Cực Trị Của Một Số Hàm Thường Gặp | Trinh Tran Math's Blog

Trang chủ » Hàm Số Bậc Nhất Trên Bậc Nhất Có Bao Nhiêu Cực Trị » Cực Trị Của Một Số Hàm Thường Gặp | Trinh Tran Math's Blog

Có thể bạn quan tâm

Với bài học này, các em hãy nhớ và lưu ý những hàm số dạng nào có thể có cực trị và khi nào thì hàm số đó mới có cực trị, nhằm áp dụng cho các bài toán tìm m cho hàm số có cực trị. Ngoài ra, các em lưu ý cách thức xác định “phương trỉnh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị” đối với hàm số bậc ba và hàm số phân thức bậc 2 …

1. Hàm bậc hai: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

MXĐ: D = R

y’ = 2ax + b

c1b2_h2

=> y’ đổi dấu khi x qua x_o = \frac{{ - b}}{{2a}} => hàm số đạt cực trị tại x_o = \frac{{ - b}}{{2a}}

2. Hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

MXĐ: D = R y’ = 3ax2 + 2bx + c Δ’ = b2 – 3ac * Δ’ ≤ 0 : y’ không đổi dấu => hàm số không có cực trị * Δ’ > 0 : y’ đổi dấu 2 lần => hàm số có hai cực trị (1 CĐ và 1 CT) *Đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:

Ta có thể phân tích : y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bẳng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x) – Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2 – Ta có : * f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D => f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0 *Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0 => Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : y = Cx + D

3. Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

MXĐ: D = R y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee 2ax^2 + b = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x^2 = \frac{{ - b}}{{2a}}

*\frac{{ - b}}{{2a}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{b}{{2a}} \ge 0 => y’ chỉ đổi dấu 1 lần khi x đi qua xo = 0 => hàm số đạt cực trị tại xo = 0 *\frac{{ - b}}{{2a}} > 0 \Leftrightarrow \frac{b}{{2a}} < 0 => y’ đổi dấu 3 lần => hàm số có 3 cực trị

4. Hàm hữu tỉ: y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} (a ≠ 0)

Đạo hàm y' = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cx + d} \right)^2 }} không đổi dấu => hàm số không có cực trị

5. Hàm hữu tỉ: y = \frac{{ax^2 + bx + c}}{{dx + e}} (a ≠ 0 , x = \frac{{ - e}}{d} không là nghiệm của tử số )

D = R\backslash \left\{ {\frac{{ - e}}{d}} \right\} y' = \frac{{Ax^2 + Bx + C}}{{\left( {dx + e} \right)^2 }} Đặt P(x) = Ax2 + Bx + C => Δ = B2 – 4AC

*Δ ≤ 0: y’ không đổi dấu => hàm số không có cực trị *Δ > 0: y’ đổi dấu 2 lần => hàm số có 2 cực trị x1 và x2

c1b2_h3

Vậy:

Hàm số có cực trị \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0 \\ a \ne 0 \\ a\left( {\frac{{ - e}}{d}} \right)^2 + b\left( {\frac{{ - e}}{d}} \right) + c \ne 0 \\ \end{array} \right. **Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số Giả sử hàm số y = \frac{{ax^2 + bx + c}}{{dx + e}} có hai điểm cực trị x1 và x2. Ta có : y = \frac{{u(x)}}{{v(x)}} \Rightarrow y' = \frac{{u'(x).v(x) - u(x).v'(x)}}{{v^2 (x)}} Tại điểm cực trị x1, ta sẽ có y'(x_1 ) = \frac{{u'(x_1 ).v(x_1 ) - u(x_1 ).v'(x_1 )}}{{v^2 (x_1 )}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{u(x_1 )}}{{v(x_1 )}} = \frac{{u'(x_1 )}}{{v'(x_1 )}} \Rightarrow y(x_1 ) = \frac{{2ax_1 + b}}{d}

Tương tự : y(x_2 ) = \frac{{2ax_2 + b}}{d} => đưởng thẳng đi qua hai điểm cực trị M1(x1;f(x1)) và M2(x2;f(x2)) có phương trình: y = \frac{{2ax + b}}{d}

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Từ khóa » Hàm Số Bậc Nhất Trên Bậc Nhất Có Bao Nhiêu Cực Trị