Đại Lượng Vô Cùng Lớn, Vô Cùng Bé Và áp Dụng - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (80 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Thạc sĩ - Cao học
>>
3. Sư phạm

Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (831.66 KB, 80 trang )

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————————–NGUYỄN THỊ THU HÀĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉVÀ ÁP DỤNGLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————————–NGUYỄN THỊ THU HÀĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉVÀ ÁP DỤNGChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấpMã số: 60.46.01.13LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCNgười hướng dẫn khoa học:TS. Phan Đức TuấnĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CAM ĐOANTơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được aicơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.Tác giảNguyễn Thị Thu Hà LỜI CẢM ƠNLời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS. Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốtquá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được luận văn này.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầycơ giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập củakhóa học.Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp Phương pháp Toán sơ cấp K32-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập tại lớp.Tác giảNguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤCMỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1CHƯƠNG 1. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN.................................................................. 51.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.1.1. Hàm số. Hàm số đơn điệu. Hàm số bị chặn . . . . . . . . . . . 51.1.2. Các định nghĩa về giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5. Khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số . . . . . . . . . . . . 111.2. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3. Bậc của vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4. Vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.5. Các vô cùng bé tương đương bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3. Bậc của vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.4. Vô cùng lớn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.5. Các vô cùng lớn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG VÀO GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . 262.1. ÁP DỤNG VÀO TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.1. Khử dạng vô định 0/0 khi x → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2. Khử dạng vô định 0/0 khi x → x0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3. Khử dạng vô định ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.4. Khử dạng vô định ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.5. Khử dạng vô định 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.6. Khử các dạng vô định 1∞ ; 00 và ∞0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. MỘT SỐ SAI LẦM KHI ÁP DỤNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN TƯƠNGĐƯƠNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1. Sai lầm khi thay tương đương vào hiệu . . . . . . . . . . . . . . 392.2.2. Sai lầm khi thay tương đương trong hàm . . . . . . . . . . . . 42CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG VÀO TÍCH PHÂN SUY RỘNG 443.