Ôn Tập Cơ Học Lượng Tử.pdf (công Thức Vật Lí) | Tải Miễn Phí

Trang chủ Tìm kiếm Trang chủ Tìm kiếm Ôn tập Cơ học lượng tử pdf 19 348 KB 54 138 4.4 ( 17 lượt) Xem tài liệu Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Tải về Đang chuẩn bị: 60 Bắt đầu tải xuống Đang xem trước 10 trên tổng 19 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên Chủ đề liên quan công thức vật lí vật lí nâng cao kiến thức vật lý căn bản Cơ học lượng tử Vật lý cổ điển hệ thức bất định chuyển động lượng tử

Nội dung

ÔN TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ §1. Hàm sóng
a.Tiên ñề : Trạng thái của hạt vi mô ñược mô tả bằng một hàm Ψ (r , t ) nói chung là phức ñược gọi là hàm sóng.
b. Ý nghĩa Vật lý : ðại lượng | Ψ (r , t ) |2 dV cho ta xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích dV bao
quanh ñiểm r vào thời ñiểm t .

ðại lượng : ρ(r , t ) =| Ψ (r , t ) |2 ñược gọi là mật ñộ xác suất. c. ðiều kiện chuẩn hoá : Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V hữu hạn bằng
P(V , t ) = ∫ | Ψ (r , t ) |2 dV . Nếu miền lấy tích phân mở rộng ra toàn không gian (V → ∞) thì giá trị của V tích phân tương ứng sẽ là xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian và phải bằng 1 (biến cố chắc
chắn). Do ñó : ∫ | Ψ (r , t ) |2 dV = 1 (ñiều kiện chuẩn hoá). ∞ d. Nguyên lý chồng chất. Nếu hệ ở trong các trạng thái ñược mô tả bởi các hàm sóng Ψ1 và Ψ 2 thì hệ cũng có thể ở trong trạng thái mô tả bởi hàm sóng c1Ψ1 + c2 Ψ 2 (c1 , c2 : const ) . Hệ quả : Các phương trình mà hàm sóng thoả mãn phải là các phương trình tuyến tính. §2. Toán tử. a. ðịnh nghĩa : Toán tử là một phép toán khi tác dụng lên một hàm nào ñó trong không gian hàm ñã cho sẽ cho ta một hàm khác cũng thuộc không gian hàm ñó. b. Các phép toán trên toán tử : + Tổng : ( Aˆ + Bˆ )ψ = Aˆ ψ + Bˆ ψ . ˆ ˆ )ψ = Aˆ ( Bˆ ψ) . Nói chung AB ˆ ˆ − BA ˆ ˆ ≠ BA ˆ ˆ . ðại lượng  Aˆ , Bˆ  = AB ˆ ˆ ñược gọi là giao hoán tử + Tích : ( AB   của  và B̂ . c. Phương trình trị riêng của toán tử : Nếu Fˆ ψ(q) = f ψ(q ) (1) ( f : const ) thì ψ (q ) ñược gọi là hàm riêng của toán tử F̂ ứng với trị riêng f còn (1) là phương trình trị riêng của F̂ . d. Toán tử tuyến tính. Toán tử F̂ ñược gọi là toán tử tuyến tính nếu :   Fˆ (c1ψ1 + c2 ψ 2 ) = c1Fˆ ψ1 + c2 Fˆ ψ 2 ( (c1 , c2 : const ) hay tổng quát Fˆ ∑ cn ψ n  = ∑ cn Fˆ ψ n (cn : const )  n  n e. Toán tử hermite ( toán tử tự liên hợp). + Toán tử liên hợp phức : Toán tử liên hợp phức với toán tử F̂ , ký hiệu F̂ * là một toán tử, sao cho : nếu F̂ψ = ϕ thì F̂ *ψ* = ϕ* , do ñó : ( Fˆ ψ)* = Fˆ *ψ* . ɶ ∫ + Toán tử chuyển vị : Toán tử chuyển vị của toán tử F̂ , ký hiệu F̂ là một toán tử sao cho : ɶ ˆ ˆ = BA ˆɶ ˆɶ ψ1 Fˆ ψ 2 dq = ∫ ψ 2 Fˆ ψ1dq . Khi ñó, ta có :  AB ∫ + Toán tử liên hợp hermite với toán tử F̂ , ký hiệu F̂ + là một toán tử, sao cho : ɶ ψ* Fˆ + ψ dq = ψ Fˆ *ψ*dq , như thế ta có thể viết một cách hình thức : Fˆ + = Fˆ * 1 2 ∫ 2 1 + Toán tử hermite (toán tử tự liên hợp) : Toán tử F̂ ñược gọi là toán tử hermite hay toán tử tự liên hợp nếu thoả mãn hệ thức : ψ* Fˆ ψ dq = ψ Fˆ *ψ*dq , khi ñó ta có thể viết Fˆ = Fˆ + ∫ 1 2 ∫ 2 1 f. Các tính chất của toán tử hermite.
Trị riêng của toán tử hermite là thực . Chứng minh : Giả sử f n là trị riêng của toán tử hermite F̂ ứng với hàm riêng ψ n . Khi ñó ta có : Fˆ ψ n = f n ψ n ⇒ ∫ ψ*n Fˆ ψ n dq = f n ∫ ψ*n ψ n dq (1) . Lấy liên hợp phức hai vế biểu thức (1) ta ñược 1 ∫ ψ Fˆ ψ dq = f ∫ ψ ψ dq (1),(2) và (3) suy ra : f ∫ ψ * n * n * n * n (2) . Do F̂ là toán tử hermite nên n n * m ∫ ψ Fˆ ψ dq = ∫ ψ Fˆ ψ dq * n * n n * n (3) Từ ψ n dq = f n* ∫ ψ*m ψ n dq ⇒ f n = f n* ,hay f n là thực .  Các hàm riêng của toán tử hermite là trực giao với nhau. Chứng mính : Giả sử ψ n và ψ m là các hàm riêng của toán tử hàm riêng F̂ ứng với các trụ riêng f n và f m . Khi ñó ta có : Fˆ ψ n = f n ψn (1) và Fˆ *ψ*m = f m ψ*m (2) ( do f m là thực) . Từ (1) suy ra ∫ψ * m Fˆ ψ n dq = f n ∫ ψ*n ψ n dq (3) . Từ (2) suy ra (4). Vì F̂ là toán tử hermite nên ∫ψ * m ∫ ψ Fˆ ψ * n * m dq = f m ∫ ψ*m ψ n dq Fˆ ψ n dq = ∫ ψ n Fˆ *ψ*m dq (5). Từ (3),(4) và (5) ta tìm ñược : f n ∫ ψ*m ψ n dq = f m* ∫ ψ*m ψ n dq ⇒ ( f n − f m ) ∫ ψ*m ψ n dq = 0 ⇒ ∫ ψ*m ψ n dq = 0 (6) khi f n ≠ f m Nếu các hàm riêng ψ n chuẩn hoá thì chung lại dưới dạng ∫ψ * m ∫ ψ ψ dq = 1(7). Các hệ thức (6) và (7) có thể viết * n n ψ n dq = δ nm (ñiều kiện trực chuẩn)  Các hàm riêng của toán tử hermite tạo thành một hệ ñủ. Giả sử {ψ n (q )} là hệ hàm riêng của một toán tử hermite nào ñó, khi ñó mọi hàm ψ(q) bất kỳ ñều có thể khaii triển thành chuỗi theo các hàm ψ n (q ) : ψ(q) = ∑ cn ψn (q) , trong ñó các hệ số cn n ñược xác ñịnh bởi công thức cn = ∫ ψ ( q) ψ( q)dq . * n Tiên ñề : Trong cơ học lượng tử mỗi ñại lượng vật lý ñược ñặt ñối ứng với một toán tử tuyến tính tự liên hợp sao cho khi ño ñại lượng vật lý ta nhận ñược các giá trị là các giá trị riêng của toán tử ứng với nó. g. Một số toán tử của cơ học lượng tử.

