Định Lý Fubini – Phép đổi Biến | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Để tính được tích phân bội, hai công cụ quan trọng là Định lý Fubini và Phép đổi biến.

Thứ nhất, Định lý Fubini cho phép ta chuyển từ tích phân bội về tích phân lặp, nhờ đó công việc còn lại là tính các tích phân xác định (phụ thuộc tham số). Công việc chuyển từ tích phân bội về tích phân lặp không liên quan đến hàm dưới dấu tích phân mà chủ yếu liên quan đến miền lấy tích phân và các cận của các tích phân xác định. Việc chuyển này chính là việc xác định các cận của các tích phân xác định từ miền lấy tích phân. Để xem công việc này diễn ra như nào tôi sẽ minh họa qua ví dụ sau.

datuan101 Miến lấy tích phân là hình vành khăn (màu vàng) $D=\{(x, y)|\; \dfrac{1}{4}\le (x-1)^2+(y-1)^2\le 1\}.$

Để xác định cận, đầu tiên ta phải xem để tích phân nào ở ngoài (tính sau), tích phân nào bên trong (tính trước). Chẳng hạn

$\int_{?}^{?}dx \int_{?}^{?}dy$

nghĩa là ta tính tích phân theo $y$ trước rồi sau đó tính tích phân theo $x.$

Ta đặt một nguồn phát sóng trên trục hoành $0x,$ cho nó di chuyển trên trục hoành và sóng được phát ra song song với trục tung $0y$ .

Ta nhận được sóng phản hồi khi sóng chạm vào miền $D.$ Như vậy, chỉ khi nguồn nằm trong khoảng $(0, 2)$ mới có sóng phản hồi. Để ý rằng $(0, 2)$ chính là hình chiếu của miền $D$ trên trục hoành.

Ngoài ra, dễ nhận thấy trong khoảng $(0, 2),$ trên mỗi khoảng $(0, 1/2), (1/2, 3/2), (3/2, 2)$ tín hiệu nhận được là khác nhau. Cụ thể

+) trên $(0, 1/2)$ ta nhận được khoảng $(1-\sqrt{1-(y-1)^2}, 1+\sqrt{1-(y-1)^2}),$

+)trên $(1/2, 3/2)$ ta nhận được hai khoảng $(1-\sqrt{1-(y-1)^2}, 1-\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2})$ và $(1+\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2}, 1+\sqrt{1-(y-1)^2}),$

+)trên $(3/2, 2)$ ta nhận được khoảng $(1-\sqrt{1-(y-1)^2}, 1+\sqrt{1-(y-1)^2}).$

Như vậy, tích phân bội sẽ chuyển thành tích phân lặp sẽ như sau:

$\iint_D f(x, y)dxdy=\int_{0}^{1/2}dx\int_{1-\sqrt{1-(y-1)^2}}^{1-\sqrt{1+(y-1)^2}}f(x, y)dy$

$+\int_{1/2}^{3/2}dx\big(\int_{1-\sqrt{1-(y-1)^2}}^{1-\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2}}f(x, y)dy+\int_{1+\sqrt{\frac{1}{4}-(y-1)^2}}^{1+\sqrt{1-(y-1)^2}}f(x, y)dy\big)$

$+\int_{3/2}^{2}dx\int_{1-\sqrt{1-(y-1)^2}}^{1+\sqrt{1-(y-1)^2}}f(x, y)dy.$

Nếu chỉ dừng lại ở việc chuyển về tích phân lặp, ta vẫn có thể gặp một số tích phân bội khó tính. Việc đổi biến có thể giúp ta chuyển về tích phân dễ tính hơn. Nếu nhìn kỹ, việc đổi biến cũng khá giống quá trình chuyển sang tích phân lặp. Để minh họa tôi sẽ đưa ra ví dụ về việc đổi sang hệ tọa độ cực:

$x=r\cos{\varphi}, y=r\sin{\varphi}.$

Miền lấy tích phân là hình vành khăn $D=\{(x, y)|\; 4\le x^2+y^2\le 16\}.$

datuan102

Cách đầu tiên, từ gốc $(0, 0)$ ta phát ra sóng tròn.

Ta nhận được tín hiệu phản hồi khi bán kính sóng $r$ nằm trong khoảng $(2, 4).$ Trong khoảng này, ta nhận được tín hiệu là các đường tròn $S_r$ bán kính $r.$ Khi đó tích phân trên miền $D$ chuyển thành