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.1. Tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443.1.2. Tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3. Các tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. ÁP DỤNG XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG. . . . . . . . . . . 583.2.1. Áp dụng cho tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.2. Áp dụng cho tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . 60KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) 1MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tàiMột phần rất quan trọng của Tốn học là giải tích, bởi: Giải tích lànền tảng của Tốn học, giải tích là con đường, là trung tâm của Toán học,là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác.Khi nói đến giải tích khơng thể khơng nhắc đến Giới hạn. Đề cập đến vaitrò của chủ đề Giới hạn, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (nâng cao)đã viết: “Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích. Có thểnói: Khơng có Giới hạn thì khơng có Giải tích, hầu hết các khái niệm củaGiải tích đều liên quan đến Giới hạn”. Chủ đề Giới hạn có vai trị hếtsức quan trọng trong tốn học phổ thơng cịn bởi lẽ: “Khái niệm Giới hạnlà cơ sở, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàmvà tích phân. Đây là nội dung bao trùm chương trình Giải tích trung họcphổ thơng”.Trong chương trình Tốn trung học phổ thông, phần giới hạn của hàm sốnằm ở học kỳ II của Toán lớp 11 và một vài dạng toán liên quan ở lớp 12.Các bài toán về giới hạn hàm số cũng được xem là một trong những dạngtoán khó ở bậc trung học phổ thơng.Ở bậc cao đẳng, đại học, giới hạn hàm số được đưa vào học phầnGiải tích 1. Ở đây, giới hạn được nghiên cứu sâu hơn cả lý thuyết và cũngnhư hệ thống các bài tập phong phú và đa dạng hơn. Sinh viên được dạynhiều phương pháp để tìm giới hạn hàm số, chẳng hạn: Phương pháp dùngcác giới hạn cơ bản, phương pháp L’Hospital, phương pháp thay thế cácvô cùng bé, vô cùng lớn tương đương, phương pháp sử dụng công thứckhai triển Taylor...Với mong muốn tìm ra một cơng cụ đơn giản nhưng hiệu quả trong 2việc giải các bài toán về giới hạn và cùng với sự định hướng của thầy giáoTS. Phan Đức Tuấn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Đại lượng vô cùng lớn,vô cùng bé và áp dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.2. Mục đích nghiên cứuTrên cơ sở hệ thống lại các kiến thức liên quan đến giới hạn hàm số vàmột số phương pháp tìm giới hạn hàm số, luận văn trình bày, tổng hợp, sắpxếp lại lý thuyết về các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn, cũng như cácphương pháp giải cho các bài tốn về tìm giới hạn hàm số và xét sự hội tụcủa tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tươngđương. Luận văn cũng tập trung vào nghiên cứu một số cách thức sángtạo ra các bài tốn về tìm giới hạn hàm số và xét sự hội tụ của tích phânsuy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương. Cũngnhư các sai lầm thường mắc phải khi sử dụng các đại lượng vô cùng bé,vô cùng lớn tương đương trong việc tìm giới hạn hàm số.3. Đối tượng nghiên cứu- Lý thuyết giới hạn hàm số.- Các vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.- Các phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xét sựhội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớntương đương.