Toán 10 Bài 3: Công Thức Lượng Giác - Hoc247
Có thể bạn quan tâm
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Công thức lượng giác kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết nhằm giúp các em có thêm tài liệu học tập thật tốt.
ATNETWORK YOMEDIA1. Tóm tắt lý thuyết
1.1 Công thức cộng
1.2. Công thức nhân đôi
1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng
1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích
2. Bài tập minh hoạ
3. Luyện tập bài 3 chương 6 đại số 10
3.1. Trắc nghiệm về công thức lượng giác
3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về công thức lượng giác
4. Hỏi đáp về bài 3 chương 6 đại số 10
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Công thức cộng
cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
\(\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)
\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)
Cách ghi nhớ:
Sin thì sin cos cos sin Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ). Tang tổng thì lấy tổng tang Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
1.2. Công thức nhân đôi
* Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a
\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)
Cách ghi nhớ:
Sin gấp đôi = 2 sin cos Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ 1 cộng hai lần bình cos = cộng 1 trừ hai lần bình sin Tang gấp đôi Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
* Công thức hạ bậc
\(\begin{array}{l} c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2}\\ {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{2}\\ {\tan ^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{{1 + c{\rm{os}}2a}} \end{array}\)
1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l} \cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\ \sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) - c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\ \sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a - b) + \sin (a + b){\rm{]}} \end{array}\)
Cách ghi nhớ:
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ
1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích
\(\begin{array}{l} \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2} \end{array}\)
Cách ghi nhớ:
Cos cộng cos bằng hai cos cos cos trừ cos bằng trừ hai sin sin Sin cộng sin bằng hai sin cos sin trừ sin bằng hai cos sin.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos
* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)
\(\begin{array}{l} = \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4} \end{array}\)
* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)
\(\begin{array}{l} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4} \end{array}\)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
\(\begin{array}{l} a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} \end{array}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với tan
\(\begin{array}{l} a)\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} \end{array}\)
Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a = - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)
Hướng dẫn:
+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp
+ Áp dụng công thức nhân đôi
\(\begin{array}{l} {\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {( - \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5} \end{array}\)
Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a = - \frac{4}{5}\)
Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( - \frac{3}{5})( - \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)
\(\begin{array}{l} \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{( - \frac{4}{5})^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\ \tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7} \end{array}\)
Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức hạ bậc
Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)
Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)
\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)
Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} = \sqrt {\frac{{{{(2 - \sqrt 2 )}^2}}}{2}} = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 - 1\)
Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức
\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l} A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 } \right) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4} \end{array}\)
Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)
\(\begin{array}{l} VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} - x)\\ = 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x - \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} - x)\\ = \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - (\frac{\pi }{4} - x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP \end{array}\)
3. Luyện tập Bài 3 chương 6 đại số 10
Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Công thức lượng giác và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến công thức lượng giác.
3.1 Trắc nghiệm về công thức lượng giác
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
Câu 1:
Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} - {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:
- A. 2
- B. 1
- C. 4
- D. 3
-
Câu 2:
Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:
- A. 3/10
- B. 2/9
- C. 1/4
- D. 1/6
-
Câu 3:
Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\)
- A. \(\frac{{17\sqrt 5 }}{{27}}\)
- B. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{9}\)
- C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)
- D. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về công thức lượng giác
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 153 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 153 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 6 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 7 trang 155 SGK Đại số 10
Bài tập 8 trang 155 SGK Đại số 10
Bài tập 6.30 trang 189 SBT Toán 10
