Dựng Hình đa Giác đều - Vườn Toán
Có thể bạn quan tâm
Trang
- Trang nhà
- Kỹ năng mềm
- Giới thiệu
Dựng hình đa giác đều
Có hai bài toán dựng hình rất nổi tiếng được biết đến từ thời xa xưa nhưng mãi đến thế kỷ 18-19 mới có thể giải quyết được. Đó là bài toán dựng hình đa giác đều và bài toán chia ba một góc. Mặc dù nghe có vẻ đơn giản vậy, nhưng để giải quyết được nó, các nhà toán học phải sử dụng những công cụ rất hiện đại của số học và đại số. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét bài toán đầu tiên, đó là bài toán dựng hình đa giác đều.Bài toán dựng hình đa giác đều. Bằng thước và compa, hãy dựng một đa giác đều có $n$ cạnh.Đầu tiên, chúng ta thấy rằng tam giác đều và hình vuông là hai hình dễ dựng nhất. Chúng ta sẽ gọi một đa giác có $n$ cạnh là một $n$-giác và có nhận xét sau đây
Nhận xét: Nếu bằng thước và compa chúng ta có thể dựng được một $n$-giác đều thì chúng ta cũng có thể dựng được $2n$-giác đều.Vì sao vậy? Đó là vì nếu chúng ta dựng được $n$-giác đều, thì bằng cách dựng đường tròn ngoại tiếp nó, rồi dựng đường trung trực của mỗi cạnh để chia đôi mỗi cung tròn, chúng ta sẽ có được $2n$-giác đều! Bằng nhận xét đơn giản trên, từ hình $3$-giác đều, chúng ta sẽ dựng được $6$-giác đều, $12$-giác đều, $24$-giác đều, v.v...
tam giác $\rightarrow$ lục giác $\rightarrow$ 12-giác |
nhị giác $\rightarrow$ hình vuông $\rightarrow$ bát giác |
Bài toán. Tìm điều kiện cần và đủ của số lẻ $n$ để đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa.Hoá ra đây là một bài toán cực kỳ khó! Đã từ lâu, chúng ta biết được cách dựng ngũ giác đều. Chẳng hạn từ thời Hy Lạp cổ đại, trong bộ sách "Cơ sở Toán học" nổi tiếng, Euclid đã trình bày một cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa. Vậy nhưng qua gần hai ngàn năm, không ai tìm ra được cách dựng $7$-giác đều, $9$-giác đều, $11$-giác đều, ..., mọi nỗ lực dường như rơi vào bế tắc. Lý do chẳng phải chúng ta không tìm ra được cách dựng, mà là không tồn tại cách dựng! Người đầu tiên tìm được bước đột phá cho bài toán là nhà toán học Gauss. Gauss được mệnh danh là "ông hoàng toán học". Quyển sách "Nghiên cứu Số học" (Disquisitiones Arithmeticae) mà ông xuất bản năm 24 tuổi hiện vẫn là sách gối đầu giường cho những người học toán. Năm ông 19 tuổi, Gauss tìm ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh. Người ta kể lại rằng chính phát minh này đã thúc đẩy Gauss say mê đi vào nghiệp làm toán thay vì đi học triết học. Ông thích thú với phát hiện này tới mức ông muốn sau này một đa giác đều 17 cạnh được khắc lên trên ngôi mộ của mình. Không hiểu vì lý do gì, trên mộ của Gauss không có hình đa giác 17 cạnh, nhưng dưới tượng đài của Gauss tại quê nhà Brunswick có một hình ngôi sao 17 cạnh! Gauss đã chứng minh được định lý tuyệt vời sau đây:
Định lý Gauss. Nếu $n = p_1 \dots p_t$ trong đó $p_1$, ..., $p_t$ là các số nguyên tố Fermat phân biệt thì đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa.Sau này vào năm 1837, nhà toán học người Pháp, Wantzel, chứng minh phần ngược lại, đó là, với một số lẻ $n$, nếu đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa thì $n$ bắt buộc phải có dạng $n = p_1 \dots p_t$ như trên. Vậy số nguyên tố Fermat $p_1$, ..., $p_t$ mà Gauss nói đến là số nguyên tố gì? Số nguyên tố Fermat Có lẽ các bạn ai cũng đã từng nghe đến Bài toán Fermat phải không?!