- Các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới về giới hạn hàm sốvà xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vơ cùng bé,vô cùng lớn tương đương.4. Phạm vi nghiên cứuNghiên cứu lý thuyết giới hạn hàm số, các vô cùng bé, vô cùng lớn tươngđương, các phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về giới hạn hàm số 3và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớntương đương.5. Phương pháp nghiên cứuVới đề tài: “Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp dụng” tôi đã sửdụng các phương pháp nghiên cứu sau:+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.+ Áp dụng phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xétsự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớn tươngđương.+ Sáng tạo ra các phương pháp giải dựa trên bài toán gốc.+ Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi cáckết quả đang nghiên cứu.6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn6.1. Luận văn góp phần bổ sung thêm các tính chất liên quan đến cácđại lượng vơ cùng bé, vô cùng lớn tương đương. Đưa ra được mối quan hệtương đương giữa các hàm sơ cấp.6.2. Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viênngành tốn, giáo viên phổ thơng giảng dạy toán và các đối tượng quan tâmđến các phương pháp giải bài toán giới hạn và xét sự hội tụ của tích phânsuy rộng.7. Cấu trúc luận vănNgồi Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luậnvà Kiến nghị, danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đượcchia thành ba chương:Chương 1. Các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn. Trong chương 1, 4luận văn trình bày gồm 3 mục. Mục 1.1, trình bày các định nghĩa, khái niệmvà tính chất cơ bản của giới hạn hàm số; Mục 1.2, trình bày về đại lượngvơ cùng bé; Mục 1.3, trình bày về đại lượng vơ cùng lớn.Chương 2. Áp dụng vào tính giới hạn hàm số. Trong chương 2, luận văntrình bày gồm 2 mục. Mục 2.1, trình bày áp dụng vào tính giới hạn hàm sốbằng đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn; Mục 2.2, trình bày một số sai lầmthường mắc phải khi áp dụng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.Chương 3. Áp dụng vào xét sự hội tụ của phân suy rộng. Trong chương 3,luận văn trình bày gồm 2 mục. Mục 3.1, trình bày một số kiến thứcliên quan của tích phân suy rộng; Mục 3.2, trình bày về việc xét sự hội tụcủa tích phân suy rộng loại I, loại II. 5CHƯƠNG 1ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚNChương này dành cho việc nhắc lại các khái niệm cơ bản về hàm số,giới hạn hàm số và một số tính chất cơ bản của giới hạn hàm số cũng nhưkhái niệm và tính chất của đại lượng vơ cùng bé, vô cùng lớn, quy tắcL’Hospital và khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số.Trong tồn bộ luận văn, chúng tơi quy ước viết tắt vô cùng lớn (VCL),vô cùng bé (VCB).1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUANMục này dành cho việc nhắc lại các khái niệm cơ bản về hàm số, giớihạn hàm số; các tính chất cơ bản của giới hạn hàm số; quy tắc L’Hospitalvà khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số.1.1.1. Hàm số. Hàm số đơn điệu. Hàm số bị chặnĐịnh nghĩa 1.1.1 ([5]). Cho D là một tập con không rỗng của R. Mộtánh xạ f từ D vào R gọi là một hàm số một biến số thực, kí hiệuf: D → Rx → f (x)hoặc đơn giản là y = f (x), x ∈ D. Khi đó,Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biến độc lập, D gọi làtập xác định của hàm số f . Đại lượng y gọi là hàm số và tập hợp E đượcđịnh nghĩa bởi E = {f (x), x ∈ D} được gọi là tập giá trị của hàm số f .Về sau nếu cho hàm số y = f (x) thì ta kí hiệu Df là tập xác định củaf và Ef là tập giá trị của f . 