Bài tập 6.31 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.32 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.33 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.34 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.35 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.36 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.37 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.38 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.39 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.40 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.41 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 38 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 39 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 40 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 41 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 42 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 43 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 44 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 45 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 46 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 47 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 48 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 49 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 50 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 51 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 52 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 53 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 54 trang 216 SGK Toán 10 NC
4. Hỏi đáp về bài 3 chương 6 đại số 10
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 HỌC247
NONEBài học cùng chương
Toán 10 Bài 1: Cung và góc lượng giác Toán 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung Toán 10 Ôn tập chương 6 Cung Góc lương giác và Công thức lượng giác ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORKXEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10
Toán 10
Toán 10 Kết Nối Tri Thức
Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo
Toán 10 Cánh Diều
Giải bài tập Toán 10 Kết Nối Tri Thức
Giải bài tập Toán 10 CTST
Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Toán 10
Ngữ văn 10
Ngữ Văn 10 Kết Nối Tri Thức
Ngữ Văn 10 Chân Trời Sáng Tạo
Ngữ Văn 10 Cánh Diều
Soạn Văn 10 Kết Nối Tri Thức
Soạn Văn 10 Chân Trời Sáng tạo
Soạn Văn 10 Cánh Diều
Văn mẫu 10
Tiếng Anh 10
Giải Tiếng Anh 10 Kết Nối Tri Thức
Giải Tiếng Anh 10 CTST
Giải Tiếng Anh 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 KNTT
Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CTST
Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CD
Giải Sách bài tập Tiếng Anh 10
Vật lý 10
Vật lý 10 Kết Nối Tri Thức
Vật lý 10 Chân Trời Sáng Tạo
Vật lý 10 Cánh Diều
Giải bài tập Lý 10 Kết Nối Tri Thức
Giải bài tập Lý 10 CTST
Giải bài tập Lý 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Vật Lý 10
Hoá học 10
Hóa học 10 Kết Nối Tri Thức
Hóa học 10 Chân Trời Sáng Tạo
Hóa học 10 Cánh Diều
Giải bài tập Hóa 10 Kết Nối Tri Thức
Giải bài tập Hóa 10 CTST
Giải bài tập Hóa 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Hóa 10
Sinh học 10
Sinh học 10 Kết Nối Tri Thức
Sinh học 10 Chân Trời Sáng Tạo
Sinh học 10 Cánh Diều
Giải bài tập Sinh 10 Kết Nối Tri Thức
Giải bài tập Sinh 10 CTST
Giải bài tập Sinh 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Sinh học 10
Lịch sử 10
Lịch Sử 10 Kết Nối Tri Thức
Lịch Sử 10 Chân Trời Sáng Tạo
Lịch Sử 10 Cánh Diều
Giải bài tập Lịch Sử 10 KNTT
Giải bài tập Lịch Sử 10 CTST
Giải bài tập Lịch Sử 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Lịch sử 10
Địa lý 10
Địa Lý 10 Kết Nối Tri Thức
Địa Lý 10 Chân Trời Sáng Tạo
Địa Lý 10 Cánh Diều
Giải bài tập Địa Lý 10 KNTT
Giải bài tập Địa Lý 10 CTST
Giải bài tập Địa Lý 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Địa lý 10
GDKT & PL 10
GDKT & PL 10 Kết Nối Tri Thức
GDKT & PL 10 Chân Trời Sáng Tạo
GDKT & PL 10 Cánh Diều
Giải bài tập GDKT & PL 10 KNTT
Giải bài tập GDKT & PL 10 CTST
Giải bài tập GDKT & PL 10 CD
Trắc nghiệm GDKT & PL 10
Công nghệ 10
Công nghệ 10 Kết Nối Tri Thức
Công nghệ 10 Chân Trời Sáng Tạo
Công nghệ 10 Cánh Diều
Giải bài tập Công nghệ 10 KNTT
Giải bài tập Công nghệ 10 CTST
Giải bài tập Công nghệ 10 CD
Trắc nghiệm Công nghệ 10
Tin học 10
Tin học 10 Kết Nối Tri Thức
Tin học 10 Chân Trời Sáng Tạo
Tin học 10 Cánh Diều
Giải bài tập Tin học 10 KNTT
Giải bài tập Tin học 10 CTST
Giải bài tập Tin học 10 Cánh Diều
Trắc nghiệm Tin học 10
Cộng đồng
Hỏi đáp lớp 10
Tư liệu lớp 10
Xem nhiều nhất tuần
Đề thi giữa HK1 lớp 10
Đề thi giữa HK2 lớp 10
Đề thi HK1 lớp 10
Đề cương HK1 lớp 10
Đề thi HK2 lớp 10
Video bồi dưỡng HSG môn Toán
Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tập hợp
Toán 10 Kết nối tri thức Bài 1: Mệnh đề
Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1
Soạn bài Thần Trụ Trời - Ngữ văn 10 CTST
Soạn bài Ra-ma buộc tội - Ngữ văn 10 Tập 1 Cánh Diều
Soạn bài Chữ người tử tù - Nguyễn Tuân - Ngữ văn 10 KNTT
Văn mẫu về Chữ người tử tù
Văn mẫu về Tây Tiến
Văn mẫu về Cảm xúc mùa thu (Thu hứng)
Văn mẫu về Bình Ngô đại cáo
YOMEDIA YOMEDIA ×Thông báo
Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.
Bỏ qua Đăng nhập ×Thông báo
Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.
Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>Từ khóa » Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Bài Tập
-
Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản Có Đáp Án Chi Tiết. - Kiến Guru
-
Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất - Kiến Guru
-
Giải Toán 10 Bài 3: Công Thức Lượng Giác
-
Công Thức Lượng Giác - Toán 10
-
Bài Tập Công Thức Lượng Giác Lớp 10
-
Cách Giải Các Dạng Bài Tập Lượng Giác Lớp 10
-
SGK Đại Số Lớp 10 – Giải Bài Tập Bài 3: Công Thức Lượng Giác
-
100 Bài Tập Công Thức Lượng Giác Lớp 10 - O₂ Education
-
Bài Tập Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Nâng Cao Có đáp án - 123doc
-
Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Và Bài Tập Chi Tiết đầy đủ Nhất
-
Các Dạng Bài Tập Toán Lượng Giác Và Phương Pháp Giải - Toán Lớp 10
-
Công Thức Lượng Giác - Bài Tập SGK Lớp 10
-
Giải Bài 3: Công Thức Lượng Giác – Sgk Đại Số 10 Trang 149 - Tech12h