Công Thức Tính đường Cao Trong Tam Giác đầy đủ Nhất

Công thức tính đường cao trong tam giác tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết về khái niệm, công thức tính đường cao trong tam giác vuông, cân đều kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập tự luyện kèm theo.

Thông qua tài liệu này các bạn học sinh hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tính đường cao trong tam giác. Đồng thời củng cố kiến thức để giải nhanh các bài tập hình học liên quan đến đường cao. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Công thức tính đường cao trong tam giác

• 1. Đường cao trong tam giác là gì?
• 2. Công thức tính đường cao trong tam giác
• 3. Công thức tính đường cao tam giác đều 
• 4. Công thức tính đường cao trong tam giác vuông
• 5. Công thức tính đường cao trong tam giác cân 
• 6. Tính chất ba đường cao của một tam giác
• 7. Bài tập tính đường cao trong tam giác

1. Đường cao trong tam giác là gì?

Đường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

• Cạnh đối diện được gọi là đáy ứng với đường cao đó.
• Giao điểm giữa đáy và đường cao được gọi là chân của đường cao.
• Độ dài của đường cao được tính bằng khoảng cách từ đỉnh đến đáy.
• Trong một tam giác sẽ có 3 đường cao được hạ từ 3 đỉnh của tam giác đó. Ba đường cao này sẽ đồng quy (giao nhau) tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm.
• Trực tâm của tam giác có thể nằm trong (xuất hiện ở tam giác nhọn) hoặc nằm ngoài (ở tam giác tù) hoặc trùng với một đỉnh trong tam giác (xuất hiện ở tam giác vuông).

2. Công thức tính đường cao trong tam giác

Có nhiều cách giúp các bạn tính đường cao, cách đơn giản tính đường cao trong tam giác là sử dụng công thức Heron:

\({h_a} = 2\frac{{\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }}{a}\)

Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:

\(p = \frac{{\left( {a + b + c} \right)}}{2}\)

3. Công thức tính đường cao tam giác đều 

Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như sau:

Công thức tính đường cao: \(h = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Trong đó: h là đường cao của tam giác đều; a là độ dài cạnh của tam giác đều.

4. Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình sau:

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

\(1.\ {a^2} = {b^2} + {c^2}\)

\(2.\ {b^2} = a.b' và {c^2} = a.c'\)

\(3.\ ah = bc\)

\(4.\ {h^2} = b'.c'\)

\(5.\ \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)

Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền; c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

Như vậy các bạn có thể dựa vào các công thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông ở trên để giải quyết các bài toán.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Giải:

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

5. Công thức tính đường cao trong tam giác cân 

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như sau:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

\(\Rightarrow HB = HC = \frac{{BC}}{2}\)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\)

\(\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)

6. Tính chất ba đường cao của một tam giác

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ: H là giao điểm ba đường cao của tam giác ABC. H là trực tâm của tam giác ABC

Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Nhận xét:

Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân

Đặc biệt đối với tam giác đều, từ tính chất trên suy ra: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

7. Bài tập tính đường cao trong tam giác

A. Trắc nghiệm 

Bài 1: Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em hãy chọn phát biểu đúng:

A. H là trọng tâm của ΔABCB. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABCC. CH là đường cao của ΔABCD. CH là đường trung trực của ΔABC

Bài 2: Cho ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó

A. AM ⊥ BCB. AM là đường trung trực của BCC. AM là đường phân giác của góc BACD. Cả A, B, C đều đúng

Bài 3: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC

A. AB = AC = 13cmB. AB = AC = 14cmC. AB = AC = 15cmD. AB = AC = 16cm

Bài 5: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng

A. AI > AK B. AI < AK C. AI = 2AKD. AI = AK

Bài 6: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. ΔAIK là tam giác gì?

A. ΔAIK là tam giác cân tại BB. ΔAIK là tam giác vuông cân tại AC. ΔAIK là tam giác vuôngD. ΔAIK là tam giác đều

B. Tự luận

Bài 1: Cho tam giác ABC đường cao AH. Vẽ HD ⊥ AB. Tia phân giác của góc AHC cắt AC tại F. Biết AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10 cm. Tính:

a) Độ dài AH

b) Chu vi tam giác ADF

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC và AH

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB/AC = 20/21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Cho biết AC/AB = √2; HC - HB = 2cm.Tính:

a) Tỉ số HC : HB

b) Các cạnh của tam giác ABC

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC bằng góc ANB bằng 900. Chứng minh rằng AM = AN