6Định nghĩa 1.1.2 ([5]). Hai hàm số y = f (x) và y = g(x) được gọi làbằng nhau nếu Df = Dg và đẳng thức f (x) = g(x) thỏa mãn với mọix ∈ Df .Định nghĩa 1.1.3 ([10]). Ký hiệu D là khoảng hoặc đoạn hoặc nửakhoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên D ta nóii) y = f (x) được gọi là hàm đồng biến (hay tăng thật sự) trên D nếu∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).ii) y = f (x) được gọi là tăng (theo nghĩa rộng) trên D nếu∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).Hàm nghịch biến (hay giảm thực sự) và hàm giảm (theo nghĩa rộng)trên D được định nghĩa tương tự.iii) y = f (x) được gọi là hàm đơn điệu nếu nó thuộc một trong bốn lớphàm đã được liệt kê ở trên.Định nghĩa 1.1.4 ([6]). Hàm y = f (x) với miền xác định Df được gọi là:i) Bị chặn trên (trên Df ) nếu f (Df ) là tập hợp bị chặn trên, tức là∃M : ∀x ∈ Df ⇒ f (x) ≤ M.ii) Bị chặn dưới (trên Df ) nếu tập hợp f (Df ) bị chặn dưới, tức là∃m : ∀x ∈ Df ⇒ f (x) ≥ m.iii) Bị chặn (trên Df ) nếu nó đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới.Nhận xét 1.1.5. Hàm y = f (x) không bị chặn nếu với số M > 0 bất kìtồn tại x ∈ Df sao cho |f (x)| > M . 71.1.2. Các định nghĩa về giới hạn hàm sốCho I là một khoảng của R, không rỗng và cũng không thu về mộtođiểm. Kí hiệu I chỉ khoảng đóng cùng có mút với I và I chỉ khoảng mở cócùng mút với I .Định nghĩa 1.1.6 ([5], Giới hạn hữu hạn). Cho f : I → R, l ∈ Ri) Cho a ∈ I , ta nói f có giới hạn là l tại a khi và chỉ khi∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| ≤ η ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.ii) Nếu I có mút là +∞, ta nói f có giới hạn là l tại +∞ khi và chỉ khi∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x ≥ A ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.iii) Nếu I có mút là −∞, ta nói f có giới hạn là l tại −∞ khi và chỉ khi∀ε > 0, ∃B ∈ R, ∀x ∈ I, x ≤ B ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.Khi f có giới hạn l tại a (l ∈ R), ta nói rằng f có giới hạn hữu hạntại a.Định nghĩa 1.1.7 ([5], Giới hạn vô cùng). Cho f : X → R.i) Cho a ∈ I , ta nói f có giới hạn là +∞ tại a nếu và chỉ nếu∀A ∈ R, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < η ⇒ f (x) ≥ A.ii) Nếu I có mút là +∞, ta nói f có giới hạn là +∞ tại +∞ nếu vàchỉ nếu∀A ∈ R, ∃A′ ∈ R, ∀x ∈ I, x ≥ A′ ⇒ f (x) ≥ A.iii) Nếu I có mút là −∞, ta nói f có giới hạn là +∞ tại −∞ nếu vàchỉ nếu∀A ∈ R, ∃B ′ ∈ R, ∀x ∈ I, x ≤ B ′ ⇒ f (x) ≥ A.Ta nói, f có giới hạn −∞ tại a a ∈ I ∪ {−∞, +∞} nếu và chỉ nếu −fcó giới hạn +∞ tại a. 8Định nghĩa 1.1.8 ([5], Giới hạn một bên). Cho hàm số f : I → R, a ∈ I ,l ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Ta nói f có giới hạn trái (tương ứng: phải) tại a là lnếu và chỉ nếu thu hẹp f |(−∞;a)∩I (tương ứng: f |(a;+∞)∩I ) có giới hạn tạia là l.Ví dụ 1.1.9. Nếu l ∈ R, f có giới hạn phải tại a là l nếu và chỉ nếu:∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ I, (0 < x − a ≤ η ⇒ |f (x) − l| ≤ ε).Khi f có giới hạn trái (tương ứng: phải) tại a là l, ta kí hiệul = lim− f (x) hay l = limf hay f (x) → l khi x → a− hay l = f (a− ).