+ Toán tử toạ ñộ : rˆ = r ⇔ xˆ = x, yˆ = y, zˆ = z ∂ ∂ ∂
+ Toán tử xung lượng : pˆ = −iℏ∇ ⇔ pˆ x = −iℏ , pˆ y = −iℏ , pˆ z = −iℏ ∂x ∂y ∂z
ˆ


+ Toán tử moment xung lượng : L = rˆ × pˆ = −iℏ(r ×∇) = ( Lˆ , Lˆ , Lˆ ) , trong ñó : x y z  ∂  ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ Lˆx = ypˆ z − zpˆ y =−iℏ y − z , Lˆy = zpˆ x − xpˆ z =−iℏz − x  , Lˆz = xpˆ y − ypˆ x =−iℏ x − y   ∂x ∂y  ∂x  ∂z   ∂z  ∂y
pˆ 2 ℏ2

ˆ + Toán tử Hamilton : H = + V (r ) = − ∆ + V (r ) 2m 2m 3. Giá trị trung bình của các ñại lượng vật lý : Giá trị trung bình của ñại lượng vật lý F trong trạng thái ñược mô tả bởi hàm sóng ψ ñược xác ñịnh bởi công thức : ψ* (q ) Fˆ ψ(q )dq ∫ * ( khi ψ chưa chuẩn hoá) F = ∫ ψ ( q) Fˆ ψ( q)dq ( khi ψ chuẩn hoá) hoặc F = * ψ ( q ) ψ ( q ) dq ∫ 4. ðiều kiện ñể 2 ñại lượng vật lý nhận giá trị xác ñịnh ñồng thời. Xét ñại lượng vật lý F̂ , giả sử khi ño F ta nhận ñược trị riêng f n . Khi ñó hệ phải ở trong trạng thái mô tả bởi hàm sóng ψ k là hàm riêng của toán tử F̂ : Fˆ ψ n = f n ψ n . 2 Giả sử G là một ñại lượng vật lý nào ñó của hệ, nếu trong trạng thái ψ n ta ño G và nhận ñược giá trị g thì hàm ψ cũng phải là hàm riêng của toán tử Ĝ : Gˆ ψ = g ψ . ðiều này có nghĩa n n n n n là các toán tử F̂ và Ĝ có chung hàm riêng . Do ñó ta có thể nói : ñiều kiện ñể hai ñại lượng vật lý ño ñược chính xác ñồng thời là các toán tử tương ứng với chúng có hàm riêng chung. ðịnh lý : ðiều kiện cần và ñủ ñể hai toán tử tuyến tính F̂ và Ĝ có hàm riêng chung là chúng giao hoán với nhau. Chứng minh : + ðiều kiện cần : Giả sử Fˆ , Gˆ có chung hàm riêng , cần chứng minh Fˆ , Gˆ giao hoán với nhau. Giả sử ψ là hàm riêng chung của Fˆ , Gˆ , tức là : Fˆ ψ = f ψ , Gˆ ψ = g ψ . Khi ñó ta có : n n n n n n n ˆ ˆ )ψ = Gˆ ( Fˆ ψ ) = Gˆ ( f ψ ) = f Gˆ ψ = f g ψ ˆ ˆ )ψ = Fˆ (Gˆ ψ ) = Fˆ ( g ψ ) = g Fˆ ψ = g f ψ ; (GF ( FG n n n n n n n n n n n n n n n n n n ˆ ˆ ˆ ˆ từ ñó suy ra FG ψ n = GF ψ n (1) .Giả sử Ψ là hàm bất kỳ, khai triển theo ψ n , ta có : Ψ = ∑ cn ψ n . n ˆ ˆ )Ψ = Vì Fˆ , Gˆ là các toán tử tuyến tính nên : ( FG ˆ ˆ )Ψ = ˆ ˆ ψ (3). Từ ˆ ˆ ψ (2) và (GF ∑ cn FG ∑ cnGF n n n n ˆ ˆ ) Ψ hay FG ˆ ˆ ) Ψ = (GF ˆ ˆ. ˆ ˆ = GF (1),(2) và (3), ta có : ( FG ˆ ˆ , cần chứng minh Fˆ , Gˆ có hàm riêng chung. Thật vậy, giả sử ψ là ˆ ˆ = GF + ðiều kiện ñủ : Giả sử FG n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ hàm riêng của F̂ : F ψ = f ψ ⇒ GF ψ = f G ψ (4). Do FG = GF nên GF ψ = FG ψ (5). Từ (4) n n n n n n n n ˆ và (5), ta nhận ñược : Fˆ (Gˆ ψ n ) = f n (Gˆ ψ n ) . ðiều này có nghĩa là Gψ n cũng là hàm riêng của F̂ ứng với cùng trị riêng f n và do ñó, nếu trị riêng f n không suy biến thì Gˆ ψ n = g n ψ n . ðiều này có nghĩa là ψ n cũng là hàm riêng của Ĝ ứng với trị riêng g n . Tóm lại : ñiều kiện ñể hai ñại lượng vật lý có thể ño ñược chính xác ñồng thời là các toán tử tương ứng với chúng phải giao hoán với nhau. 5. Hệ thức bất ñịnh Heisenberg. Giả sử Aˆ , Bˆ là các toán tử ứng với các ñại lượng vật lý A và B . Nếu Aˆ , Bˆ không giao hoán với nhau thì  Aˆ , Bˆ  = iCˆ , trong ñó Ĉ là một toán tử hermite. Gọi A, B là giá trị trung bình của A, B ; ta ñưa vào các toán tử ∆Aˆ , ∆Bˆ ứng với các ñại lượng vật lý ∆A = A − A, ∆B = B − B , khi ñó ta cũng có :  ∆Aˆ , ∆Bˆ  = iCˆ . Xét bất ñẳng thức hiển nhiên sau : I (α ) = | (α∆Aˆ − i∆Bˆ )ψ |2 dV ≥ 0 ( ∀α ∈ ℝ )  ∫  (1) . Ta viết lại (1) dưới dạng : I (α ) = ∫ (α∆Aˆ − i∆Bˆ )ψ(α∆Aˆ * + i∆Bˆ * )ψ*dV (2). Vì Aˆ , Bˆ là các toán tử hermite nên ∆Aˆ , ∆Bˆ cũng là các toán tử hermite , do ñó (2) trở thành : I (α ) = ∫ ψ* (α∆Aˆ + i∆Bˆ )(α∆Aˆ − i∆Bˆ )ψdV = ∫ ψ* α 2∆Aˆ 2 − iα ∆Aˆ , ∆Bˆ  + ∆Bˆ 2 ψdV .   Vì  ∆Aˆ , ∆Bˆ  = iCˆ nên ta có thể viết : I (α) = ψ* α 2∆Aˆ 2 +αCˆ +∆Bˆ 2 ψdV = α 2 ∆A2 +αC +∆B2 ≥ 0 {  } ∫ {  } Từ ñây ta thấy : I (α) là một tam thức bậc 2 theo α có hệ số của α 2 là ∆A2 ≥ 0 , nên ñể I (α) ≥ 0 thì biệt thức của nó phải âm, tức là : ( C ) − 4∆A .∆B ≤ 0 hay ∆A .∆B 2 2 2 và ñặt δA = ∆A2 , δB = ∆B 2 , ta ñược hệ thức : δA.δB ≥ 2 2 (C ) ≥ 4 2 (3). Lấy căn hai vế của (3) |C | , hệ thức này ñược gọi là hệ thức bất 4 ñịnh Heisenberg. Các ñại lượng δA = ∆A2 và δB = ∆B 2 ñược gọi là ñộ bất ñịnh của A và B . 3 §2. Phương trình Schrodinger . 1. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian.
Khảo sát hạt chuyển ñộng trong trường thế V (r ) và có năng lượng không ñổi theo thời gian.
Gọi E là năng lượng của hệ và ψ E (r ) là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lượng E . Như thế
ψ E (r ) là hàm riêng của toán tử năng lượng Ĥ ứng với trị riêng E . Phương trình trị riêng của Ĥ có

pˆ 2 ℏ2

dạng : Hˆ ψ E (r ) = E ψ E (r ) (1) . Thay biểu thức Hˆ = + V (r ) = − ∆ + V (r ) vào (1) ta nhận ñược 2m 2m
2m

