Đạo Hàm Hàm Số ẩn | Toán Cho Vật Lý | Trang 2

Có thể bạn quan tâm

Ví dụ: Tìm ${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} , { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}$ nếu $x^3 + 2y^3 + z^3 - 3xyz -2y + 3 = 0$

Cách 1: ký hiệu vế trái của phương trình là F(x,y,z). Khi đó:

$F_x^{'} = 3x^2 - 3yz ; F_y^{'} = 6y^2 - 3xz - 2 ; F_z^{'} = 3z^2 - 3xy$

Theo công thức (2.2), (2.3) ta có:

${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = - { \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{3x^2-3yz}{3z^2-3xy}} ; { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} = - { \dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{6y^2 - 3xz - 2}{3z^2-3xy}}$

Cách 2: Lấy vi phân phương trình đã cho ta có:

$d(x^3) + d(2y^3) + d(z^3) - 3d(xyz) - 2dy = 0$

Hay: $3x^2dx + 6y^2yd + 3z^2dz - 3yzdx - 3xzdy - 3xydz - 2dy = 0$

Từ đó, ta tìm dz:

$dz = { \dfrac{3(x^2-yz)dx+(6y^2 - 3xz -2)dy}{3(xy-z^2)}}$

So với công thức $dz = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}dy$ , ta có:

${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = { \dfrac{x^2-yz}{zy-z^2}} , { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} = { \dfrac{6y^2-3xz-2}{3(xy-z^2)}}$

Ví dụ 2: Cho xyz = x + y +z , tìm dz

Cách 1: Xét F(x,y,z) = xyz – x – y – z . Ta tìm $z_x^{'} , z_y^{'}$ theo công thức (2.2), (2.3) ta có:

$F_x^{'} = yz - 1 ; F_y^{'} = xz - 1 ; F_z^{'} = xy - 1$

Nên:

${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = - { \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{yz-1}{xy-1}} ; { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} = - { \dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{xz - 1}{xy -1}}$

Vậy: $dz = - { \dfrac{1}{xy-1}}[(yz-1)dx+(xz-1)dy]$

Cách 2: Lấy vi phân hai vế của phương trình, ta có:

$d(xyz) = d(x+y+z) \Rightarrow yzdx + xzdy + xydz = dx + dy + dz$

Từ đó, ta có: $dz = - { \dfrac{1}{xy-1}}[(yz-1)dx+(xz-1)dy]$

Ví dụ 3: Cho $x + y + z = e^z$ Tìm ${ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} , { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}}$

Ta có: $z_x^{'} = { \dfrac{1}{e^z - 1}} (*)$

Để tính tiếp đạo hàm riêng cấp 2, ta cần chú ý z là hàm theo biến x, y. Đo đó để tìm tiếp đạo hàm riêng cấp 2 thì ta phải lấy đạo hàm của (*) theo quy tắc hàm hợp. Ta có:

$z_{xx}^{''} = \left(z_x^{'} \right)_x^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_x^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_z^{'} . z_x^{'} \\ = -{ \dfrac{e^z}{(e^z-1)^2}}.{ \dfrac{1}{e^z-1}} = -{ \dfrac{e^z}{(e^z-1)^3}}$

Tương tự: $z_{xy}^{''} = \left(z_x^{'} \right)_y^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_y^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_z^{'} . z_y^{'} (*)$