−x→aa(tương ứng: l = lim+ f (x) hay l = limf hay f (x) → l khi x → a+ hay+l = f (a+ )).x→aa1.1.3. Tính chất của giới hạnMệnh đề 1.1.10 ([5], Tính duy nhất của giới hạn). Nếu f nhận l và l′làm giới hạn tại a, thì l = l′ .Chứng minh. Ta giả thiết, chẳng hạn a ∈ I và (l, l′ ) ∈ R2 , vì cáctrường hợp khác cũng tương tự.Lập luận phản chứng: Giả sử f nhận l và l′ làm giới hạn tại a và l = l′ .1Đặt ε = |l′ − l| > 0. Tồn tại η1 > 0 và η2 > 0 sao cho3|x − a| ≤ η1 ⇒ |f (x) − l| ≤ ε∀x ∈ I,.|x − a| ≤ η2 ⇒ |f (x) − l′ | ≤ εĐặt η = M in(η1 , η2 ) > 0.Rõ ràng tồn tại x0 ∈ I sao cho |x0 − a| ≤ η.Do đó|l′ − l| = |l′ − f (x0 ) + f (x0 ) − l| ≤ |f (x0 ) − l′ | + |f (x0 ) − l| ≤ 2ε2 ′|l − l| , mâu thuẫn.3Điều này chứng tỏ tính duy nhất của giới hạn hàm số.= 9Mệnh đề 1.1.10 chứng tỏ rằng: Nếu f có giới hạn là l tại a, ta nói l làgiới hạn của f tại a và kí hiệul = lim f (x).x→aMệnh đề 1.1.11 ([5]). Nếu hàm số f : I → R có giới hạn hữu hạn tạia ∈ I thì f bị chặn trong một lân cận của a.Chứng minh. Ta giả thiết, chẳng hạn a ∈ I , vì các trường hợp a = +∞,a = −∞ cũng tương tự.Tồn tại η > 0 sao cho∀x ∈ I, |x − a| < η ⇒ |f (x) − l| ≤ 1⇒ |f (x)| ≤ |f (x) − l| + |l| ≤ 1 + |l|Vậy f bị chặn trong lân cận của a.Mệnh đề 1.1.12 ([5]). Cho a ∈ I ∪ {−∞; +∞}, f : I → R, l ∈ R,(c, d) ∈ R2 . Giả sử f có giới hạn là l tại a.i) Nếu c < l, thì trong lân cận của a : c < f (x).ii) Nếu l < d, thì trong lân cận của a : f (x) < d.iii) Nếu c < l < d, thì trong lân cận của a : c < f (x) < d.Chứng minh.i) Vì f (x) → l khi x → a và l − c > 0 nên tồn tại η1 > 0 sao cho với mọix thuộc I1|x − a| ≤ η1 ⇒ |f (x) − l| ≤ (l − c) < l − c2⇒ −f (x) + l < l − c ⇒ c < f (x).ii) Cũng vậy, tồn tại η2 > 0 sao cho∀x ∈ I, (|x − a| ≤ η2 ⇒ f (x) < d).iii) Đặt η = M in(η1 , η2 ) > 0∀x ∈ I, (|x − a| ≤ η ⇒ c < f (x) < d). 10Định lí 1.1.13 ([9]). Giả sử lim f (x) = L, lim g(x) = M (L, M ∈ R).x→ax→aKhi đói) lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ;x→aii) lim [f (x) · g(x)] = L · M ;x→aĐặc biệt, nếu C là hằng số thì lim [C · f (x)] = C · L;x→aLf (x)= .x→a g(x)Miii) Nếu M = 0 thì lim1.1.4. Quy tắc L’HospitalĐịnh lí 1.1.14 ([6]). Nếu các hàm số f (x) và g(x) xác định và liên tụctrong lân cận nào đó của điểm x0 , trong đó x0 là một số hay ∞ và khix → x0 cả f (x), g(x) đều tiến tới 0, còn các đạo hàm f ′ (x), g ′ (x) tồn tạif ′ (x)trong lân cận nói trên (có thể trừ điểm x0 ) và tồn tại giới hạn lim ′x→x0 g (x)hữu hạn hay vơ hạn thìf (x)f ′ (x)lim= lim ′ .x→x0 g(x)x→x0 g (x)Chứng minh. Ta chứng minh định lý trong trường hợp x → x+0 . Trườnghợp x → x−0 được lặp lại tương tự.Đặt f (x0 ) = g(x0 ) = 0. Với mọi x ∈ (x0 , b), các hàm số f (x) và g(x)liên tục trên [x0 ,x] và có các đạo hàm hữu hạn trên khoảng (x0 , x).Ngoài ra, g ′ (t) = 0 với mọi t ∈ (x0 , x) (với x đủ gần x0 ). Theo định lýCauchy, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (x0 , x) sao chof (x) f (x) − f (x0 ) f ′ (x)== ′ .g(x)g(x) − g(x0 )g (x)f ′ (x)→ l.Khi x → x0 và x > x0 thì c → x0 . Theo giả thiết, ta có ′g (x)Do đó,f (x)lim+= l.x→x0 g(x) 11Nhận xét 1.1.15 ([4]).1) Quy tắc L’Hospital vẫn đúng nếui) lim f (x) = 0, lim g(x) = 0;x→∞x→∞ii) lim f (x) = ∞, lim g(x) = ∞;x→x0x→x0iii) lim f (x) = ∞, lim g(x) = ∞.x→∞x→∞0∞f ′ (x)2) Nếu lim ′vẫn có dạng hay, các hàm số f ′ (x), g ′ (x) vẫnx→x0 g (x)0∞thỏa mãn các giả thiết của quy tắc L’Hospital, ta có thể áp dụngquy tắc đó một lần nữa.1.1.5. Khai triển Taylor, Maclaurin của hàm sốĐịnh nghĩa 1.1.16 ([12]). Hai hàm a(x) và b(x) cho trước xác định trongmột lân cận nào đó của điểm x0 thì khi x → x0 hàm b(x) biểu diễn đượcdưới dạngb(x) = a(x) + o(a(x)).Khi đó hàm a(x) được gọi là phần chính của hàm b(x).