Định Lý Stokes | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Định lý Stokes (“Giải tích Toán học trên Đa tạp” của M. Spivak). Giả sử $\omega$ là dạng bậc $k-1$ trên $A,$ và $c$ là một xích kỳ dị $k$ chiều trong $A.$ Khi đó,

$\int_cd\omega=\int_{\partial c}\omega.$

Tạm gác lại $A, c, \partial c$ và dạng bậc $k$ được xác định nghĩa chính xác thế nào! Hiểu một cách đơn giản $c$ là miền được định hướng (một tập mở, bị chặn trong không gian 3 chiều, một mặt định hướng trong không gian 3 chiều, tập mở trong mặt phẳng) còn $\partial c$ là biên của $c$ được định hướng phù hợp với $c.$ Việc định hướng $\partial c$ xin để phần sau! Một số ví dụ về dạng $f(x, y, z)dx, g(x, y, z)dy, h(x, y, z)dz$ và các tổ hợp tuyến tính của chúng là các dạng bậc $1,$ $f(x, y, z)dxdy, g(x, y, z)dydz, h(x, y, z)dzdx$ và các tổ hợp tuyến tính của chúng là các dạng bậc $2, f(x, y, z)dxdydz$ là dạng bậc $3.$

Khi đó, $d\omega$ được tính như nào? Ta tính như phép tính vi phân thông thường, nghĩa là nó tuân theo tính tuyến tính, công thức vi phân của tích hai hàm, với chú ý $x, y, z$ là các biến thực sự nghĩa là $d(dx)=d(dy)=d(dz)=0,$ và $dx, dxdy, dxdydz$ và những cái tương tự cũng được coi là hàm! Ví dụ, $d(f(x, y, z)dx)=(f'_x(x, y, z)dx+ f'_y(x, y, z)dy+ f'_z(x, y, z)dz)dx+$ $+f(x, y, z)d(dx).$ Chú ý, $d(dx)=0, dxdx=0$ nên $d(f(x, y, z)dx)= f'_y(x, y, z)dydx +f'_z(x, y, z)dzdx.$

Với cách như vậy ta có thể thiết lập dễ dàng các Định lý Green, Ostrogradski- Gauss, Stokes như sau.

Định lý Green. Lấy $D$ là tập mở, bị chặn trong mặt phẳng với biên $C=\partial D$ được định hướng bằng cách: hướng dương của $C$ là hướng đi sao cho tay trái hướng vào trong $D.$ Cho $P, Q: D\to \mathbb R$ là các hàm khả vi liên tục đến biên. Ta có vi phân $d(Pdx+ Qdy)=P'_ydydx + Q'_xdxdy,$ với chú ý $dxdy=-dydx,$ có $d(Pdx+Qdy)=(-P'_y+Q'_x)dxdy.$ Khi đó,

$\int_C (Pdx+ Qdy)=\iint_D (-P'_y+Q'_x)dxdy.$

Định lý Ostrogradski- Gauss. Cho $\Omega$ là tập mở trong không gian 3 chiều, biên $S=\partial\Omega$ được định hướng: hướng dương được xác định bởi véc-tơ pháp tuyến đơn vị ngoài $n$ của $\Omega$ trên biên $S.$ Cho $P, Q, R: \Omega\to \mathbb R$ là các hàm khả vi liên tục đến tận biên. Ta có vi phân $d(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=(P'_x+Q'_y+R'_z)dxdydz,$ với chú ý $d(dx)=0, dxdxdy=0,$ và

$dydzdx=dy(-dxdz)=(-dydx)dz=dxdydz.$ Khi đó,

$\iint_{S}(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=\iiint_{\Omega}(P'_x+Q'_y+R'_z)dxdydz.$

Định lý Stokes. Cho mặt $S$ trong không gian 3 chiều được định hướng dương bởi véc-tơ pháp tuyến $n$ có biên $C=\partial S$ được định hướng dương là hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu ta đứng tại điểm trên $C$ hướng của $n$ là hướng từ chân đến đầu. Cho $P, Q, R: S\to \mathbb R$ là các hàm khả vi đến tận biên. Ta có vi phân