Tích Phân Hai Lớp (Tích Phân Kép) | Maths 4 Physics & More... | Trang 2

Có thể bạn quan tâm

3. Cách tính tích phân kép (hai lớp; bội hai) trong tọa độ vuông góc:

3.1 Miền đều:

a. Miền đều theo phương Oy:

Giả sử mỗi đường thẳng x = x0 song song với trục Oy và đi qua điểm trong của miền D (điểm không nằm trên biên), chỉ cắt biên L của miền D tại 2 điểm M, N (theo hướng từ dưới lên). M có tọa độ $y = g_1(x)$ và N có tọa độ $y = g_2(x)$ .

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Oy và M được gọi là điểm vào miền D, N được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong g1(x) được gọi là đường vào, và đường cong g2(x) được gọi là đường ra của miền D.

b. Miền đều theo phương Ox:

Giả sử mỗi đường thẳng y = y0 song song với trục Ox và đi qua điểm trong của miền D (điểm không nằm trên biên), chỉ cắt biên L của miền D tại 2 điểm P, Q (theo hướng từ trái sang). P có tọa độ $x = f_1(y)$ và Q có tọa độ $x = f_2(y)$ .

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Ox và P được gọi là điểm vào miền D, Q được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong f1(y) được gọi là đường vào, và đường cong f2(y) được gọi là đường ra của miền D.

c. Miền đều: Miền đều theo phương Ox và Oy được gọi là miền đều

d. Các ví dụ:

1. Hãy xét xem các miền sau đây là miền đều theo phương nào?

Ta có:

Hình a : D là miền đều theo phương Oy (dù đưởng thẳng x = a và x = b cắt miền D tại vô số điểm, nhưng là những điểm biên chứ không phải điểm trong) và có cùng 1đường vào, 1 đường ra nhưng không là miền đều theo phương Ox vì có 1 vùng mà những đưởng thẳng song song với trục Ox, đi qua điểm trong và cắt biên tại 4 điểm.

Hình b: D là miền đều theo phương Oy có đường vào g1(x) và đường ra g2(x). Ngoài ra, D cũng là miền đều theo phương Ox nhưng có 2 đường vào và 1 đường ra x = b.

Hình c: D là miền đều theo phương Oy, có cùng 1 đường vào, và 1đường ra. Bên cạnh đó, D là miền đều theo phương Ox nhưng có tới 2 đường vào và 2 đường ra.

2. Các miền D được xác định dưới đây là miền đều theo phương Ox. Bạn hãy xét xem nó có phải là miền đều theo phương Oy không? Và nếu là miền đều, hãy xét xem nó có mấy đường vào và mấy đường ra?

3.2 Cách tính (Định lý Fubini)

1. Nếu D xácđịnh bởi $a \le x \le b, g(x) \le y \le h(x)$ g, h liên tục trên [a; b] thì:

$\int{\int_D f(x;y)} \, dxdy = {\int_a^b \, dx}{\int_{g(x)}^{h(x)} f(x;y) \, dy}$

2. Nếu D xácđịnh bởi $c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y)$ g, h liên tục trên [a; b] thì:

$\int{\int_D f(x;y)} \, dxdy = {\int_c^d \, dy}{\int_{h_1(x)}^{h_2(x)} f(x;y) \, dx}$

(Cách chứng minh định lý Fubini, các em có thể tham khảo thêm trong các giáo trình)

Nhận xét:

1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền đều theo phương Oy trong khoảng $a \le x \le b$ và có cùng 1 đường vào g(x) và cùng 1 đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo biến y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong đoạn [a; b].

2. Miền đều theo phương Oy thì đường vào, đường ra là hàm theo biến x.

3. Ở trường hợp 2, ta có D là miền đều theo phương Ox trong khoảng $c \le y \le d$ và có cùng 1 đường vào h1(y) và cùng 1 đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo biến x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y trong đoạn [c; d].

4. Miền đều theo phương Ox thì đường vào, đường ra là hàm theo biến y.

3.3 Phương pháp tính:

1. Vẽ miền lấy tích phân D

2. Xét xem miền D có phải là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy) không? Nếu miền lấy tích phân không đều thì ta chia miền D thành những miền đều không có phần trong chung.

3. Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu mền D không có cùng 1đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền nhỏ sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1đường vào và 1 đường ra.

4. Áp dụng công thức Fubini và các tính chất tích phân để tính tích phân hai lớp theo phương Oy (hoặc Ox).

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2 3

Thảo luận

138 bình luận về “Tích phân hai lớp (Tích phân kép)”

Thầy ơi giúp em ạ! trong tích phân cực với D là phần mặt tròn tâm O(0,0) bán kính a nằm trong góc phần tư thứ nhất thì em xác định cận thế nào ạ?

ThíchThích
Posted by Trang Giang | 26/03/2017, 21:34 Reply to this comment
giúp e với ak….tính I=||D của (x+y)dxdy, với D là miền giới hạn bởi các đường y=x,y=-x+3, y=2x+1,y=2x-1

ThíchThích
Posted by THU | 09/11/2016, 13:09 Reply to this comment
thầy ơi,phần một số ví dụ,ví dụ 2 của thầy ý,e ra kết quả 8496/35 hình như thầy quên chưa nhân với 1/2 ạ

ThíchThích
Posted by ngô hương | 06/09/2015, 18:45 Reply to this comment
Thầy giúp em bài này với ạ: đổi thứ tự lấy tích phân ∫(-4)^1▒dx ∫(x^2+3x)^4▒f(x,y)dy

ThíchThích
Posted by Khoa | 04/06/2015, 17:59 Reply to this comment
dạ thầy ơi. thầy có thể chứng minh cho em hiểu rõ tính chất tuyến tính của tích phân 2 lớp được không ạ. em cảm ơn thầy

ThíchThích
Posted by Ánh Duyên | 16/10/2014, 09:23 Reply to this comment
nhờ thầy giai bai nay gium e ạ : ∫∫ sin(x^2 + y^2) dxdy ; pi^2 =< x^2 + y^2 <= 4pi^2

ThíchThích
Posted by mèo | 10/09/2014, 08:20 Reply to this comment
e chào thầy ạ. e có bài này mà ko biết xác định miền D như thế nào , vậy thầy có thể giúp e đc ko ạ. e cảm ơn thầy nhìu! tích phân là: ∫∫(x-y)dxdy. trong đó D là miền giới hạn bởi : x^2 + y^2 -2x<=0, y=0

ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by Thanh Phạm | 09/09/2014, 09:42 Reply to this comment
- theo tớ D xác định bởi: 0<=x<=2 trừ căn của 2x-x^2 <= y <= căn của 2x-x^2
  
  ThíchThích
  Posted by ngô hương | 06/09/2015, 19:06 Reply to this comment