Định Lý Ceva Và Menelaus - Bài Tập Vận Dụng (có Hướng Dẫn)

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Định lý Ceva và Menelaus - Bài tập vận dụng (có hướng dẫn)". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

 

ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS

1. Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên)

Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi

Chứng minh

* Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có đúng 2 điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Giả sử là B’, C’

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ tại M.

Ta có: . Vậy

Gọi A’’ là giao của B’C’ với BC.

Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có  mà nên .

Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngoài cạnh BC.

Vậy và A’, A’’ nằm ngoài cạnh BC suy ra . Do đó A’, B’, C’ thẳng hàng .

* Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam giác ABC được chứng minh tương tự.

2. Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734)

Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi .

Chứng minh

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ tại M, N.

Ta có: .

Vậy ta có

Gọi I là giao của BB’ và CC’. Giải sử AI cắt BC tại A’’, suy ra A’’ cũng thuộc BC.

Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có mà   nên .

Từ đó suy ra . Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy

Định Lý Ceva ( CHUNG)

Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương:

AD,BE,CF đồng quy tại một điểm.

Chứng minh:

Chúng ta sẽ chứng minh rằng 1.1 dẫn đến 1.2, 1.2 dẫn đến 1.3, và 1.3 dẫn đến 1.1.

Giả sử 1.1 đúng. Gọi P là giao điểm của AD, BE, CF. Theo định lý hàm số sin trong tam giác APD, ta có:(1)Tương tự, ta cũng có: (2) (3)

Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta được 1.2.

Giả sử 1.2 đúng. Theo định lý hàm số sin trong tam giác ABD và tam giác ACD