Định lí 1.1.17 ([12], Cơng thức Taylor). Giả sử hàm số f có đạo hàmđến cấp n liên tục trên đoạn I = [α; β] và có đạo hàm cấp n + 1 trênkhoảng (α; β). Nếu a, b ∈ I thì tồn tại một số thực c giữa a và b (c ∈ (a; b)nếu a < b, c ∈ (b; a) nếu a > b) sao chof ′′ (a)f ′ (a)(b − a) +(b − a)2 + ...+f (b) = f (a) +1!2!(n)f (n+1) (c)f (a)(b − a)n +(b − a)n+1 .n!(n + 1)!Công thức (1.1) gọi là công thức Taylor, biểu thứcf (n+1) (c)Rn =(b − a)n+1(n + 1)!được gọi là phần dư dạng Lagrăng.(1.1) 12Nếu a = 0 thì (1.1) được gọi là cơng thức Maclaurin.Hệ quả 1.1.18. Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp thường dùng:x2xnx1) e = 1 + x + + ... + + o(xn ), (x ∈ R).(1.2)2!n!x3 x5x2n−12) sin x = x− + −...+(−1)n−1+o(x2n ), (x ∈ R).(1.3)3! 5!(2n − 1)!3) cos x = 1 −x2 x4x2n+ − ... + (−1)n+ o(x2n+1 ), (x ∈ R).2! 4!(2n)!(1.4)4)1= 1 − x + x2 − .... + (−1)n xn + ..., (−1 < x < 1) .1+x(1.5)5)1= 1 + x + x2 + .... + xn + ..., (−1 < x < 1) .1−x(1.6)nx2 x3n−1 x6) ln(1+x) = x− + −...+(−1)+o(xn ), (−1 < x < 1). (1.7)23n2n+1x3 x5n x7) arctan x = x − + − ... + (−1)+ ..., (−1 ≤ x ≤ 1) . (1.8)352n + 11 x3 1 · 3 x51 · 3 · 5... (2n − 1) x2n−18) arcsin x = x + · +· + ... ++ ...,2 32·4 52 · 4 · 6...2n (2n + 1)(−1 < x < 1) . (1.9)9) (1 + x)n = 1 + nx +n · (n − 1)...(n − k + 1) kn · (n − 1) 2x + ... +x2!k!+ ..., (−1 < x < 1). (1.10)Nhận xét 1.1.19. Khai triển Taylor cho ta công thức đơn giản và cũngrất tổng quát để xác định phần chính của hàm số. Do đó, để đơn giản hóatrong việc tìm giới hạn nhờ cơng thức Taylor, ta thường tiến hành theocác bước sau:1) Khai triển Taylor của các hàm số cần tính giới hạn.2) Tìm phần chính (ở tử số và mẫu số của phân thức) với độ chính xáctương ứng cho trước. 133) Sử dụng tính chất của đa thức và định lí về giới hạn để suy ra kết quảcần tìm.1.2. ĐẠI LƯỢNG VƠ CÙNG BÉMục này dành cho việc trình bày một số kiến thức liên quan đến đạilượng vô cùng bé.1.2.1. Định nghĩaĐịnh nghĩa 1.2.1 ([10]). Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé nếulim α (x) = 0.x→x0Ký hiệu là: VCB(x → x0 ).1.2.2. Tính chấtMệnh đề 1.2.2. Nếu lim f (x) = A ∈ R thì (f (x) − A) là VCB(x → x0 ).x→x0Định lí 1.2.3 ([10]). Giả sử α(x), β(x) là hai VCB(x → x0 ) và f (x) làhàm bị chặn trong lân cận của x0 . Khi đó:i) α (x) ± β (x) là VCB(x → x0 ).ii) α (x) · β (x) là VCB(x → x0 ).iii) α (x) · f (x) là VCB(x → x0 ).Nhận xét 1.2.4. Nếu α(x) và β(x) là hai VCB(x → x0 ) thì chưa thểα (x)kết luận về thươnglà VCB(x → x0 ).β (x)1và 2x2 là hai VCB(x → 0). Ta cóx11x2 sinsinx = limx = 1 lim sin 1limx→0x→02x222 x→0xVí dụ 1.2.5. x2 sin 141Nhưng không tồn tại lim sin .x→0x12x sinx là VCB(x → 0).Nên không thể kết luận22xTừ Nhận xét 1.2.4 đặt ra cho ta câu hỏi: Liệu rằng có thể so sánh haiVCB(x → x0 ) với nhau được hay không? Cần căn cứ vào tiêu chí nào đểso sánh chúng?Để trả lời câu hỏi này, ta cần biết được bậc của các vô cùng bé.1.2.3. Bậc của vô cùng béĐịnh nghĩa 1.2.6 ([10]). Giả sử α(x), β(x) là các VCB(x → x0 ).