Định Lý Green – Wikipedia Tiếng Việt

Trong toán học, định lý Green đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín C và tích phân mặt trên một miền D bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý

[sửa | sửa mã nguồn]

C là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng R {\displaystyle \mathbb {R} } 2, và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu L và M là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì[1][2]

∮ C ( L d x + M d y ) = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d x d y . {\displaystyle \oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}

Mối liên hệ với định lý Stokes

[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi F = ( L , M , 0 ) {\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)} . Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

∮ C ( L d x + M d y ) = ∮ C ( L , M , 0 ) ⋅ ( d x , d y , d z ) = ∮ C F ⋅ d r . {\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}

Theo định lý Stokes thì:

∮ C F ⋅ d r = ∬ S ∇ × F ⋅ n ^ d S . {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}

Mặt S {\displaystyle S} chỉ là một miền D {\displaystyle D} trong mặt phẳng, với vector định chuẩn n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành

∇ × F ⋅ n ^ = [ ( ∂ 0 ∂ y − ∂ M ∂ z ) i + ( ∂ L ∂ z − ∂ 0 ∂ x ) j + ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) k ] ⋅ k = ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

∬ S ∇ × F ⋅ n ^ d S = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A . {\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}

Mối liên quan với định lý Gauss

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều, định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A = ∮ C F ⋅ n ^ d s , {\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}

với n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green d r = ( d x , d y ) {\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)} là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là ( d y , − d x ) {\displaystyle (dy,-dx)} . Chiều dài của vec tơ này là d x 2 + d y 2 = d s {\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds} . Do vậy n ^ d s = ( d y , − d x ) . {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,ds=(dy,-dx).}

Bây giờ hãy để F = ( P , Q ) {\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)} . Khi đó vế phải sẽ trở thành

∮ C F ⋅ n ^ d s = ∮ C P d y − Q d x {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\oint _{C}Pdy-Qdx}

mà do định lý Green sẽ trở thành

∮ C − Q d x + P d y = ∬ D ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y ) d A = ∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A . {\displaystyle \oint _{C}-Qdx+Pdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA.}

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tích

[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường.[3] Diện tích của miền D được cho bởi:

A = ∬ D d A . {\displaystyle A=\iint _{D}\mathrm {d} A.}

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y = 1. {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1.}

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

A = ∮ C ( L d x + M d y ) . {\displaystyle A=\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y).}

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:[3]

A = ∮ C x d y = − ∮ C y d x = 1 2 ∮ C ( − y d x + x d y ) . {\displaystyle A=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y).}

Đây là cùng công thức cho tính diện tích cho những hình nằm trên mặt phẳng xy bằng toán vectơ:

A = 1/2 ∮ r x dr = 1/2 k ∮(xdy – ydx)

khi r = xi + yj và dr = dxi + dyj.

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Planimeter
• Method of image charges – A method used in electrostatics that takes advantage of the uniqueness theorem (derived from Green's theorem)

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
2. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
3. ^ a b Stewart, James (2007). Calculus (ấn bản thứ 6). Thomson, Brooks/Cole.

Đọc thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
• Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• Green's Theorem on MathWorld