phương trình : ∆ψ E (r ) + 2 [ E − V (r )] ψ E (r ) = 0 (2). Phương trình này ñược gọi là phương trình ℏ Schrodinger không phụ thuộc thời gian. Nếu thế năng V = V ( x) , ta có chuyển ñộng 1 chiều và lúc ñó d 2 ψ ( x ) 2m (2) trở thành : + 2 [ E − V ( x)] ψ( x) = 0 (3) dx ℏ a. Các tính chất của chuyển ñộng 1 chiều :
Nếu thế năng V ( x) là một hàm chẵn của toạ ñộ thì nghiệm của phương trình (3) phải là một hàm hoặc chẵn, hoặc lẻ  Nếu thế năng V ( x) V(x có ñiểm gián ñoạn hữu hạn tại x0 thì hàm sóng và ñạo hàm cấp 1 của nó liên tục tại x0 . b. Hố thế 1 chiều vuông góc sâu vô hạn. 0 ∞ Xét một hạt chuyển ñộng trong trường thế 1 chiều V ( x) có dạng : V ( x) =  khi | x |< a khi | x |≥ a . d 2 ψ ( x ) 2m + 2 [ E − V ( x)] ψ( x) = 0 (1). dx ℏ + Trong miền | x |≥ a : V ( x) = ∞ , hạt không thể ñi vào miền này vì không thể có năng lượng bằng vô hạn, do ñó hàm sóng phải triệt tiêu trong miền này : ψ( x) ≡ 0 (| x |≥ a) d 2ψ 2mE + Trong miền | x |< a : V ( x) = 0 , phương trình (1) trở thành : + k 2 ψ = 0 (2) với : k 2 = 2 > 0 (3) 2 ℏ dx Nghiệm tổng quát của (2) có dạng : ψ( x) = A cos kx + B sin kx (4), trong ñó A, B là các hằng số tuỳ ý. Vì thế năng V ( x) là hàm chẵn của toạ ñộ nên nghiệm (4) phải là các hàm chẵn hoặc lẻ của toạ ñộ. * Các nghiệm chẵn : Khi ñó ψ( x) = ψ(−x) và từ (4) ta tìm ñược ψ( x ) = A cos kx . Từ ñiều kiện nπ liên tục của hàm sóng tại x = a ta có : cos ka = 0 ⇒ k = k n = với n là các số nguyên lẻ. Từ ñiều 2a Phương trình Schrodinger cho hạt có dạng : a kiện chuẩn hoá, ta có a ∫ | ψ( x) | 2 dx = 1 ⇔ A 2 −a ∫ cos 2 kn xdx = 1 ⇒ A2 a = 1, hay A = −a 1 .Vậy nghiệm a 1 nπx chẵn có dạng : ψ n ( x) = (5), trong ñó n là số lẻ. cos 2a a * Các nghiệm lẻ : Khi ñó ψ( x ) = −ψ(− x) và từ (4) ta tìm ñược ψ ( x) = B sin kx . Từ ñiều kiện liên nπ tục của hàm sóng tại x = a ta có : sin ka = 0 ⇒ k = k n = với n là các số nguyên chẵn. Từ ñiều 2a a kiện chuẩn hoá , ta có ∫ | ψ( x) | −a a 2 dx = 1 ⇔ A 2 ∫ sin −a 2 kn xdx = 1 ⇒ A2 a = 1 , hay A = 1 .Vậy nghiệm a 4 lẻ có dạng : ψ n ( x) = 1 nπx sin (6), trong ñó n là số chẵn. 2a a Như vậy trong cả hai loại nghiệm chẵn và lẻ, ta có kn = nπ (7) với n ∈ ℕ . Thay (7) vào (4) ta nhận 2a ℏ 2 kn2 π2 ℏ 2 2 = n (n = 1, 2,...) . Từ ñây ta thấy rằng, 2m 8ma 2 năng lượng của hạt chuyển ñộng trong hố thế nhận các giá trị gián ñoạn , các giá trị chẵn của n ứng với các nghiệm lẻ (6) , còn các giá trị lẻ của n ứng với các nghiệm chẵn (5). c. Dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính. Dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính là một hạt thực hiên các dao ñộng bé xung quanh vị trí cân ñược biểu thức của năng lượng của hạt : En = bằng với thế năng có dạng : V ( x) = mω2 x 2 , trong ñó ω là tần số của dao ñộng tử . Phương trình 2 Schrodinger của dao ñộng tử có dạng : d 2 ψ 2m  mω 2 x 2  mω  ψ = 0 (1). ðặt ξ = + − E x và 2 2  dx ℏ  2  ℏ E d 2ψ ε= (2) ta ñưa (1) về dạng : + (2ε − ξ 2 )ψ = 0 (3). Ta tìm nghiệm của (3) dưới dạng 2 ℏω dξ ψ(ξ) = e−ξ 2 y (ξ) (4), thay (4) vào (3), ta nhận ñược phương trình cho y (ξ) dưới dạng : y ''− 2ξy '+ (2ε − 1) y = 0 (5). Phương trình (5) là phương trình Hermite , nó có nghiệm riêng dạng ña thức bậc n , khi 2ε − 1 = 2n (6), nghiệm này ñược gọi là ña thức Hermite và ñược xác ñịnh bởi công n 2 n ξ2 d thức : H n (ξ) = (−1) e e−ξ . Từ (2) và (6), ta nhận ñược biểu thức cho phổ năng lượng của n dξ /2 ( )   1 dao ñộng tử dưới dạng : E = En =  n +  ℏω (với n = 0,1, 2,... ) còn hàm sóng của dao ñộng tử dưới 2   mω 2   mω  dạng : ψ( x) = ψ n ( x) = Cn exp − x H x , trong ñó Cn là hệ số chuẩn hoá. Từ tính chất  2ℏ  n  ℏ  trực giao của H n ( x) , ta tìm ñược Cn = 4 mω πℏ 1 2n n !
∂Ψ (r , t )
2. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian : iℏ = Hˆ Ψ ( r , t ) ∂t 3. Phương trình liên tục.

