Đa Thức Hermite - Lý Thuyết Hàm Suy Rộng
Có thể bạn quan tâm
Trong bài giảng về Giải tích điều hòa cho K58TN tôi có đề cập đến đa thức Hermite khi:
- xây dựng biến đổi Fourier trong ,
- chứng minh bất đẳng thức Heisenberg.
Dưới đây tôi trình bày vài nét cơ bản về đa thức Hermite. Ta bắt đầu với dạng vật lý của đa thức Hermite
Ta thử tính cụ thể:
- khi có ,
- khi có ,
- khi có
Một cách tổng quát
Các bạn thử chứng minh công thức trên?
Như vậy là đa thức bậc có tính chẵn lẻ theo tính chẵn lẻ của Thêm nữa nó có đủ nghiệm thực! (Tại sao?)
Ta có thể nhìn đa thức Hermite dưới dạng hệ số của khai triển Taylor của hàm
theo biến như sau:
Từ cách nhìn này lấy ta có
.
Lấy đạo hàm theo biến hàm ta có phương trình
nên từ khai triển (1) ta có hệ thức truy hồi của đa thức Hermite
Lấy đạo hàm theo biến hàm ta có phương trình
nên từ khai triển (1) ta có
Từ (2) và (3) ta có hệ
Do đó là hàm riêng của toán tử vi phân với giá trị riêng tương ứng Từ đây, hàm Hermite
là hàm riêng của toán tử vi phân
,
toán tử Schrodinger với hàm thế ,
với giá trị riêng tương ứng . Cụ thể
Dùng đẳng thức trên với chú ý ta có
Như vậy lập thành hệ trực giao trong Tiếp đến ta chuẩn hóa hóa hệ này bằng việc tính chuẩn
Từ hệ thức truy hồi (2) ta có
nên
Từ tính trực giao ta có hệ thức truy hồi
Chú ý
nên
Hệ trực chuẩn gồm các hàm riêng của toán tử Schrodinger
Để chứng minh tính đầy đủ của hệ các hàm riêng trên chú ý rằng là đa thức bậc nên mỗi đơn thức là tổ hợp tuyến tính của Cụ thể
Do đó nếu trực giao với tất cả thì
Lại từ khai triển Taylor
ta có biến đổi Fourier
Do đó nếu trực giao với tất cả các hàm riêng của toán tử Schrodinger thì biến đổi Fourier hay Nói cách khác hệ là hệ trực chuẩn đầy đủ trong
Hàm Hermite không chỉ là hàm riêng của toán tử Schrodinger mà còn là hàm riêng của biến đổi Fourier. Thật vậy, xét tích phân
.
Lại dùng khai triển (1) ta có
- ,
- .
Do đó
hay
Từ tính chẵn lẻ của ta có
- ,
- .
Lại dùng tích phân
ta có
- .
Do đó
.
Từ đây ta có công thức
với
Ngoài dạng vật lý, đa thức Hermite còn có dạng xác suất
.
Có thể thấy nên về cơ bản dạng xác xuất và dạng vật lý giống nhau. Với dạng xác suất Ito đưa ra công thức lặp
trong đó là quá trình ngẫu nhiên Brownian, tích phân trên là tích phân Ito.
Chẳng hạn
- khi có ,
- khi có .
Chia sẻ:
- X
Có liên quan
Từ khóa » Toán Tử Hermite Là Gì
-
Chương 3 : Cơ Học Lượng Tử
-
[PDF] Giáo Trình Nhập Môn Hóa Lượng Tử Lâm Ngọc Thiềm Lê Kim Long
-
Cơ Học Lượng Tử - Vietsciences
-
Clt Ly 3 2011 2012 862 By Triều Văn Dương - Issuu
-
Tài Liệu Ôn Tập Cơ Học Lượng Tử Ppt - 123doc
-
Toán Tử Hamilton – Wikipedia Tiếng Việt
-
Truong Tien Hoa
-
Giáo Trình Nhập Môn Hóa Lượng Tử
-
Khoá Luận Tốt Nghiệp Nghiên Cứu Về Các Toán Tử Trong Vật Lý
-
Ôn Tập Cơ Học Lượng Tử.pdf (công Thức Vật Lí) | Tải Miễn Phí
-
[PDF] LỜI MỞ ĐẦU Cơ Học Lượng Tử Là Một Môn Học Ra đời Muộn ... - Zing
-
[PDF] Bài Tập Vật Lí Lí Thuyết - Tập 2: Cơ Học Lượng Tử
-
VẬT LÝ LÝ THUYẾT - Ban Đào Tạo - Đại Học Huế
-
Phương Pháp Biến Phân (cơ Học Lượng Tử) - Du Học Trung Quốc
-
Cơ Học Lượng Tử - SlideShare
-
Giáo Trình Nhập Môn Hóa Lượng Tử - Luận Văn, đồ án, Luan Van, Do An
-
Tính đỗi Ngẫu Sóng Hạt 14. Cơ Học Lượng Tử Sóng - Facebook
-
(A) Bai Giang Va Bai Tap - CHLT | PDF - Scribd