Định Lý Cơ Bản Của Số Học - The Numbers Of 2H

Trước tiên, ta quan tâm đến khẳng định sau đây.

Định lý 5.1. Với p là một số nguyên tố, và $p \mid ab$. Lúc đó hoặc $p \mid a$ hoặc $p \mid b$.

Chứng minh. Nếu $p \nmid a$, lúc đó $\gcd(a,\,p)=1$ . Từ định lý 4.4 ở bài viết Modulus của các số nguyên, sẽ tồn tai hai số nguyên $x,\,y$ thoả mãn \[xa+yb=1,\]từ đó ta có được\[b=xab+ybp.\]Lại  có $p\mid ab$ và $x,\,b\in\mathbb Z$ nên $p\mid b$.

$\square$

Ta cũng có thêm một khẳng định sau.

Định lý 5.2. Với $c\in\mathbb Z^+$, $\gcd (a,\,b)=d$ thì $\gcd (ac,\,bc)=dc$.

Chứng minh. Lại theo định lý 4.4  ta có $x,\,y\in\mathbb Z$ sao cho\[d=xa+yb,\] từ đó $\gcd (ac,\,bc)\mid dc,\,(1)$ do\[dc=xac+ybc.\] Mặt khác, rõ ràng $dc$ là ước chung của $ac$ và $bc$ nên $dc\le \gcd (ac,\,bc),\,(2)$. Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều cần chứng minh.

$\square$

Từ các định lý trên ta có định lý dưới đây.

Định lý 5.3 . Sự phân tích tiêu chuẩn của một số tự nhiên $n$ là duy nhất, và chỉ có duy nhất một cách viết $n$ thành tích các số nguyên tố.

Chứng minh. Từ Định lý 5.1 ta thấy nếu $p\mid abc\ldots l$ lúc đó $p$ phải là ước của một trong số chúng. Ở trong một tình huống khác nếu $a,\, b,\, c,\, \ldots, l$ là những số nguyên tố, lúc đó $p$ sẽ là một trong số chúng.

Giờ ta giả sử rằng \[n=p_1^{a_1}=p_2^{a_2}\ldots p_k^{a_k}=q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_j^{b_j}.\] Viết ra hai phân tích tiêu chuẩn của $n$. Chúng ta kết luận rằng mỗi $p$ phải là một $q$ và mỗi $q$ phải là một $p$. Từ đó $k=j$. Cũng từ \[p_1<p_2<\ldots <p_k,\,\quad q_1<q_2<\ldots <q_k.\] Chúng ta kết luận rằng $p_i=q_i, 1 \le q \le k $. Nếu $a_i>b_i$, lúc đó từ $p_i^{b_i}\mid n$ ta có \[p_1^{a_1}\ldots p_k^{a_i-b_i}\ldots p_k^{a_k} = p_1^{a_1}\ldots p_{i-1}^{b_{i-1}}p_{{i+1}}^{b_{i+1}}\ldots p_k^{b_k},\] điều không thể xảy ra khi vế trái là bội của $p$. Tương tự ta không thể có $a_i<b_i$. Định lý được chứng minh.

$\square$

Đây là một lời giải thích hợp lý cho việc loại bỏ số $1$ ra khỏi tập các số nguyên tố. Bởi vì, nếu $1$ là một số nguyên tố khi đó phân tích của $1$ không là duy nhất bởi khi đó ta có thể thêm bất kì bậc nào của $1$ vào trong phân tích.

Sau đây là một số bài tập để luyện tập thêm về logariths.

Bài tập 1. Chứng minh rằng ${\log _{10}}2$ và $\sqrt 2 $ là những số vô tỉ

Bài tập 2. Với \[{\log _{10}}\dfrac{{1025}}{{1024}} = a, \quad {\log _{10}}\dfrac{{{{1024}^2}}}{{1023.1025}} = b, \quad {\log _{10}}\dfrac{{{{81}^2}}}{{80.82}} = c,\] \[{\log _{10}}\dfrac{{{{125}^2}}}{{124.126}} = d, \quad {\log _{10}}\dfrac{{{{99}^2}}}{{98.100}} = e.\] Hãy chỉ ra rằng \[196{\log _{10}}2=59+5a+8b-3c-8d+4e.\]