Xét sự thay ñổi theo thời gian của mật ñộ xác suất tìm thấy hạt ρ(r , t ) =| Ψ (r , t ) |2 = Ψ *Ψ . ∂ρ ∂ * ∂Ψ * ∂Ψ ∂Ψ Ta có : = (Ψ Ψ ) = Ψ + Ψ* (1). Mặt khác từ phương trình iℏ = Hˆ Ψ , ta suy ra : ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t * ∂Ψ i ∂Ψ i = Hˆ *Ψ * (3). Thay (2),(3) vào = − Hˆ Ψ (2). Lấy liên hợp phức hai vế của (2), ta ñược ∂t ℏ ∂t ℏ 2 ∂ρ i  ˆ * * ℏ
(1) ta nhận ñược : =  ΨH Ψ − Ψ * Hˆ Ψ  (4). Vì Hˆ = − ∆ + V (r ) nên :  2m ∂t ℏ  2 ℏ  ℏ2  * * * ˆ * * ˆ  ΨH Ψ − Ψ H Ψ = − Ψ∆Ψ − Ψ ∆Ψ  = − ∇  Ψ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ  (5)   2m 2m

∂ρ iℏ Thay (5) vào (4), ta nhận ñược phương trình : + ∇j = 0 (6), trong ñó j = Ψ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ ) ( ∂t 2m 5 
Phương trình (6) ñược gọi là phương trình liên tục, trong ñó ρ là mật ñộ xác suất còn j là vector mật ñộ dòng xác suất. Phương trình liên tục (6) biểu thị ñịnh luật bảo toàn xác suất hay ñịnh luật bảo toàn số hạt. 4. Trạng thái dừng. a. ðịnh nghĩa :Trạng thái dừng là trạng thái có năng lượng không phụ thuộc thời gian. b. Hàm sóng : ðể xác ñịnh dạng tổng quát của hàm sóng mô tả toán tử dừng ta khảo sát phương
∂Ψ (r , t )
trình Schrodinger phụ thuộc thời gian : iℏ = Hˆ Ψ (r , t ) (1). Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng ∂t

Ψ (r , t ) = ψ(r ) f (t ) (2).Thay (2) vào (1) ta ñược
df (t )

iℏ df Hˆ ψ(r ) : iℏ ψ( r ) = Hˆ ψ( r ). f (t ) ⇔ =
= E . Từ ñó ta có hệ phương trình sau : dt f (t ) dt ψ( r )
ˆ
 H ψ( r ) = E ψ(r ) (3) . Phương trình (3) là phương trình trị riêng của toán tử năng lượng và E là  df iℏ = Ef (t ) (4)  dt năng lượng của hệ trong trạng thái dừng . Nghiệm của phương trình (4) có dạng f (t ) = e −i Et ℏ (5). Từ

−i Etℏ (2) và (5) ta tìm ñược hàm sóng mô tả trạng thái dừng với năng lượng E là : Ψ (r , t ) = ψ(r )e ,
trong ñó E và ψ (r ) là nghiệm của phương trình trị riêng của toán tử năng lượng. Trong trường hợp

phương trình (3) có một tập các nghiệm Hˆ ψ n (r ) = En ψ n (r ) (n = 1, 2,...) thì nghiệm tổng quát của

−i (1) có dạng : Ψ (r , t ) = ∑ cn ψ n (r )e En t ℏ . Các hệ số cn ñược xác ñịnh từ ñiều kiện ñầu : n



Ψ (r ,0) = ∑ cn ψ n (r ) ⇒ cn = ∫ ψ*n (r ) Ψ (r ,0)dV . n c. Các tính chất của trạng thái dừng :

+ Mật ñộ xác suất trong trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian : ρ n =| Ψ n (r , t ) |2 =| ψ n ( r ) |2 ∉ t + Mật ñộ dòng xác suất trong trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian :
iℏ 

 iℏ 

 *
*
*
*
jn = Ψ ( r , t ) ∇Ψ ( r , t ) − Ψ ( r , t ) ∇Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) ∇ψ ( r ) − ψ ( r ) ∇ψ ( r ) ∉ t n n n n n n n n     2m  2m  5. ðạo hàm theo thời gian của toán tử.Tích phân chuyển ñộng. ðịnh lý Ehrenfest. a. ðạo hàm theo thời gian của toán tử. ðể mô tả sự thay ñổi theo thời gian của ñại lượng vật lý người ta ñưa vào khái niệm ñạo hàm của toán tử theo thời gian, ký hiệu  dF , ñược ñịnh nghĩa như dt  dF là toán tử mà giá trị trung bình tương ứng với nó ở trạng thái bất kỳ bằng ñạo hàm theo dt   dF d dF d thời gian của giá trị trung bình F trong trạng thái ñó : = F hay Ψ * ΨdV = F (1). dt dt dt dt *  ˆ ∂Ψ d dF * * ∂F * ∂Ψ sau : ∫ + Dạng của dt : Ta có F = ∫ Ψ Fˆ ΨdV ⇒ dt F =∫ Ψ ∂t ΨdV + ∫ ∂t Fˆ ΨdV + ∫ Ψ Fˆ ∂t dV (2) 6 Do Ψ thoả mãn phương trình iℏ trình này ta ñược ∂Ψ ∂Ψ i = Hˆ Ψ ⇒ =− Hˆ Ψ (3). Lấy liên hợp phức hai vế phương ∂t ∂t ℏ ∂Ψ * i ˆ * * = H Ψ (4). Thay (3),(4) vào (2) ta nhận ñược : ∂t ℏ d ∂Fˆ i i ˆ ˆ ΨdV (5) ΨdV + ∫ ( Hˆ *Ψ * )( Fˆ Ψ )dV − ∫ Ψ * FH F = ∫ Ψ* dt ∂t ℏ ℏ * * * ˆ ˆ ΨdV (6). Từ (5) và (6) Do Ĥ là toán tử hermite nên ∫ ( Hˆ Ψ )( Fˆ Ψ )dV = ∫ ( Fˆ Ψ ) Hˆ Ψ *dV ∫ Ψ * HF ta nhận ñược :  ∂Fˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ   ∂Fˆ i  ˆ ˆ  d F = ∫ Ψ *  + ( HF − FH ) ΨdV = ∫ Ψ *  +  H , F  ΨdV (7) . So sánh   dt  ∂t ℏ  ∂t ℏ   (1) và (7) ta tìm ñược :  dF ∂Fˆ i ˆ ˆ = +  H , F  . ðây là phương trình chuyển ñộng của toán tử. dt ∂t ℏ  b. Tích phân chuyển ñộng. ðại lượng vật lý F ñược gọi là tích phân chuyển ñộng nếu toán tử F̂ có ñạo hàm theo thời  dF = 0 . Từ phương trình chuyển ñộng của toán tử ta suy ra rằng, nếu F là tích phân dt ∂Fˆ i ˆ ˆ chuyển ñộng thì : +  H , F  = 0 . Trường hợp ñặc biệt khi F̂ không phụ thuộc tường minh vào ∂t ℏ  ∂Fˆ thời gian , khi ñó = 0 và ta có :  Hˆ , Fˆ  = 0 . ðiều này có nghĩa là : Nếu một toán tử F̂ không phụ ∂t thuộc tường minh vào thời gian và giao hoán với toán tử Hamilton Ĥ thì ñại lượng vật lý F tương gian bằng 0 : ứng là một tích phân chuyển ñộng. c. ðịnh lý Ehrenfest. Phát biểu : Giá trị trung bình của các biến số cơ học lượng tử thoả mãn cùng phương trình như các biến số cổ ñiển tương ứng. Chứng minh . Vì giá trị trung bình của các ñại lượng vật lý trong cơ học lượng tử ñược xác ñịnh nhờ biểu thức F = ∫ Ψ * Fˆ ΨdV nên ta chỉ cần chứng minh các hệ thức cho toán tử .