Bài toán Fermat. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 3$, phương trình sau không có nghiệm khác không $$x^n + y^n = z^n.$$Bài toán Fermat đã từng làm điên đầu những nhà toán học cỡ hàng đầu thế giới cho đến những em học sinh phổ thông. Có lẽ vì bài toán này phát biểu quá đơn giản và quá đẹp. Nhưng có lẽ lý do chính là vì nó liên quan đến một "bí mật toán học". Fermat viết bài toán này bên lề một cuốn sách số học rồi ông ghi chú rằng ông đã tìm ra được một lời giải tuyệt đẹp nhưng lề sách "không đủ chổ" để ông viết ra! Và vì vậy ai cũng muốn làm người đầu tiên "bật mí" cái "bí mật toán học" này! Năm 1994 thì nhà toán học người Anh, Andrew Wiles, đã giải quyết hoàn toàn được bài toán Fermat. Nhưng lời giải của Andrew Wiles phải dùng những công cụ hiện đại nhất của toán học. Vậy coi như cái bí mật của Fermat vẫn còn là bí mật! Fermat thật ra không phải là nhà toán học chuyên nghiệp. Ông là một luật sư và có lẽ ông chỉ làm toán cho vui. Ông thường viết thư trao đổi với những nhà toán học khác về những vấn đề toán học. "Chín mươi chín phần trăm" những dự đoán của Fermat là đúng, nhưng có một trường hợp, Fermat đã sai! Đó là về số nguyên tố Fermat mà chúng ta sắp nói đến đây. Vì số nguyên tố đóng vai trò như những viên gạch cơ bản dùng để xây dựng nên toàn bộ các số tự nhiên, nên các nhà toán học muốn tìm ra những công thức, định lý cho số nguyên tố. Fermat dự đoán rằng các số có dạng $$F_n = 2^{2^n}+1$$ là các số nguyên tố. Nếu đúng như vậy thì đây quả thật là một công thức rất đẹp cho số nguyên tố. Nhưng rất tiếc là Fermat đã nhầm.
- $n=0$, $F_0 = 2^{2^0}+1 = 2^1 + 1 = 3$ là số nguyên tố,
- $n=1$, $F_1 = 2^{2^1}+1 = 2^2 + 1 = 5$ là số nguyên tố,
- $n=2$, $F_2 = 2^{2^2}+1 = 2^4 + 1 = 17$ là số nguyên tố,
- $n=3$, $F_3 = 2^{2^3}+1 = 2^8 + 1 = 257$ là số nguyên tố,
- $n=4$, $F_4 = 2^{2^4}+1 = 2^{16} + 1 = 65537$ là số nguyên tố,
- $n=5$, $F_5 = 2^{2^5}+1 = 2^{32} + 1 = 4294967297$ là hợp số!
Số nguyên tố Fermat. Một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Fermat nếu nó có dạng $$F_n = 2^{2^n}+1.$$Định lý Gauss-Wantzel Bây giờ quay trở lại với bài toán dựng hình đa giác đều. Câu trả lời cho bài toán là định lý sau đây
Định lý Gauss-Wantzel. Với một số lẻ $n$, đa giác đều $n$ cạnh có thể dựng được bằng thước và compa khi và chỉ khi $n = p_1 \dots p_t$ trong đó $p_1$, ..., $p_t$ là các số nguyên tố Fermat phân biệt.Vì $3$, $5$, $17$, $257$, $65537$ là các số nguyên tố Fermat, nên theo định lý trên thì các hình $3$-giác đều, $5$-giác đều, $17$-giác đều, $257$-giác đều, $65537$-giác đều là dựng được. Ngoài ra,
- $3 \times 5 = 15$ nên $15$-giác đều là dựng được
- $3 \times 17 = 51$ nên $51$-giác đều là dựng được, v.v...
- $7$-giác đều không dựng được,
- $9 = 3 \times 3$ nên $9$-giác đều không dựng được
- $11$-giác đều không dựng được,
- $13$-giác đều không dựng được, v.v...
Ủng hộ Vườn Toán trên facebook
Lưu trữ Blog
- ► 2017 (1)
- ► tháng 2 (1)
- ► 2016 (7)
- ► tháng 12 (1)
- ► tháng 10 (1)
- ► tháng 5 (1)
- ► tháng 4 (1)
- ► tháng 3 (2)
- ► tháng 2 (1)
- ► 2015 (12)
- ► tháng 12 (1)
- ► tháng 11 (1)
- ► tháng 10 (1)
- ► tháng 7 (1)
- ► tháng 5 (2)
- ► tháng 4 (4)
- ► tháng 3 (1)
- ► tháng 1 (1)
- ► 2013 (26)
- ► tháng 10 (3)
- ► tháng 9 (2)
- ► tháng 8 (2)
- ► tháng 7 (2)
- ► tháng 6 (3)
- ► tháng 5 (3)
- ► tháng 4 (3)
- ► tháng 3 (3)
- ► tháng 2 (3)
- ► tháng 1 (2)
- ► 2012 (36)
- ► tháng 12 (1)
- ► tháng 11 (7)
- ► tháng 10 (3)
- ► tháng 9 (6)
- ► tháng 8 (5)
- ► tháng 7 (4)
- ► tháng 6 (6)
- ► tháng 5 (4)
- ► 2011 (7)
- ► tháng 1 (7)
English Version
Bài toán kết nối facebook
Phép nhân thời đồ đá
Mắt Biếc Hồ Thu
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pitago
1 = 2012 = 2013
Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình
James vẽ hình
Câu hỏi của James
Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!
