Đa Thức Nội Suy Newton - Vườn Toán

Trang chủ » Hàm Nội Suy Newton » Đa Thức Nội Suy Newton - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Đa thức nội suy Newton

Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức nội suy cho đa thức. Giả sử chúng ta có đa thức sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$ Cho $x$ một vài giá trị, chúng ta tính được giá trị của $P(x)$ như sau $$P(1) = 2 - 3 + 3 = 2,$$ $$P(2) = 8 - 6 + 3 = 5,$$ $$P(3) = 18 - 9 + 3 = 12, \dots$$ Câu hỏi đặt ra là, nếu ngược lại, chúng ta biết được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12,$$ liệu chúng ta có thể tìm lại được đa thức $P(x)$ hay không? Câu trả lời là được. Công thức đa thức nội suy giúp cho chúng ta tìm lại được đa thức $P(x)$. Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức nội suy Newton, kỳ sau chúng ta sẽ học về công thức nội suy Lagrange. Trước khi đi vào chi tiết về công thức nội suy, chúng ta có nhận xét như sau. Nhận xét 1. Nếu chúng ta không hạn chế về bậc của đa thức $P(x)$ thì sẽ tồn tại vô số các đa thức $P(x)$ thõa mãn điều kiện $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$ Vì sao vậy? Đó là vì nếu chúng ta tìm ra được một đa thức $P(x)$ thoã mãn điều kiện này thì chúng ta có thể tạo ra vô số các đa thức $G(x)$ khác cũng thõa mãn điều kiện trên bằng cách cho $$G(x) = P(x) + (x-1)(x-2)(x-3)H(x),$$ và chúng ta có $$G(1) = P(1), ~~G(2) = P(2), ~~G(3) = P(3).$$ Nhận xét 2. Nếu chúng ta hạn chế về bậc của đa thức và yêu cầu rằng đa thức $P(x)$ phải có bậc bé thua hoặc bằng $2$ thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $2$ thõa mãn điều kiện $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$ Lý do là vì nếu $G(x)$ là một đa thức khác có bậc bé thua hoặc bằng $2$ thõa mãn điều kiện $$G(1) = 2, ~~G(2) = 5, ~~G(3) = 12,$$ thì chúng ta lấy $$D(x) = G(x) - P(x),$$ $D(x)$ là một đa thức có bậc bé thua hoặc bằng $2$ thõa mãn $$D(1) = D(2) = D(3) = 0,$$ điều này chứng tỏ $D(x)$ có đến $3$ nghiệm, trong khi bậc của nó thì bé thua hoặc hằng $2$, vậy $D(x)$ phải là đa thức hằng số $0$. Do đó $G(x) = P(x)$, điều này chứng minh là chỉ tồn tại duy nhất một đa thức $P(x)$. Chúng ta phát biểu định lý tổng quát như sau.
Định lý. Nếu $x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1}$ là $n+1$ số thực khác nhau. Và $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$, $y_{n+1}$ là $n+1$ số thực bất kỳ. Thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $n$ thõa mãn điều kiện $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1}.$$
Định lý trên nói rằng một đa thức có bậc bé thua hoặc bằng $n$ sẽ được xác định một cách duy nhất bằng $n+1$ giá trị của nó. Bây giờ chúng ta bắt đầu tìm hiểu về công thức nội suy Newton. Chúng ta sẽ tìm cách xác dịnh đa thức $P(x)$ thõa mãn điều kiện $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$ Ở một bài viết trước, tôi có chia xẻ một kinh nghiệm của mình khi làm toán, đó là khi đối diện với một bài toán mà chúng ta không biết phải làm như thế nào, thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là xem xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. Ở đây chúng ta sẽ giải quyết bài toán từng bước, từ đơn giản đến phức tạp. Đầu tiên, nếu chúng ta chỉ có một điều kiện là $P(1) = 2$ thì chúng ta có xác định được đa thức $P(x)$ hay không? Hiển nhiên, đa thức đơn giản nhất thõa mãn điều kiện là đa thức hằng số $A(x) = 2$. Tiếp đến, nếu chúng ta muốn tìm đa thức $B(x)$ để cho $B(1) = 2$ và $B(2) = 5$, thì chúng ta có thể xem xét đa thức có dạng $$B(x) = A(x) + \alpha (x-1) = 2 + \alpha (x-1)$$ Dạng ở trên rất là thuận lợi bởi vì chúng ta có ngay được là $B(1) = A(1) = 2$. Còn $B(2) = 2 + \alpha$, vậy để $B(2) = 5$ chúng ta sẽ chọn $\alpha = 3$, và cuối cùng chúng ta có $$B(x) = 2 + 3(x-1)$$ Bây giờ, tương tự như trên, muốn tìm đa thức $P(x)$ để cho $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, chúng ta xem xét đa thức có dạng $$P(x) = B(x) + \alpha (x-1)(x-2) = 2 + 3(x-1) + \alpha (x-1)(x-2)$$ Bởi vì $P(x) = B(x) + \alpha (x-1)(x-2)$, chúng ta có ngay được rằng $$P(1) = B(1) = 2, ~~P(2) = B(2) = 5. $$ Còn $P(3) = 8 + 2 \alpha$. Để $P(3)= 12$ thì $\alpha = 2$, và chúng ta có $$P(x) = 2 + 3(x-1) + 2 (x-1)(x-2)$$ Tóm lại chúng ta đã tìm ra đa thức thõa mãn điều kiện $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$ Đó là $$P(x) = 2 + 3(x-1) + 2 (x-1)(x-2)$$ Khai triển ra, chúng ta có được chính đa thức ban đầu ở trên, đó là $$P(x) = 2 + 3(x-1) + 2 (x-1)(x-2) = 2x^2 - 3x + 3$$ Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng quát. Nếu $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số thực khác nhau, và $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$, $y_{n+1}$ là $n+1$ số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $n$ thõa mãn điều kiện $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1}.