Con Lắc đơn - Hoc24

CON LẮC ĐƠN

1. Cấu tạo, hoạt động

m l

- Cấu tạo: Gồm một sợi dây không dãn, dài l. Một dầu sợi dây giữ cố định, một đầu treo vật khối lượng m.

- Hoạt động: Ban đầu, vật đứng yên tại VTCB. Khi được kích thích thì vật m dao động quanh VTCB.

2. Sự dao động điều hòa

- Để chứng minh con lắc đơn dao động điều hòa, ta cần phải sử dụng đến công thức tính gần đúng trong toán học, đó là: với α rất nhỏ thì \(\sin\alpha \approx \alpha\) với α tính theo rad.

- Do vậy điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa là biên độ góc α0 rất nhỏ. Để thuận tiện, người ta lấy α0 < 100.

- Cũng như con lắc lò xo, ta sẽ dùng phương pháp động lực học để chứng minh con lắc đơn dao động điều hòa.

m l α α O P → τ → → x

+ Lực tác dụng lên vật: Trọng lực \(\overrightarrow{P}\), lực căng dây \(\overrightarrow{\tau}\)

+ Theo định luật II Niu-tơn, ta có: \(m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\tau}\)

+ Chiếu lên trục tọa độ: \(m.a = -P\sin\alpha \approx-mg\alpha\)(*).

Ta có: \(x=\alpha.\ell \Rightarrow\alpha=\dfrac{x}{\ell}\)(một số tài liệu người ta dùng độ rời cung \(s\) thay cho \(x\)).

Thế vào (*) ta được: \(m.a=-mg.\dfrac{x}{\ell}\Rightarrow a=-\dfrac{g}{\ell}.x\).

Đặt \(\omega=\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}\)ta có: \(a=-\omega^2.x\), đây chính là công thức độc lập trong dao động điều hòa.

+ Vậy con lắc đơn dao động điều hòa quanh VTCB với \(\boxed{\omega=\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}}\)

- Trong trường hợp biên độ góc α0 > 100 thì con lắc đơn chỉ dao động tuần hoàn mà thôi.

3. Cơ năng dao động

m l h=0 I O H α

- Chọn mốc thế năng tại VTCB (về sau, người ta mặc định luôn gốc thế năng tại VTCB).

• Động năng: \(\boxed{W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2}\)
• Thế năng (trọng trường): \(W_t=mgh=mg.HO=mg(IO-IH)=mg(\ell-\ell\cos\alpha)\)\(\Rightarrow \boxed{W_t=mg\ell(1-\cos\alpha)}\)
• Cơ năng: \(W=W_đ+W_t=W_{đmax}=W_{tmax}=const\)

\(\Rightarrow \boxed{W=\dfrac{1}{2}mv_{max}^2=mg\ell(1-\cos \alpha_0)}\)

- Bài toán: Con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m, treo trên sợi dây không giãn dài l đang dao động quanh VTCB với biên độ góc \(\alpha_0\). Khi vật nặng đi qua vị trí có góc lệch \(\alpha\leq\alpha_0\). Tìm

a) Tốc độ của vật

b) Lực căng dây

- Hướng dẫn giải:

l M N α 0 α P → τ →

a) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta có: \(W_M=W_N\Rightarrow mg\ell(1-\cos\alpha_0)=mg\ell(1-\cos\alpha)+\dfrac{1}{2}mv^2\)\(\Rightarrow \boxed{ v=\sqrt{2g\ell(\cos \alpha-\cos\alpha_0)}}\)

b) Lực tác dụng lên vật: \(\overrightarrow{P}\), \(\overrightarrow{\tau}\)

Áp dụng định luật II Niu-tơn: \(m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\tau}\)

Chiếu lên phương hướng vào tâm (theo phương của \(\overrightarrow{\tau}\)), ta có: \(ma_{ht}=-P\cos\alpha+\tau\Rightarrow\tau=ma_{ht}+mg\cos\alpha\), mà \(a_{ht}=\frac{v^2}{l}\) nên: \(\tau=ma_{ht}+mg\cos\alpha=m\frac{v^2}{l}+mg\cos\alpha=m.2gl(\cos\alpha-\cos\alpha_0)+mg\cos\alpha\)

\(\Rightarrow \boxed{\tau=mg(3\cos\alpha-2\cos\alpha_0)}\)

4. Trường hợp đặc biệt khi con lắc đơn dao động điều hòa

- Bây giờ chúng ta xét trường hợp đặc biệt khi xảy ra dao động điều hòa (biên độ góc α0 < 100).

- Để thống nhất với những tính chất của con lắc lò xo, chúng ta đưa vào hệ số hồi phục k (với con lắc lò xo, k chính là độ cứng lò xo)

- Hệ số hồi phục: \(k=m\omega^2=m\dfrac{g}{\ell}\)

- Khi đó, chúng ta có thể áp dụng những công thức đã biết như con lắc lò xo như sau:

+ Thế năng: \(W_t=\frac{1}{2}k.x^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{mg}{\ell}.(\alpha.\ell)^2=\dfrac{1}{2}mg\ell\alpha^2\)(α tính theo rad).

+ Cơ năng: \(W=\dfrac{1}{2}mg\ell\alpha_0^2\)

+ Lực hồi phục: \(F_{hp}=-k.x=-\dfrac{mg}{\ell}\alpha \ell=-mg\alpha\approx-mg\sin\alpha\)