 dr i

∂r
+ Xét ñạo hàm của r theo t , ta có : =  Hˆ , r  (1) ( = 0 vì r không phụ thuộc tường minh vào   ∂t dt ℏ
ˆ 2 p
1 
ˆ 2


1 
ˆ

ˆ
ˆ 
ˆ
 iℏ
ˆ
p , r + V ( r ), r = p , r p + p p , r = − p (2). Thay + V (r ) nên  Hˆ , r  = t ). Do Hˆ = [ ]   2m      2m 2m  m

 dr pˆ (2) vào (1) ta nhận ñược : (3). = dt m { }

 dp i  ˆ
ˆ  ∂pˆ

+ Xét ñạo hàm của p̂ theo t , ta có : =  H , p  (4) ( = 0 vì p̂ không phụ thuộc tường minh vào dt ℏ ∂t
ˆ 2 p

1 
ˆ 2
ˆ  

ˆ  

ˆ  ∂V t ).Do Hˆ = + V (r ) nên  Hˆ , pˆ  = p , p + V ( r ), p = V ( r ), p = − i ℏ
(5). Thay (5) vào (4) ta      2m 2m  ∂r


ˆ dp ∂V dr p nhận ñược : và = −
(6). Các phương trình (3) và (6) tương tự như các phương trình = dt ∂r dt m
dp ∂V = −
(ñịnh luật 2 Newton) của cơ học cổ ñiển. dt ∂r 7 §3. Chuyển ñộng trong trường xuyên tâm. 1. Toán tử moment xung lượng .



a. Biểu thức : Lˆ = r × pˆ = −iℏ(r × ∇) = Lˆx , Lˆ y , Lˆz . Trong toạ ñộ Descartes : ( )  ∂  ∂ ∂  ∂  ∂   ∂ Lˆx = ypˆ z − zpˆ y = −iℏ  y − z  , Lˆ y = zpˆ x − xpˆ z = −iℏ  z − x  , Lˆz = xpˆ y − ypˆ x = −iℏ  x − y  ∂y  ∂z  ∂x   ∂x  ∂z  ∂y 2 2 2 2 + Toán tử bình phương moment xung lượng : Lˆ = Lˆ + Lˆ + Lˆ x y z  Lˆx , Lˆ y  = iℏLˆz ,  Lˆ y , Lˆz  = iℏLˆx ,  Lˆz , Lˆx  = iℏLˆ y       2 2 2  Lˆ , Lˆx  =  Lˆ , Lˆ y  =  Lˆ , Lˆz  = 0       2 ˆ ˆ Trong cơ học lượng tử người ta sử dụng Lz , L ñể mô tả moment xung lượng. Trong toạ ñộ + Các hệ thức giao hoán : cầu (r , θ, ϕ) biểu thức của các toán tử moment xung lượng có dạng   ∂ ∂  ˆ ∂ ∂  ∂ Lˆx = iℏ sin ϕ + cotgθ cos ϕ  , Ly = iℏ − cos ϕ + cotgθ sin ϕ  , Lˆz = −iℏ ∂θ ∂ϕ  ∂θ ∂ϕ  ∂ϕ    1 ∂  ∂  1 ∂ 2  2 2 ˆ  L = −ℏ  sin θ  + 2   sin θ ∂θ  ∂  sin θ ∂ϕ 2  b. Hàm riêng và trị riêng của toán tử moment xung lượng. * Hàm riêng , trị riêng của Lˆz : Phương trình trị riêng của Lˆz có dạng Lˆz ψ = Lz ψ , sử dụng biểu ∂ψ thức của Lˆz trong toạ ñộ cầu, ta có phương trình : −iℏ = Lz ψ . Nghiệm của phương trình này có ∂ϕ dạng : ψ Lz (ϕ) = Ce i Lz ϕ ℏ (1). ðể ñảm bảo ñiều kiện ñơn trị của hàm sóng, ta phải có : i 2 πLz ℏ Lz 2π = 2mπ với m là một số nguyên. Từ ñó suy ra ℏ rằng : Lz = mℏ (2) (m ∈ ℤ) Thay (2) vào (1) ta nhận ñược ψ m (ψ ) = Ceimϕ (3). Từ ñiều kiện chuẩn hoá, ψ Lz (ϕ) = ψ Lz (ϕ + 2π) , từ ñó suy ra : e 2π ta có : ∫ |ψ =1⇔ 2π (ϕ ) | d ϕ = 1 ⇔ C 2 m 0 2 ∫ |e 0 imϕ 2 | d ϕ = 1 ⇒ C 2 2π = 1 ⇒ C = 1 . Thay vào (3) ta nhận 2π 1 imϕ e . Kết quả, ta tìm ñược trị riêng của Lˆz là Lz = mℏ và các hàm riêng tương 2π 1 imϕ ứng là : ψ m (ϕ) = e ( m ∈ ℤ) . 2π * Hàm riêng , trị riêng của L̂2 : phương trình trị riêng của L̂2 có dạng L̂2 ψ = L2 ψ , sử dụng biểu  1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2 ψ  thức của L̂2 trong toạ ñộ cầu, ta có phương trình : −ℏ 2  sin θ + = L2 ψ hay :   2 2    sin θ ∂θ  ∂  sin θ ∂ϕ  2 2 1 ∂  ∂ψ  1 ∂ψ L + ψ = 0 (1) . Phương trình (1) có nghiệm hữu hạn ñơn trị với các  + 2 sin θ  sin θ ∂θ ∂  sin θ ∂ϕ 2 ℏ 2 L2 giá trị 0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ ϕ ≤ 2π khi 2 = l (l + 1) (2) với l là một số nguyên không âm. Khi ñó nghiệm ℏ ñược : ψ m (ϕ ) = 8 1 imϕ m e Pl (cos θ) (3) với Pl m (cos θ ) là ña thức Legendre liên kết. Từ 2π (2) và (3) ta nhận ñược trị riêng của L̂2 là L2 = ℏ 2l (l + 1) và các hàm riêng tương ứng là Ylm (θ, ϕ ) (l = 0,1, 2,...) . Khi l ñã cho m chỉ có thể nhận 2l + 1 giá trị khả dĩ bằng 0, ±1, ±2,..., ±l . Biểu thức của một số hàm cầu ñầu tiên : 1 3 3 Y00 (θ, ϕ ) = ; Y10 (θ, ϕ ) = cos θ , Y1,±1 (θ, ϕ ) = ∓ sin θe±iϕ 4π 8π 4π của (1) là hàm cầu Ylm (θ, ϕ ) = 5 15 15 (3cos 2 θ − 1) ; Y2,±2 (θ, ϕ ) = ∓ cos θ sin θe±iϕ , Y2,±2 (θ, ϕ ) = ∓ sin 2 θe±2 iϕ 16π 8π 32π * ðiều kiện trực chuẩn của các hàm cầu : Y20 (θ, ϕ ) = 2π π * ∫ d ϕ ∫ sin θd θ Y l ',m ' (θ, ϕ)Y l ,m (θ, ϕ) = δll 'δ mm' 0 0 3. Chuyển ñộng của hạt trong trường xuyên tâm. a. Trường xuyên tâm tổng quát : Trường xuyên tâm là trường mà thế năng của hạt chuyển ñộng trong trường chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt ñến ñiểm cố ñịnh gọi là tâm của trường. Chọn
