Giao diện chuyển sang thanh bên ẩn Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Định lý Menelaus
Định lý Menelaus[1] là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi
F A ¯ F B ¯ ⋅ D B ¯ D C ¯ ⋅ E C ¯ E A ¯ = 1 {\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1}
Chứng minh
[sửa | sửa mã nguồn]
*Phần thuận: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.Vì C G ∥ A B {\displaystyle CG\parallel AB} (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có: D B D C = F B C G {\displaystyle {\frac {DB}{DC}}={\frac {FB}{CG}}} ( 1 ) {\displaystyle (1)} và E C E A = C G F A {\displaystyle {\frac {EC}{EA}}={\frac {CG}{FA}}} ( 2 ) {\displaystyle (2)} Nhân ( 1 ) {\displaystyle (1)} và ( 2 ) {\displaystyle (2)} và vế theo vế D B D C ⋅ E C E A = F B F A {\displaystyle {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}={\frac {FB}{FA}}} Từ đó suy ra F A F B ⋅ D B D C ⋅ E C E A = 1 {\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1} *Phần đảo: Giả sử F A F B ⋅ D B D C ⋅ E C E A = 1 {\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1} . Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.Theo chứng minh ở trên, ta có F ′ A F ′ B ⋅ D B D C ⋅ E C E A = 1 {\displaystyle {\frac {F'A}{F'B}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1} Kết hợp giả thiết => F A F B = F ′ A F ′ B {\displaystyle {\frac {FA}{FB}}={\frac {F'A}{F'B}}} Hay F A F ′ A = F B F ′ B = F A + F B F ′ A + F ′ B = A B A B = 1 {\displaystyle {\frac {FA}{F'A}}={\frac {FB}{F'B}}={\frac {FA+FB}{F'A+F'B}}={\frac {AB}{AB}}=1} Nên F ′ A = F A {\displaystyle F'A=FA} và F ′ B = F B {\displaystyle F'B=FB} => F ′ {\displaystyle F'} trùng với F {\displaystyle F} .Vậy định lý đã được chứng minh.
Xem thêm
[sửa | sửa mã nguồn]
Định lý Carnot
Định lý Ceva
Tham khảo
[sửa | sửa mã nguồn]
^ Định lý được đặt theo tên của nhà toán học Menelaus xứ Alexandria (thế kỷ II - III), người tìm ra định lý này trong quyển sách Sphaerica vào năm 98
Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.
Bài viết liên quan đến hình học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
x
t
s
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Định_lý_Menelaus&oldid=71937356” Thể loại:
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Định_lý_Menelaus&oldid=71937356” Thể loại: 