α(x)= 0, ta nói rằng α(x) là VCB bậc cao hơn β(x).x→x0 β(x)i) Nếu limα(x)= c ∈ R\ {0}, ta nói rằng α(x) và β(x) là các VCBx→x0 β(x)cùng bậc.ii) Nếu limα(x)= ∞, ta nói rằng α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x).x→x0 β(x)iii) Nếu limα(x)không tồn tại, ta nói rằng α(x) và β(x) khơng so sánhx→x0 β(x)được với nhau.iv) Nếu limVí dụ 1.2.7. α (x) = sin x − tan x và β (x) = 1 − cos x đều là cácVCB(x → 0). Vì:α (x)sin x − tan x= lim= limx→0 β (x)x→0 1 − cos xx→0limsin x= 0.x→0 cos xDo đó, α(x) là vơ cùng bé bậc cao hơn β(x).= lim1cos x1 − cos xsin x 1 − 15Ví dụ 1.2.8. α (x) = 1 − cos x và β (x) = x2 đều là các VCB(x → 0).Ta cóα (x)1 − cos xsin x 1lim= lim=lim= .x→0 β (x)x→0x→0 2xx22Do đó, α(x) và β(x) là các vơ cùng bé cùng bậc.Nhận xét 1.2.9. Giả thiết các tỉ số sau đều có nghĩa, ta ln cóaa b=1⇒ =bccLiệu rằng điều này còn đúng trong giới hạn hàm số hay không?Tức là, giả sử α (x) , β (x) , γ (x) là các VCB(x → x0 ) và các giới hạn đềutồn lại thìα (x)β (x)α (x)= 1 ⇒ lim= lim?x→x0 γ (x)x→x0 γ (x)x→x0 β (x)limTa sẽ cùng nghiên cứu các vô cùng bé tương đương để trả lời cho câuhỏi trên.1.2.4. Vô cùng bé tương đươngĐịnh nghĩa 1.2.10 ([10]). Cho α(x), β(x) là hai VCB(x → x0 ). Khi đó,α(x) được gọi là tương đương với β(x) (ký hiệu là α(x) ∼ β(x)) nếuα(x)= 1.limx→x0 β(x)Mệnh đề 1.2.11 ([11], Các VCB tương đương cơ bản khi x → 0). Giả sửn ≥ p > 0, ap = 0, ta có các cặp VCB(x → 0) sau tương đương với nhau:x21) sin x ∼ x, tan x ∼ x, 1 − cos x ∼ .22) arcsin x ∼ x, arctan x ∼ x.3) ex − 1 ∼ x, ax − 1 ∼ x ln a4) ln(1 + x) ∼ x, loga (1 + x) ∼5) (1 + x)α − 1 ∼ αx.1x.ln a 166) an xn + an−1 xn−1 + ... + ap xp ∼ ap xp .Nhận xét 1.2.12.i) Mệnh đề 1.2.11 cho thấy các hàm sơ cấp thường gặp mà là VCB thìđều tương đương được với một hàm lũy thừa.ii) Theo Mệnh đề 1.2.11 thì sin x ∼ x khi x → 0. Do đó, việc thayx bằng đại lượng α(x) → 0 thì sin α(x) ∼ α(x). Do đó, các kếtquả của Mệnh đề 1.2.11 được tổng quát thành arcsin(α(x)) ∼ α(x),tan(α(x)) ∼ α(x), arctan(α(x)) ∼ α(x), ln(1 + α(x)) ∼ α(x),eα(x) − 1 ∼ α(x), aα(x) − 1 ∼ α(x) ln a, ... Nhờ đó mà rất nhiềuhàm hợp của các hàm sơ cấp có thể tương đương được với một hàmlũy thừa.Ví dụ 1.2.13. Khi x → 0, ta cóln(cos 4x) = ln(1 − 2 sin2 2x) ∼ −2sin2 2x ∼ −8x2 .Thật vậy, vìln (cos 4x)= 1.x→0−8x2limChú ý 1.2.14. VCB tương đương được phép thay thừa số tương đươngvào tích và thương nhưng khơng được thay vào tổng và hiệu.Định lí 1.2.15 ([10]). Giả sử α (x) , β (x) , γ (x) là các VCB(x → x0 ).Khi đói) α(x) ∼ α(x).ii) α(x) ∼ β(x) ⇒ β(x) ∼ α(x).iii) α(x) ∼ β(x), β(x) ∼ γ(x) ⇒ α(x) ∼ γ(x).iv) α (x) = o (β (x)) ⇒ β (x) ± α (x) ∼ β(x).Chứng minh. 17i) Hiển nhiên.ii) Hiển nhiên.iii) Ta cóα(x) β(x)β(x)α(x)α(x)= lim·· lim= limx→x0 β(x) γ(x)x→x0 γ(x)x→x0 β(x) x→x0 γ(x)Do đó, α(x) ∼ γ(x).lim= 1.iv) Ta cóβ (x) ± α (x)α (x)α (x)= 1 ± lim= lim 1 ±x→x0x→x0 β (x)x→x0β (x)β (x)lim= 1.Do đó, β (x) ± α (x) ∼ β(x).Mệnh đề 1.2.16 ([12]). Giả sử α1 (x) , α2 (x) , β1 (x) , β2 (x) là các VCBkhi x → x0 và α1 (x) ∼ α2 (x), β1 (x) ∼ β2 (x). Khi đóα1 (x) β1 (x) ∼ α2 (x) β2 (x) .Nhận xét 1.2.17. Khi các giả thiết của Mệnh đề 1.2.16 được thỏa mãn,nói chung α1 (x) ± β1 (x) ≁ α2 (x) ± β2 (x). Do đó, f (α1 (x)) ≁ f (α2 (x))với f là một hàm số nào đó.Ví dụ 1.2.18. Theo Mệnh đề 1.2.11, ta cósin x ∼ x, x cos x ∼ x cos x, sin x ∼ tan x.xTuy nhiên, sin x − x cos x ≁ x − x cos x và 1 −≁ 1−sin xThật vậy,x1−sin x − x cos x 21sin x= và limlim=− .x→0x→0 x − x cos xx321−tan xx.tan xHệ quả 1.2.19 ([10], Thay thế VCB tương đương). Nếu α(x), β(x) là cácVCB(x → x0 ), α(x) ∼ α1 (x) , β(x) ∼ β1 (x) thì 18i) lim [α(x) · β(x)] = lim [α1 (x) · β1 (x)] ,x→x0x→x0α(x)α1 (x)= lim,x→x0 β(x)x→x0 