Câu đố mẹo về đo lường
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Chào năm mới 2014
Chào năm mới 2015
Chào năm mới 2016
Không gian 4 chiều là gì?
Dựng hình đa giác đều
Dựng đa giác đều 15 cạnh
Ngày số Pi (2015)
Ngày số Pi (2016)
0.9999999... có bằng 1 không? (2015)
Hình tam giác
Bàn cờ vua và kim tự tháp
Dãy số
Dãy số - Phần 1Dãy số - Phần 2
Dãy số - Phần 3
Dãy số - Phần 4
Dãy số - Phần 5
Dãy số - Phần 6
Dãy số - Phần 7
Dãy số - Phần 8
Dãy số - Phần 9
Đại số
Tam giác PascalQuy nạp
Quy nạp II
Quy nạp III
Nhị thức Newton
1 = 2012 = 2013
Đa thức nội suy Newton
Đa thức nội suy Lagrange
Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy
Tổng luỹ thừa
Số phức
Số phứcCông thức Moivre
Lượng giác
Công thức lượng giác cho góc bội
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Ngày số Pi (2016)
Radian là gì?
Số học
modulo - Phần 1
modulo - Phần 2
modulo - Phần 3
modulo - Phần 4
modulo - Phần 5
modulo - Phần 6
Số nguyên tố
Định lý Euclid về số nguyên tố
Một vài bài toán về số nguyên tố
Định lý Wilson
Bộ số Pitago
Modulo cho số hữu tỷ
Modulo cho số hữu tỷ II
Chứng minh lại định lý Wilson
Bổ đề Bezout
Thuật toán Euclid
Tổng luỹ thừa
Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme
Câu đố mẹo về đo lường
Dựng đa giác đều 15 cạnh
Bò đi con bọ cạp!
Liên phân số Fibonacci
Hằng đẳng thức Pitago
Hình vuông số kỳ diệu của Euler
Tổ hợp
Bài toán kết nối facebookDãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình
Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci
Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal
Hình học
Định lý PitagoĐịnh lý đường cao tam giác vuông
Định lý Morley
Phương tích
Trục đẳng phương và tâm đẳng phương
Định lý Ceva và Định lý Menelaus
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pascal
Định lý Pappus
Cánh bướm Pascal
Bài toán con bướm
Định lý Ngôi Sao Do Thái
Hãy xem xét trường hợp đặc biệt
Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp
Điểm Fermat của hình tam giác
Điểm Fermat của hình tam giác II
Dựng hình
Dựng hình bằng thước và compaBài toán chia hình tứ giác
Dựng hình ngũ giác đều
Dựng hình đa giác đều
Dựng đa giác đều 15 cạnh
Định lý đường cao tam giác vuông
Thuật toán dựng hình
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Dựng hình chỉ bằng compa
Dùng compa chia đều đoạn thẳng
Giải tích
Ngày số Pi 2015Chuỗi Taylor
Tổng nghịch đảo bình phương
Giúp bé thông minh
Xì-tin năng động
Tạp chí toán học
Kỹ năng mềm
Tạo lập tài khoản googleCách tạo blog toán học
Học toán trên Wolfram
Dịch tài liệu toán học
Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX
Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive
Từ khóa » Cách Vẽ đa Giác đều Bằng Compa
-
KQNC13 – Vẽ Một đa Giác đều Có N Cạnh Bằng Thước Thẳng Và Compa
-
TTV: Mẹo Vẽ Các đa Giác đều Phổ Biến Chỉ Bằng Thước & Compa!
-
Cách Vẽ Hình Ngũ Giác đều, Lục Giác đều, Tam Giác đều Và ... - YouTube
-
Các Bước Dựng Ngũ Giác đều Bằng Compa Và Thước Thẳng
-
Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Vẽ Ngũ Giác đều
-
Hướng Dẫn Cách Vẽ Ngũ Giác đều Chính Xác Và đơn Giản Nhất
-
Cách Vẽ Lục Giác đều Bằng Compa Và Không Cần Compa đều đẹp
-
Dựng đa Giác đều N Cạnh (bằng Thước Thẳng Và Compa) - Giáo Án
-
Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Vẽ Ngũ Giác đều - VOH
-
Cách Vẽ Lục Giác đều đơn Giản Nhất - TopLoigiai
-
Cách Vẽ Lục Giác đều - Mẹo Vẽ Chưa đầy 1 Phút - Giáo Viên Việt Nam
-
Vẽ Ngũ Giác đều Bằng Thước Và Compa Lớp 8 - 123doc
-
Cách Vẽ Tam Giác đều, Tứ Giác đều, Ngũ Giác đều Và Lục Giác đều
-
Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Vẽ Ngũ Giác đều