$$ Theo như trường hợp đặc biệt mà chúng ta đã giải ở trên, thì đa thức $P(x)$ sẽ có dạng $$P(x) = \alpha_1 + \alpha_2 (x-x_1) + \alpha_3 (x-x_1)(x-x_2) + \dots + \alpha_{n+1} (x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)$$ Công thức này gọi là công thức nội suy Newton. Nếu chúng ta thay $x=x_1$ vào công thức nội suy Newton, thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số $\alpha_1$. Tiếp đó, nếu chúng ta thay $x=x_2$ vào công thức nội suy thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số $\alpha_2$. Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng $\alpha_{n+1}$ sẽ được xác định nếu chúng ta thay $x=x_{n+1}$. Chúng ta xem xét một vài ví dụ. Ví dụ 1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 1, ~~P(3) = 2, ~~P(4) = 3, ~~P(5) = 5$$ Chúng ta dùng công thức nội suy Newton $$P(x) = \alpha_1 + \alpha_2 (x-1) + \alpha_3 (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=1$ vào công thức trên, chúng ta có $P(1) = \alpha_1 = 1$, vậy $$P(x) = 1 + \alpha_2 (x-1) + \alpha_3 (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=2$, chúng ta có $P(2) = 1 + \alpha_2 = 1$, do đó $\alpha_2 = 0$, vậy $$P(x) = 1 + \alpha_3 (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=3$, chúng ta có $P(3) = 1 + 2 \alpha_3 = 2$, do đó $\alpha_3 = \frac{1}{2}$, vậy $$P(x) = 1 + \frac{1}{2} (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=4$, chúng ta có $P(4) = 4 + 6 \alpha_4 = 3$, do đó $\alpha_4 = -\frac{1}{6}$, vậy $$P(x) = 1 + \frac{1}{2} (x-1)(x-2) -\frac{1}{6} (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=5$, chúng ta có $P(5) = 3 + 24 \alpha_5 = 5$, do đó $\alpha_5 = \frac{1}{12}$. Do đó đa thức cần tìm là $$P(x) = 1 + \frac{1}{2} (x-1)(x-2) - \frac{1}{6} (x-1)(x-2)(x-3) + \frac{1}{12} (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).$$ Ví dụ 2. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 9, ~~P(4) = 16, ~~P(5) = 25$$ Chúng ta dùng công thức nội suy Newton $$P(x) = \alpha_1 + \alpha_2 (x-1) + \alpha_3 (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=1$ vào công thức trên, chúng ta có $P(1) = \alpha_1 = 1$, vậy $$P(x) = 1 + \alpha_2 (x-1) + \alpha_3 (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=2$, chúng ta có $P(2) = 1 + \alpha_2 = 4$, do đó $\alpha_2 = 3$, vậy $$P(x) = 1 + 3 (x-1) + \alpha_3 (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=3$, chúng ta có $P(3) = 7 + 2 \alpha_3 = 9$, do đó $\alpha_3 = 1$, vậy $$P(x) = 1 + 3 (x-1) + (x-1)(x-2) + \alpha_4 (x-1)(x-2)(x-3) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=4$, chúng ta có $P(4) = 16 + 6 \alpha_4 = 16$, do đó $\alpha_4 = 0$, vậy $$P(x) = 1 + 3 (x-1) + (x-1)(x-2) + \alpha_5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$ Thay $x=5$, chúng ta có $P(5) = 25 + 24 \alpha_5 = 25$, do đó $\alpha_5 = 0$. Do đó đa thức cần tìm là $$P(x) = 1 + 3(x-1) + (x-1)(x-2) = x^2$$ Từ hai ví dụ trên chúng ta thấy rằng đa thức $P(x)$ xác định bởi điều kiện $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1},$$ có thể có bậc bằng $n$ (như ở ví dụ 1), nhưng cũng có thể có bậc bé thua $n$ (như ở ví dụ 2). Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau, chúng ta sẽ học về một công thức nội suy khác có tên là công thức nội suy Lagrange. Hẹn gặp lại các bạn. Bài tập về nhà. 1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 2, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 6, ~~P(4) = 8, ~~P(5) = 10$$ 2. Dãy số Fibonacci được xác định như sau: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+1}=F_n+F_{n−1}$. Do đó $$F_0=0, ~F_1=1, ~F_2=1, ~F_3=2, ~F_4=3, ~F_5=5, ~F_6=8, \dots$$ Cho đa thức $P(x)$ thoã mãn điều kiện sau $$P(0) = 2011^{F_{2012}}, ~~P(1) = 2011^{F_{2011}}, ~~P(2) = 2011^{F_{2010}}, \dots $$ $$P(2010) = 2011^{F_{2}}, ~~P(2011) = 2011^{F_{1}}. $$ Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ phải có bậc lớn hơn hoặc bằng $2011$. Labels: algebra, đa thức, đại số, interpolation, Lagrange, Newton, nội suy, polynomial Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 10 (3)
      • Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy
      • Đa thức nội suy Lagrange
      • Đa thức nội suy Newton

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Hàm Nội Suy Newton