Định Lí Pytago - Các Trường Hợp Bằng Nhau Của Tam Giác Vuông

Định lí Pytago – Trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

I . Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí Pytago :

     1 . Hai cạnh góc vuông :

         Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

          

2 . Cạnh góc vuông – góc nhọn :

         Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau .

         Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta D\text{EF}\], có :

              

           \[\Rightarrow ~~\Delta ABC=\Delta D\text{EF}~~\]

    3 . Cạnh huyền – góc nhọn :

         Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau .

          Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta D\text{EF}\], có :

                

               \[\Rightarrow ~~\Delta ABC=\Delta D\text{EF}~~\]

    4 . Cạnh huyền - cạnh góc vuông :

         Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau .

        Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta D\text{EF}\], có :

                    

               \[\Rightarrow ~~\Delta ABC=\Delta D\text{EF}~~\]

    5 . Định lí Pytago :

         Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

         ∆ABC vuông tại A.

         =>  BC2=AB2+AC2

    6 . Định lí Pytago đảo :

          Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại  thì tam giác đó là tam giác vuông.

         ∆ABC :BC2=AB2+AC2

          => \[\widehat{BAC}\]= 902

II . Ví dụ minh họa :

     Ví dụ 1 : Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với :

             a , 9; 12 và 15

             b , 3; 2,4 và 1,8

             c , 4; 6 và 7

             d , 4 ;\[4\sqrt{2}\] và 4

                                                        Giải

        

          \[A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=81{{k}^{2}}+144{{k}^{2}}=225{{k}^{2}}=B{{C}^{2}}\]

           Vậy tam giác ABC vuông ở A

       

          \[A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=5,76{{k}^{2}}+3,24{{k}^{2}}=9{{k}^{2}}=A{{B}^{2}}\]

            Vậy tam giác ABC vuông tại C

        

          \[A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=16{{k}^{2}}+36{{k}^{2}}=52{{k}^{2}}\ne 49{{k}^{2}}=B{{C}^{2}}\]

             Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông

        

          \[A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=16{{k}^{2}}+16{{k}^{2}}=32{{k}^{2}}=A{{C}^{2}}\]

             Vậy tam giác ABC vuông ở B.

      Ví dụ 2 : Cho tam giác vuông ABC \[\left( \widehat{A}=90{}^\circ  \right)\], kẻ \[AH\bot BC\]. Chứng minh : \[A{{B}^{2}}+C{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}\]

                                                       Giải

        Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông :

        Tam giác ABH có \[\widehat{H}=90{}^\circ \]

        \[\Rightarrow A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\Rightarrow A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}\]

        Tam giác AHC có \[\widehat{H}=90{}^\circ \]

        \[\Rightarrow A{{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}\Rightarrow A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}\]

        \[\Rightarrow A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}\]\[\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+H{{B}^{2}}\]

     Ví dụ 3 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có \[\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\] và BC = 15 cm. Tìm các độ dài AB, AC.

                                                      Giải

          Theo đề ra ta có :

           \[\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\Rightarrow \frac{A{{B}^{2}}}{9}=\frac{A{{C}^{2}}}{16}\]

          Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí Pitago ta có :

          \[\frac{A{{B}^{2}}}{9}=\frac{A{{C}^{2}}}{16}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{9+16}=\frac{B{{C}^{2}}}{25}=\frac{{{15}^{2}}}{25}=9\]

       \[\Rightarrow A{{B}^{2}}=9.9={{9}^{2}}\Rightarrow AB=9cm\]

          \[A{{C}^{2}}=16.9={{(4.3)}^{2}}={{12}^{2}}\Rightarrow AC=12cm\]

            Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm ; AC = 12cm.

III . Bài tập tự luyện :

       Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A.  MA = 2cm; MB = 3cm; góc \[\widehat{AMC}=135{}^\circ \]. Tính độ dài đoạn thẳng MC.

       Bài 2 : Cho tam giác ABC có A là góc tù Trong các cạnh của tam giác ABC thì cạnh nào là cạnh lớn nhất ?

       Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK .

       Bài 4 : Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là tam giác vuông cân .

 

 

       Bài 5 : Cho tam giác vuông ABC ( \[\widehat{A}=90{}^\circ \]). Chứng minh rằng

           a , Nếu \[AB=\frac{1}{2}BC\]thì \[\widehat{C}=30{}^\circ \]

           b , Nếu \[\widehat{C}=30{}^\circ \]thì \[AB=\frac{1}{2}BC\]

       Bài 6 : Cho tam giác ABC , kẻ \[BE\bot AC\,;\,CF\bot AB\]. BIết BE = CF = 8cm , độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5.

           a , Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân

           b , Tính độ dài cạnh đáy BC

           c , BE và CF cắt nhau tại O. Nối OA và EF. Chứng minh đường thẳng OA là trung trực của đoạn thẳng EF.

Bài viết gợi ý:

1. Bất đẳng thức hình học

2. Chuyên đề: Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai

3. Chuyên đề: Quỹ tích

4. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

5. Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp

6. Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng

7. Chuyên đề: Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức