỉ ở những dạng lớp 9 mà còn xuyên suốt những năm học cấp 3 cùng với hình không gian và thi Đại học. Bài viết dưới đây, Toppy sẽ giúp các bạn hiểu kĩ hơn về phần lý thuyết này và một số bài tập liên quan.

Nội dung chính Show

• Khái niệm về đường thẳng và đường tròn
• Lý thuyết về ba loại vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn
• Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
• Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại một điểm
• Đường thẳng và đường tròn không tiếp xúc với nhau
• Hệ thức cho ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
• Các dạng bài tập thường gặp về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
• Lời kết
• A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
• B. đường thẳng cắt đường tròn
• C. đường thẳng không cắt đường tròn
• A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
• B. đường thẳng cắt đường tròn
• C. đường thẳng không cắt đường tròn
• C. d ⊥ OA tại A
• Tiếp tuyến của đường tròn. [edit]
• Một số dạng toán [edit]

Khái niệm về đường thẳng và đường tròn

Để có thể hiểu về các kiến thức sâu hơn, ta cần phải nắm chắc về những khái niệm cơ bản. Sau đây, Toppy sẽ giới thiệu cho các bạn những định nghĩa cơ bản nhất về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng.

Đường thẳng là một khái niệm không được định nghĩa, là một cơ sở đầu tiên để xây dựng các khái niệm toán học khác. Đường thẳng có đặc điểm là không có chiều rộng và không cong tại mọi điểm. Một đường thẳng được xem là một đường dài, mỏng, thẳng và chỉ có một đường duy nhất đi qua hai điểm bất kì.

Đường tròn là tập hợp của tất cả các điểm trên cùng một mặt phẳng và cách đều tâm (điểm cho trước) một khoảng cách nhất định. Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là (O;R).

Sau khi đã hiểu rõ các khái niệm về hai yếu tố chính của bài học toán 9 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Toppy sẽ tiếp tục giới thiệu những kiến thức cơ bản của các vị trí tương đối.

Lý thuyết về ba loại vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn

Ba trường hợp về vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn là : Đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm . Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc vuông góc tại một điểm duy nhất. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Đây là dạng đầu tiên của ba vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn. Trường hợp xảy ra khi một đường thẳng a bất kì cắt đường tròn tâm O bán kính R tại hai điểm chung.

Như vậy ta có thể nói, đường thẳng a và đường tròn (O;R) cắt nhau một khoảng từ O kẻ vuông góc với đường thẳng a. Gọi H là chân đường vuông góc và OH là khoảng cách giữa tâm và đường thẳng,

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại một điểm

Trường hợp mà đường thẳng và đường tròn chỉ tiếp xúc tại 1 điểm chung duy nhất được gọi là điểm C thì ta có thể nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) tiếp xúc với nhau.

Đường thẳng a trong trường hợp này được gọi là đường tiếp tuyến của đường tròn đó. Khoảng cách OC cũng được coi là bán kính của hình tròn (O;R).

Có một định lý cho trường hợp vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn này như sau: Nếu một đường thẳng a là đường tiếp tuyến của một đường tròn (O;R) thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính R và tiếp xúc đường tròn tại tiếp điểm C.

Đường thẳng và đường tròn không tiếp xúc với nhau

Đây là trường hợp cuối cùng trong ba trường hợp vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn. Là khi mà giữa hai yếu tố đường thẳng và đường tròn không hề có một điểm chung nào.

Hệ thức cho ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Từ các trường hợp như trên, có thể rút ra kiến thức trong bảng sau:

Bảng hệ thức

Các dạng bài tập thường gặp về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Bài tập mẫu

• Dạng 1: xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn dựa vào hệ thức nêu trên. Từ đó, dựa vào tính chất của từng bài tập mà tính theo yêu cầu đề bài.
• Dạng 2: tính toán dựa vào tính chất tiếp tuyến. Đây là dạng bài tập thường gặp và có thể có dạng nâng cao. Khi gặp đề bài toán này, thường có một đường thẳng và là tiếp tuyến của đường tròn, sau đó kẻ thêm hình và tính kết quả các cạnh. Thường áp dụng thêm định lý Py-ta-go.
• Dạng 3: Tìm tập hợp điểm cho sẵn theo yêu cầu đề bài. Dựa vào tính chất đường phân giác, đường vuông góc, đường song song để chứng minh.

Giải bài tập trong trục tọa độ:

Nếu cho một đường tròn (O;R) với R=d. Đường thẳng a chỉ tiếp xúc với đường tròn O khi khoảng cách từ O tới a bằng với bán kính R.

Trục tung Oy có phương trình x=0 nên đường tròn O tiếp xúc Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a bằng bán kính R.

Trục hoành Ox có phương trình y=0 nên đường tròn O tiếp xúc Ox khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a bằng bán kính R.

Đường tròn O tiếp xúc cả 2 đường thẳng khi Ox=Oy=R.

Với đường thẳng a có dạng : ax + bx + c = 0 với tiếp điểm là C(x0;y0). Khoảng cách trong trục tọa độ được tính theo công thức :

Lời kết

Bài đọc Toppy đã khái quát cho bạn những kiến thức cơ bản để hình thành nên các trường hợp tương giao giữa đường thẳng và đường tròn. Từ khái niệm các đường cho tới đặc điểm các trường hợp. Mong rằng qua bài viết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn này sẽ giúp cho các bạn học sinh hiểu rõ hơn về bài học và làm tốt bài tập của mình. Chúc các bạn học tốt!