gốc toạ ñộ tại tâm của trường, ta có biểu thức của thế năng : V ( r ) = V ( r ) . Khi ñó toán tử Hamilton có ℏ2 dạng Hˆ = − ∆ + V (r ) (1). Sử dụng biểu thức của toán tử Laplace trong toạ ñộ cầu ta ñưa (1) về 2m  ℏ 2  1 1 ∂  2 ∂  1 ∂  ∂  1 ∂2 dạng : Hˆ = − ∆ + ∆ + V r (2), với ∆ = r ( ) , ∆ = θ + sin  θϕ   r   θϕ  r  r2 r 2 ∂  ∂r  2m  sin θ ∂θ  ∂  sin 2 θ ∂ϕ2 Sử dụng biểu thức của toán tử bình phương moment xung lượng trong toạ ñộ cầu, ta có thể viết Lˆ2 ℏ2 Lˆ2 Lˆ2 = −ℏ 2∆θϕ ⇔ ∆θϕ = − 2 . Thay vào(2), ta nhận ñược : Hˆ = − ∆r + + V (r ) (3) . Từ (3) ℏ 2m 2mr 2 ta thấy rằng các số hạng thứ 1 và thứ 3 chỉ chứa r nên giao hoán với Lˆ2 , Lˆz ( vì các toán tử này chỉ phụ thuộc vào các góc θ, ϕ ), số hạng thứ 2 chứa L̂2 nên phải giao hoán với L̂2 và Lˆz . Do ñó ba toán tử Hˆ , Lˆ2 và Lˆz giao hoán với nhau ⇒ chúng phải có chung hàm riêng. Như vậy các trạng thái dừng của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm phải ñược mô tả bằng hàm sóng là hàm riêng chung của 3 toán tử Hˆ , Lˆ2 và Lˆz . Mặt khác, ta biết hàm riêng chung của các toán tử L̂2 và Lˆz là hàm cầu Ylm (θ, ϕ ) . Do ñó dạng tổng quát của hàm sóng mô tả các trạng thái dừng của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm là : ψ(r , θ, ϕ ) = R (r )Ylm (θ, ϕ ) (4). Phương trình Schrodinger của hạt có dạng : Ĥ ψ = E ψ (5) Thay các biểu thức (3),(4) vào (5) và ñể ý rằng Lˆ2Y (θ, ϕ) = ℏ 2l (l + 1)Y (θ, ϕ ) ta nhận lm lm  1 d  dR  2m  ℏ 2l (l + 1)  ñược phương trình cho hàm R(r ) dưới dạng : 2 r 2 + E − − V ( r ) R(r ) = 0 .   r dr  dr  ℏ 2  2mr 2  Từ ñây ta thấy rằng năng lượng phụ thuộc l và hàm R(r ) phụ thuộc và E và l . Như vậy trong trường hợp tổng quát các giá trị năng lượng của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm sẽ phụ thuộc số lượng tử l còn hàm sóng sẽ phụ thuộc hai số lượng tử l , m ⇒ các mức năng lượng sẽ bị suy biến theo m . Do ứng với mỗi giá trị của l có 2l + 1 giá trị khả dĩ của l nên các mức năng lượng sẽ suy biến bội 2l + 1 . 9 b. Trường Coulomb. Nguyên tử hidro. Xét chuyển ñộng của electron trong trường Coulomb của hạt nhân với thế năng V (r ) = − e2 . r2 Khi ñó hàm sóng của hạt có dạng ψ(r , θ, ϕ ) = ψ nlm (r , θ, ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ, ϕ ) , trong ñó Rnl (r ) là 1 d  dR  2 m  ℏ 2 l (l + 1) e 2  nghiệm của phương trình 2 r 2 nl  + 2  E − − R nl (r ) = 0 . Phương trình này r dr  dr  ℏ  2mr 2 r  q − me 4 có nghiệm, hữu hạn ñơn trị khi E = − 2 2 (n ∈ ℕ) . Lúc ñó Rnl (r ) = Rnl (q ) = q l e 2 L2nl++11 (q ) với 