CP267 – Phân Số Ai Cập - ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Người Ai cập thời cỗ đại (3000 BC)  có một cách đặc biệt để diễn tả phân số. Họ chỉ dùng phân số có dạng 1/n . Phân số nầy được gọi là “phân số đơn vị” (unit fraction). Tất cả các phân số khác đều được diễn tả như là tổng số các phân số đơn vị, và hơn thế nữa, tất cả các phân số đơn vị nầy đều khác nhau!

Thí dụ:             3/4  =  1/2  +  1/4          6/7 = 1/2  + 1/3 + 1/42

Một phân số viết dưới dạng tổng số các phân số đơn vị khác nhau gọi là một phân số Ai cập.

Tính chất 1:    Một phân số có vô số dạng phân số Ai cập. 

Xét đẳng thức sau đây:

1 = 1/2  + 1/3 + 1/6     (1)

Chia 2 vế cho 4:

1/4  = 1/8 + 1/12 + 1/24

Thay kết quả trên vào biểu thức  3/4  = 1/2 + 1/4, ta có:

3/4  = 1/2  + 1/8 + 1/12 + 1/24           (2)

Chia 2 vế của (1) cho 24: 1/24  = 1/48 + 1/72 + 1/144

Thay 1/24 vào (2), ta có: 3/4  =  1/2  + 1/8 + 1/12 + 1/48 + 1/72 + 1/144         (3)

Cứ thế tiếp tục tương tự, ta có thể nói: phân số 3/4 có vô số dạng phân số Ai cập.

Tính chất 2:   Mọi phân số thông thường có một dạng phân số Ai cập.

Xét phân số t/b < 1. Nếu  t = 1, 1/b  là 1 phân số đơn vị, tính chất đã nghiệm. Chỉ xét t > 1.

Sử dụng phương pháp Fibonacci để tìm tuần tự các phân số đơn vị từ lớn đến nhỏ. Thí dụ:  Xét phân số  521/1050.

Vì    1050/3 <  521  < 1050/2 , nên phân số đơn vị lớn nhất là 1/3 521/1050  =  1/3 + R =>   R = 521/1050 – 1/3 = 57/350

Lập lại lý luận trên với phân số 57/350, ta  được:

57/350 = 1/7 + R   với  R = 7/350

=>       521/1050  =  1/3 + 1/7 + 7/350  =  1/3 + 1/7 + 1/50

Phân số 521/1050 có 1 dạng phân số Ai cập 1/3 + 1/7 + 1/50.

Phương pháp nầy có thể áp dung với mọi phân số thông thường t/b với t > 1 và  t < b.

Robert Cohen trong Mathematics Magazine Vol 46, No. 2 (1973) đã chứng minh rằng mọi phân số đều có thể viết dưới dạng tổng số các phân số đơn vị mà mẫu số của phân số đơn vị  nầy là ước số của mẫu số của phân số đơn vị kế tiếp.

Thí dụ:

         

Biểu diễn ngắn nhất của phân số Ai cập

Mọi phân số có thể biểu diễn bằng vô số dạng phân số Ai cập, trong đó có 1 hay nhiều dạng ngắn nhất.

Thí dụ phân số 4/5 có dạng phân số Ai cập ngắn nhất là : 4/5 = 1/2  + 1/4  + 1/20  ,   ký hiệu:   4/5 = [2,4,20]

Một số thí dụ khác:

2/3   = [2,6]         2/5 = [3,15]       2/7 = [4,28]      2/9 = [5,45]  = [6,18] 2/11  = [6,66]       3/4 = [2,4]        3/5 = [2,10] 3/7   = [3, 11, 231]  = [3, 12, 84]  = [3, 14, 42]  = [3, 15, 35] = [4, 6, 84] = [4, 7, 28| 3/8   = [3,24] = [4,8] 3/10 = [4,20] = [5,10]

Một áp dụng thực tiển của phân số Ai cập

Phân số Ai cập có thể giúp giải quyết một số bài toán chia chát đồng điều một đối tượng nào đó cho nhiều người mà không làm vụn nát đối tượng đó, thí dụ bài toán sau đây:

“Làm sao chia đồng điều 5 ổ bánh mì cho 8 người thợ một cách tốt nhất?”

Cách giải có thể như sau:

Chia  đồng đều 5 ổ bánh mì cho 8 người cho 8 người => mỗi người được 5/8 của phần chia.

Viết phân số 5/8 dưới dạng phân số Ai cập: 5/8  =  1/2  +  1/8 Hệ thức trên có nghĩa là mỗi người được chia 1/2  ổ bánh mì và 1/8 ổ bánh mì. Suy ra cách chia đồng đều 5 ổ bánh mì cho 8 người thợ:

• Cắt 4 ổ bánh mì thành 8 phần, mỗi phần là 1/2 ổ
• Cắt ổ bánh mì còn lại thành 8 phần bằng nhau

Mỗi người thợ được chia 1/2  ổ bánh mì và 1/8 ổ bánh mì.

Thuận Hoà Sydney 2017

Share this:

• Share

• WhatsApp
• Email
• Print

Like Loading...