Xem thêm:

18/08/2021 903

Page 2

18/08/2021 1,111

A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Đáp án chính xác

B. đường thẳng cắt đường tròn

C. đường thẳng không cắt đường tròn

Page 3

18/08/2021 644

A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

B. đường thẳng cắt đường tròn

Đáp án chính xác

C. đường thẳng không cắt đường tròn

Page 4

18/08/2021 504

C. d ⊥ OA tại A

Đáp án chính xác

a. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(a\) là độ dài đường vuông góc \(OH\) kẻ từ \(O\) đến \(a. \)

b. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Xét đường tròn \((O;\ R) \) và đường thẳng \(a\) trên mặt phẳng. Kẻ \(OH \bot a\) tại \(H. \)

Đặt \(OH=d. \) Khi đó, \(d\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(a. \)

\(\Leftrightarrow a\) và \((O) \) có 2 điểm chung. \(\Leftrightarrow a\) là cát tuyến của \((O). \)

Hệ thức: \(d<R\)

• \(a\) tiếp xúc với \((O)\)

\(\Leftrightarrow a\) và \((O)\) chỉ có 1 điểm chung.

\(\Leftrightarrow a\) là tiếp tuyến của \((O). \)

Hệ thức: \(d=R\)

Khi đó, điểm \(C\) gọi là tiếp điểm.

• \(a\) không giao nhau với \((O)\)

\(\Leftrightarrow a\) và \((O)\) không có điểm chung.

Hệ thức: \(d>R\)

Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn	Số điểm chung	Hệ thức giữa \(d\) và \(R\)
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	\(2\)	\(d<R\)
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau	\(1\)	\(d=R\)
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	\(0\)	\(d>R\)

Tiếp tuyến của đường tròn. [edit]

Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.

Định lí:

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.

a) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.b) Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Dấu hiệu nhận biết b) còn được phát biểu thành định lí sau:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Một số dạng toán [edit]

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Phương pháp giải:

So sánh khoảng cách \(d\) với bán kính \(R:\)

• Nếu \(d<R\) thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
• Nếu \(d>R\) thì đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Ví dụ 1:

Biết \(R\) là bán kính của đường tròn, \(d\) là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

Điền vào các chỗ trống (…) trong bảng sau:

\( R \)	\( d \)	Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
\(9cm\)	\(…\)	Tiếp xúc nhau
\(6cm\)	\(3cm\)	\(…\)
\(5cm\)	\(7cm\)	\(…\)

Giải

• Vì đường thẳng \(d\) và đường tròn \( (O) \) tiếp xúc nhau nên \(d=R=9cm. \)
• Vì \(d<R\ (3cm <6cm) \) nên đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \( (O). \)
• Vì \(d>R\ (7cm>5cm) \) nên đường thẳng \(d\) và đường tròn \( (O) \) không giao nhau.

Khi đó, ta có bảng sau:

\( R \)	\( d \)	Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
\(9cm\)	\(9cm\)	Tiếp xúc nhau
\(6cm\)	\(3cm\)	Cắt nhau
\(5cm\)	\(7cm\)	Không giao nhau

Dạng 2: Tính độ dài của một đoạn tiếp tuyến

Phương pháp giải:

Vận dụng tính chất của tiếp tuyến: Nếu đường thẳng \(a\) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \(A\) thì \(a \bot OA\) tại \(A. \)

Ví dụ 2:

Từ điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng \(d\ (d >R) \) vẽ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn \( (O;\ R)\) (\(B\) là tiếp điểm ). Tính độ dài đoạn \(AB. \)

Giải

Vì \(AB\) là tiếp tuyến của \( (O) \) tại \(B\) nên \(AB \bot OB\) tại \(B. \)

Áp dụng định lí Py ta go vào \(\Delta AOB\) có:

\(AB=\sqrt{OA^2-R^2}=\sqrt{d^2-R^2}.\)

Vậy \(AB=\sqrt{d^2-R^2}.\) \(\square\)

Dạng 3: Tìm vị trí của tâm một đường tròn có bán kính cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước.

Phương pháp giải:

• Tìm khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng đó.
• Áp dụng tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước:

Các điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng bằng \(h\) nằm trên hai đường thẳng song song với \(b\) và cách \(b\) một khoảng bằng \(h. \)

Ví dụ 3:

Cho trước đường thẳng \(a. \) Tâm \(O\) của tất cả các đường tròn có đường kính \(2cm\) và tiếp xúc với đường thẳng \(a\) nằm trên đường nào?

Giải

Đường kính của \( (O) \) bằng \(2cm\) nên bán kính của \( (O) \) bằng \(1cm. \)

Mà đường tròn \( (O) \) tiếp xúc với đường thẳng \(a\) nên \(d=R=1cm. \)

Vậy \(O\) nằm trên hai đường thẳng \(b\) và \(b’\) song song với \(a\) và cách \(a\) một khoảng \(1cm.\) \(\square\)

Một số kiến thức liên quan

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng này tới đường thẳng kia.

Ta có: \(a//b;\ A\) bất kì nằm trên \(a. \)

\(AH \bot b;\ H \in b.\)

Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\) là độ dài đoạn \(AH. \)

Đường thẳng song song cách đều

Định lí 1:

Những đường thẳng song song chắn trên một đường thẳng cho trước những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

Định lí 2:

Những đường thẳng song song cách đều chắn trên một đường thẳng bất kì những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.