2ℏ n 8m | E n | và L2nl++11 ( x) là ña thức Laguerre liên kết. Khi n ñã cho l chỉ có thể nhận n giá trị khả q=r ℏ2 dĩ bằng 0,1,..., n − 1 . Kết luận : me 4 (n ∈ ℕ ) 2ℏ 2 n 2 - Hàm sóng của electron trong nguyên tử hidro : ψ nlm (r , θ, ϕ) = Rnl (r )Ylm (θ, ϕ) . - Các mức năng lượng của electron trong nguyên tử hidro : E n = − Như vậy trạng thái của electron trong nguyên tử hidro ñược xác ñịnh bởi 3 số lượng tử n, l , m : - n ñược gọi là số lượng tử chính, nó nhận các giá trị nguyên dương n = 1, 2,... và xác ñịnh các giá trị năng lượng của electron : En ∼ 1 . n2 - l ñược gọi là số lượng tử quỹ ñạo, nó nhận các giá trị nguyên không âm, ứng với 1 giá trị của n thì l chỉ có thể nhận n giá trị khả dĩ bằng 0,1,..., n − 1 ; số lượng tử quỹ ñạo xác ñịnh ñộ lớn của moment xung lượng : L = ℏ l (l + 1) . - m ñược gọi là số lượng tử từ, nó có thể nhận các giá trị nguyên và ứng với một giá trị ñã cho của l thì nó có thể nhận 2l + 1 giá trị khả dĩ bằng 0, ±1, ±2,..., ±l ; số lượng tử từ xác ñịnh ñộ lớn của hình chiếu moment xung lượng lên trục z : Lz = mℏ . Theo trên ta thấy, hàm sóng của electron phụ thuộc 3 số lượng tử n, l , m trong khi năng lượng chỉ phụ thuộc n , nên các mức En sẽ suy biến theo các số lượng tử l , m . Vì khi n ñã cho l có thể nhận n giá trị khả dĩ bằng 0,1,..., n − 1 và với một trị l , ta có 2l + 1 giá trị khả dĩ của m nên bội suy biến của n −1 mức En bằng : ∑ (2l + 1) = n 2 . l =0 §4. Spin và hệ hạt ñồng nhất. 1. Toán tử spin của electron . Hàm spin. Ma trận Pauli. a. Toán tử spin. Ma trận Pauli : ðối với các hạt vi mô, ngoài các ñại lượng ñặc trưng ñã biết như toạ ñộ, xung lượng, moment xung lượng, năng lượng ...còn có một ñại lượng thuần tuý lượng tử là spin của hạt, ñại lượng này có các tính chất giống như moment xung lượng của hạt. Toán tử tương
ứng với spin ký hiệu Sˆ = ( Sˆx , Sˆ y , Sˆz ) , ñược xác ñịnh bởi các hệ thức sau :  Sˆx , Sˆ y  = iℏSˆz ,  Sˆ y , Sˆz  = iℏSˆx ,  Sˆz , Sˆx  = iℏSˆ y      
ˆ 2 2 2 Ngoài ra ta cũng ñưa vào toán tử bình phương spin S = Sˆx + Sˆ y + Sˆz2 , thoả mãn các hệ thức giao hoán


sau :  Sˆx , Sˆ 2  =  Sˆ y , Sˆ 2  =  Sˆz , Sˆ 2  = 0 . Tương tự như moment xung lượng, ñể mô tả spin người ta      
ˆ 2
dùng 2 toán tử S , Sˆz với các phương trình trị riêng : Sˆ 2χ s ,ms = ℏ 2 s( s + 1)χ s ,ms và Sˆz χ s ,ms = ms ℏχ s ,ms , 10 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Tìm kiếm

Chủ đề

Mẫu sơ yếu lý lịch Đồ án tốt nghiệp Atlat Địa lí Việt Nam Bài tiểu luận mẫu Giải phẫu sinh lý Tài chính hành vi Trắc nghiệm Sinh 12 Đề thi mẫu TOEIC Hóa học 11 Lý thuyết Dow Thực hành Excel Đơn xin việc adblock ​ Bạn đang sử dụng trình chặn quảng cáo?

Nếu không có thu nhập từ quảng cáo, chúng tôi không thể tiếp tục tài trợ cho việc tạo nội dung cho bạn.

Tôi hiểu và đã tắt chặn quảng cáo cho trang web này