Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Và Bài Tập Chi Tiết đầy đủ Nhất

Các công thức lượng giác lớp 10 và những dạng bài tập cơ bản được tổng hợp chi tiết giúp các em học tốt hơn.

I Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt

1. Bảng giá trị lượng giác

Bảng các giá trị sin, cos, tan, cot thuộc góc phần tư thứ nhất

Giá trị | Góc \( \alpha\)	\(0\left(0^{\circ}\right)\)	\(\frac{\pi}{6}\left(30^{\circ}\right)\)	\(\frac{\pi}{4}\left(45^{0}\right)\)	\(\frac{\pi}{3}\left(60^{\circ}\right)\)	\(\frac{\pi}{2}\left(90^{\circ}\right)\)
\(\sin \alpha\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1
\(\cos \alpha\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
\(\tan \alpha\)	0	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1	\(\sqrt{3}\)	II
\(\cot \alpha\)	II	\(\sqrt{3}\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	0

2. Cung và góc lượng giác

 

Hai góc đối nhau α và −α

\(\begin{array}{l} \sin (-\alpha)=-\sin \alpha \\ \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\ \operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}(\alpha) \\ \operatorname{cotg}(-\alpha)=-\operatorname{cotg}(\alpha) \end{array}\)

Hai góc bù nhau: α và π − α

\(\begin{array}{l} \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\ \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \\ \operatorname{tg}(\pi-\alpha)=-\operatorname{tg} \alpha \\ \operatorname{cotg}(\pi-\alpha)=-\operatorname{cotg} \alpha \end{array}\)

Hai góc hơn kém π: α và π + α

\(\begin{array}{l} \sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha \\ \cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha \\ \operatorname{tg}(\pi+\alpha)=\operatorname{tg} \alpha \\ \operatorname{cotg}(\pi+\alpha)=\operatorname{cotg} \alpha \end{array}\)

Hai góc phụ nhau: α và π/2 – α

\(\begin{array}{l} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha \\ \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha \\ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot g \alpha \\ \cot g\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{tg} \alpha \end{array}\)

Hai góc hơn kém nhau π/2

\(\begin{array}{l} \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha \\ \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha \\ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot g \alpha \\ \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{tg} \alpha \end{array}\)

II Tổng hợp 10 công thức lượng giác lớp 10 cơ bản

Dưới đây là các công thức lượng giác cơ bản nằm trong chương trình học môn Toán lớp 10, các em cần phải ghi nhớ để có thể hoàn thành tốt các bài tập liên quan:

1. Hệ thức cơ bản

\(\begin{array}{l} \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \\ \tan \alpha \cdot \cot \alpha=1 \quad\left(\alpha \neq k \frac{\pi}{2}, k \in Z \right) \\ 1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\left(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z \right) \\ 1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha} \quad(\alpha \neq k \pi, k \in Z ) \\ \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos }, \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \end{array}\)

2. Công thức cung liên kết

   Toàn bộ các công thức lượng giác được sử dụng trong chương trình liên quan và được áp dụng cả trong quá trình học của các em sau này.

Công thức hai cung đối nhau \((\alpha \text { và } -\alpha)\)

\(\begin{array}{l} \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\ \sin (-\alpha)=-\sin \alpha \\ \tan (-\alpha)=-\tan \alpha \\ \cot (-\alpha)=-\cot \alpha \end{array}\)

Công thức hai cung bù nhau \((\alpha \text { và } \pi-\alpha)\)

\(\begin{array}{l} \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\ \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \\ \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha \\ \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha \end{array}\)

Công thức hai góc phụ nhau \(\left(\alpha \text { và } \frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)

\(\begin{array}{l} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha \\ \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha \\ \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha \\ \cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha \end{array}\)

Công thức hai góc hơn, kém nhau π

\(\begin{array}{l} \sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha \\ \cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha \\ \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha \\ \cot (\pi+\alpha)=\cot \alpha \end{array}\)

Công thức cung hơn kém \(\frac{\pi}{2}\)

\(\begin{array}{l} \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha \\ \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha \end{array}\)

3. Công thức cộng

\(\begin{array}{l} \sin (a \pm b)=\sin a \cos b \pm \cos a \sin b \\ \cos (a \pm b)=\cos a \cos b \sin a \sin b \\ \tan (a \pm b)=\frac{\tan \alpha \pm \tan b}{1 \mp \tan a \cdot \tan b} \end{array}\)

Cách nhớ : sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ, tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số một trừ tan tan

4. Công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l} \sin 2 x=2 \sin x \cdot \cos x \\ \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x \\ \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x} \quad \cot 2 x=\frac{\cot ^{2} x-1}{2 \cot x} \end{array}\)

5. Công thức nhân ba

\(\begin{array}{l} \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x \\ \cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x \end{array}\)

6. Công thức hạ bậc

\(\begin{array}{lll} \sin ^{2} a=\frac{1}{2}(1-\cos 2 a) & \cos ^{2} a=\frac{1}{2}(1+\cos 2 a) & \tan ^{2} a=\frac{1-\cos 2 a}{1+\cos 2 a} \\ \sin ^{3} a=\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4} & \cos ^{3} a=\frac{3 \cos a+\cos 3 a}{4} \end{array}\)

7. Công thức tính tổng và hiệu của sin a và cos a

\(\begin{array}{l} \sin x+\cos x=\sqrt{2} \cdot \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin x-\cos x=\sqrt{2} \cdot \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \end{array}\)

8. Công thức chia đôi

\(\begin{array}{l} \text { Đặt } t=\operatorname{tg} \frac{a}{2}(\text { vói } a \neq \pi+k 2 \pi) \\ \text { sin } a=\frac{2 t}{1+t^{2}} \\ \cos a=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \\ \text { tga }=\frac{2 t}{1-t^{2}} \end{array}\)

9. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l} \cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ \cos a-\cos b=-2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \\ \sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ \sin a-\sin b=2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \\ \tan a \pm \tan b=\frac{\sin (a \pm b)}{\cos a \cos b} \quad\left(a, b \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z \right) \\ \cot a \pm \cot b=\frac{\sin (b \pm a)}{\sin a \sin b} \quad(a, b \neq k \pi, k \in Z ) \\ \tan a+\cot b=\frac{\sin (a-b)}{\cos a \sin b} \quad\left(a \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, b \neq l \pi, k, l \in Z \right) \\ \cot a-\tan b=\frac{\cos (a+b)}{\sin a \cos b} \quad\left(a \neq k \pi, b \neq \frac{\pi}{2}+l \pi, k, l \in Z \right) \end{array}\)

10. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l} \cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\ \sin a \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)] \\ \sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)] \\ \cos a \sin b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)] \end{array}\)

III 4 công thức lượng giác lớp 10 nâng cao

   Những công thức lượng giác nâng cao thường xuyên gặp phải trong các bài toán rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức, giải phương trình lượng giá...

1. Công thức lượng giác sử dụng biến đổi hẳng đẳng thức

\(\sin ^{3} x+\cos ^{3} x=(\sin x+\cos x)\left(\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x+\cos ^{2} x\right)\)

\(\begin{aligned} \sin ^{4} x+\cos ^{4} x &=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-2 \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x \\ &=1-\frac{1}{2} \sin ^{2}(2 x)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cdot \cos (4 x) \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \sin ^{6} x+\cos ^{6} x &=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-3 \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x \\ &=1-\frac{3}{4} \sin ^{2}(2 x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8} \cos (4 x) \end{aligned}\)

\(\sin ^{4} x-\cos ^{4} x=-\cos (2 x)\)

2. Công thức hạ bậc nâng cao

\(\sin ^{3} x=\frac{3 \sin x-\sin (3 x)}{4}\)

\(\cos ^{3} x=\frac{3 \cos x+\cos (3 x)}{4}\)

\(\tan ^{2} x=\frac{1-\cos (2 x)}{1+\cos (2 x)}\)

\(\tan ^{3} x=\frac{3 \sin x-\sin (3 x)}{3 \cos x+\cos (3 x)}\)

3. Công thức liên quan đến tổng và hiệu các giá trị lượng giác

Mối liên hệ giữa sin và cos

\(\begin{array}{l} \sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \\ \cos x-\sin x=\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \end{array}\)

Mối liên hệ giữa tan và cot

\(\begin{array}{ll} \tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x \cdot \cos y} & \tan x-\tan y=\frac{-\sin (x-y)}{\cos x \cdot \cos y} \\ \cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x \cdot \sin y} & \cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x \cdot \sin y} \\ \tan x+\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x \cdot \cos y} & \cot x-\tan y=\frac{\cos (x+y)}{\sin x \cdot \cos y} \\ \tan x+\cot x=\frac{2}{2 \sin (2 x)} & \cot x-\tan x=2 \cot (2 x) \end{array}\)

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác

\(\text { 1) } \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \text { . }\)

\(\text { 2) } \sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C=4 \sin A \sin B \sin C \text { . }\)

\(\text { 3) } \sin ^{2} A+\sin ^{2} B+\sin ^{2} C=2(1+\cos A \cos B \cos C) \text { . }\)

\(\text { 4) } \cos A+\cos B+\cos C=1+4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\)

\(\text { 5) } \cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C=-1-4 \cos A \cos B \cos C \text { . }\)

\(\text { 6) } \cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C=1-2 \cos A \cos B \cos C \text { . }\)

\(\text { 7) } \tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C\) (ABC là tam giác không vuông)

\(\text { 8) } \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}=\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} \text { . }\)

\(\text { 9) } \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}=1 \text { . }\)

\(\text { 10) } \cot A \cot B+\cot B \cot C+\cot C \cot A=1\)

  Trên đây là tổng hợp các công thức lượng giác nâng cao toán lớp 10 được chia sẻ với mong muốn giúp các em học sinh giỏi ôn tập và hoàn thành tốt các bài tập nâng cao...

IV Cách học thuộc công thức lượng giác lớp 10 dễ nhớ.

1. Cách nhớ công thức cộng

a) Công thức cộng liên quan tới cos và sin

Cos thì cos cos sin sin Sin thì sin cos cos sin rõ ràng Cos thì đổi dấu hỡi nàng Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!

b) Công thức cộng liên quan tới tan và cot

Tan một tổng hai tầng cao rộng Trên thượng tầng tan cộng cùng tan Hạ tầng số 1 ngang tàng Dám trừ đi cả tan tan oai hùng

2. Cách ghi nhớ giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

cos đối: cos( – x ) = cosx sin bù: sin( π – x ) = sina Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này băng cot góc kia. Hơn kém π tan: tan(x + π) = tanx và cot(x + π) = cotx

3. Cách ghi nhớ công thức biến đổi tích thành tổng

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ.

4. Cách ghi nhớ công thức nhân đôi

Sin gấp đôi bằng 2 sin cos Cos gấp đôi bằng bình phương cos trừ đi bình sin Bằng trừ 1 cộng hai bình cos Bằng cộng 1 trừ hai bình sin Tan gấp đôi bằng Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan ) Chia một trừ lại bình tan, ra liền.

V Các dạng bài tập lượng giác lớp 10 cơ bản có đáp án

Dưới đây là 7 dạng bài tập lượng giác thường gặp nhất:

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước 1 giác trị tính các giá trị lượng giác còn lại

Phương pháp giải : Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản

Ví dụ 1

\(a) \cos \alpha=\frac{4}{13} ;\left(0