β1 (x)ii) limnếu các giới hạn trên tồn tại.Chứng minh. Thật vậy, vì α(x) ∼ α1 (x) , β(x) ∼ β1 (x) khi x → x0 .Ta cóβ(x)α(x)= 1; lim=1limx→x0 β1 (x)x→x0 α1 (x)Do đó,i) lim [α (x) · β (x)] = limx→x0x→x0β (x)α (x)· α1 (x) β1 (x) ·α1 (x)β1 (x)= lim α1 (x) β1 (x) .x→x0α(x)α(x) α1 (x) β1 (x)= lim··x→x0 β(x)x→x0 α1 (x) β1 (x)β(x)ii) limα1 (x)β1 (x)α1 (x)α(x)· lim· lim= lim.x→x0 β1 (x)x→x0 α1 (x) x→x0 β1 (x) x→x0 β(x)= limHệ quả 1.2.20 ([10], Quy tắc ngắt bỏ các VCB bậc cao). Nếu α(x), β(x)là các VCB(x → x0 ), β(x) là VCB bậc cao hơn α(x) thìα(x) ± β(x) ∼ α(x).Chứng minh. Thật vậy, ta cóβ(x)β(x)α(x) ± β(x)= lim 1 ±= 1.= 1 ± limlimx→x0x→x0 α(x)x→x0α(x)α(x)Nhận xét 1.2.21. Giả sử α(x) và β(x) là các VCB(x → x0 ). α(x) vàβ(x) đều là tổng của nhiều VCB không cùng bậc. Khi đó giới hạn của tỉ sốα(x)bằng giới hạn của tỉ số hai VCB bậc thấp nhất trong α(x) và β(x).β(x) 19Ví dụ 1.2.22.x + 3sin2 x + 4sin3 xx1=lim=.x→0x→0 7x7x + x3 + x87L = limMệnh đề 1.2.23. Giả sử α(x) và β(x) là các VCB(x → x0 ). Khi đó, nếuα(x) ∼ β(x) thì α(x) − β(x) = o(α(x)).Ví dụ 1.2.24. sin x ∼ x ⇒ x − sin x ∼x3(xem 1.3).61.2.5. Các vô cùng bé tương đương bậc caoTrên cơ sở các khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số (Hệ quả 1.1.18)và sử dụng quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao (Hệ quả 1.2.20), ta xây dựngđược các VCB tương đương bậc cao như sau:x3x5x3∼(xem 1.3).1) x − sin x ∼ ; x − sin x −661202) 1 − cos x −x2x4x2 x4x6∼ − ; 1 − cos x −+∼(xem 1.4).224224720x33x23) sin x − x cos x ∼ ; x sin x − cos x + 1 ∼(kết hợp 1.3 và 1.4).324) tan x = x +x3 2x5++ o(x5 ) (kết hợp 1.3 và 1.4).315x3x32x55) tan x − x ∼ ; tan x − x −∼.33156) tan x − sin x ∼x3.2x37) tan(sin x) − x ∼ .68) sin(tan x) − x ∼x3.6x33x5x3∼.9) arcsin x − x ∼ ; arcsin x − x −6640

Tài liệu liên quan

• Giải pháp quy hoạch mạng vô tuyến UMTS 3G và áp dụng triển khai cho mạng VinaPhone khu vực Tp Đà Nẵng
  • 112
  • 826
  • 25
• Quy hoạch mạng vô tuyến UMTS 3g và áp dụng triển khai cho mạng vinaphone khu vực thành phố đà nẵng luận văn tốt nghiệp đại học điện tử viễn thông
  • 103
  • 587
  • 0
• BÀI TẬP QUẢN TRỊ CHẤT LƯỢNG ĐỀ TÀI : “Tình hình thực hiện và áp dụng hệ thống quản trị chất lượng ISO 9000 tại Công ty Cổ phần Xi măng Sài Sơn” ppt
  • 51
  • 2
  • 6
• Các phương thức thanh toán hiện đại tại các ngân hàng cổ phần hóa và áp dụng tại các ngân hàng nhà nước - 1 pot
  • 28
  • 330
  • 0
• Các phương thức thanh toán hiện đại tại các ngân hàng cổ phần hóa và áp dụng tại các ngân hàng nhà nước - 2 doc
  • 28
  • 312
  • 0
• thực hành công tác thú y, theo dõi và áp dụng một số phác đồ điều trị bệnh viêm tử cung trên đàn lợn nái ngoại nuôi tại trại lợn giống hạt nhân tam điệp
  • 60
  • 849
  • 0
• Bài tập lớn nghiên cứu hệ thống truyền dẫn vô tuyến và áp dụng cho mạng thông tin hàng hải việt nam
  • 11
  • 488
  • 0
• VÔ CÙNG BÉ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
  • 24
  • 12
  • 4
• Đo lưu lượng đề tài “Đo lưu lượng”, nhằm củng cố và nâng cao hơn kiến thức về bản chất, cơ sở lý thuyết của các quá trình công nghệ hoá học..
  • 6
  • 945
  • 7
• Thuyết trình công cụ lãi suất tái chiết khấu cơ chế tác động đến lượng tiền cung ứng và vận dụng của NHNN việt nam tron
  • 12
  • 917
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(831.66 KB - 80 trang) - Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp dụng Tải bản đầy đủ ngay ×