KQNC13 – Vẽ Một đa Giác đều Có N Cạnh Bằng Thước Thẳng Và Compa
Có thể bạn quan tâm
Kết quả nghiên cứu nầy gồm 3 phần:
Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng và compa Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa Phần 3 – Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau. Hệ luận Thuận Hoà (hay Thuanhoa’s corollary)
____________________
Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa
(Cũng như Phần 1, Phần 2 là tiền đề cho Phần 3. Thuận Hoà chỉ trình bày lại những kết quả đã biết và phổ biến trong nhiều sách và Internet.)
Bạn có thể chỉ dùng thước thẳng và compa để vẽ được một cách dễ dàng một tam giác đều, một tứ giác đều (hình vuông), một lục giác đều, một bát giác đều. Bạn cũng có thể (chỉ dùng thước thẳng và compa) để vẽ được một ngũ giác đều, mặc dầu hơi khó khăn một chút. Nhưng, bạn không thể vẽ được một đa giác đều có 7 cạnh hay 9 cạnh!
Cách vẽ một ngũ giác đều (5 cạnh) nội tiếp trong vòng tròn có thể thực hiện bằng phương pháp Richmond như sau:
P1P2 là cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn có bán kính bằng 1.
Tóm lại, P1P2 = s là cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn có bán kính bằng 1.
Một cách vẽ khác mà không chứng minh, như sau:
E, P’, P”, Q’ và Q” là đỉnh của một ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn (C).
Điều kiện để vẽ được một đa giác đều chỉ bằng thước thẳng và compa
Không phải chỉ dùng thước thẳng và compa mà vẽ được mọi đa giác đều. Hỏi vậy, khi nào thì một đa giác đều có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa?
Năm 1796, nhà toán học Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giác đều có 17 cạnh bằng thước thẳng và compa, bằng cách xem các đỉnh của đa giác trên vòng tròn như là nghiệm của phương trình số phức zn – 1 = 0.
Năm năm sau, ông đã khai triển được lý thuyết gọi là “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu Số học). Lý thuyết nầy giúp ông tìm được điều kiện đủ để một đa giác đều có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa. Điều kiện đó như sau:
“Một đa giá đều có n cạnh có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa khi n bằng tích số của một luỹ thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat nguyên tố khác nhau.”
Nếu gọi F1, F2, … là các số Fermat nguyên tố khác nhau, thì điều kiện trên có thể viết như sau:
Đa giác đều n cạnh vẽ được khi n = 2m F1F2F3 …
Gauss cũng cho là điều kiện đó cũng là điều kiện cần nhưng không chứng minh. Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng mính được điều kiện của Gauss cũng là điều kiện đủ. Do đó, kết quả tìm được bởi Gauss và chứng minh đầy đủ bởi Wantzel được gọi là
Định lý Gauss-Wantzel:
“Điều kiện ắt có và đủ để một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa là n bằng tích số của một luỹ thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat nguyên tố khác nhau.”
Số Fermat là số có dạng F = 2k + 1 với k là một số nguyên.
Cho đến hiện nay, người ta chỉ biết có 5 số Fermat nguyên tố là:
F1 = 21 + 1 = 3, F2 = 22 + 1 = 5, F3 = 24 + 1 = 17 F4 = 28 + 1 = 257, F5 = 216 + 1 = 65,537
Theo điều kiện Gauss, thì các đa giác đều có n cạnh sau đây có thể vẽ được chỉ bắng thước thẳng và compas:
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, …
Thật vậy,
Với n = 3 => m = 0, F1 = 3; Với n = 5 => m = 0, F2 = 5 Với n = 15 => m = 0, F1 = 3, F2 = 5; Với n = 17 => m = 0, F3 = 17 Với n = 6 => m = 1, F1 = 3; Với n = 20 => m = 2, F2 = 5
Để ý là mọi đa giác đều có số cạnh là luỹ thừa của 2 như n = 4 = 22, n = 8 = 23, n = 16 = 24, … đều có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa.
Các đa giác đều có n cạnh sau đây không thể vẽ được bằng thước thẳng và compa:
n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, …
Thật vậy, không thể có số m nào và số Fermat nguyên tố nào mà có tích số 2mF1F2F3… bằng 7, 9, 11, ….
Tài liệ tham khảo
- http://www.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagon
- http://mathworld.wolfram.com/Pentagon.html
- Dorrie, H. “The Regular Heptadecagon” in “100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution”, New York Dover, pp 177-184, 1965
Hồ văn Hoà (Thuận Hoà)
Loading...Từ khóa » Cách Vẽ đa Giác đều Bằng Compa
-
TTV: Mẹo Vẽ Các đa Giác đều Phổ Biến Chỉ Bằng Thước & Compa!
-
Cách Vẽ Hình Ngũ Giác đều, Lục Giác đều, Tam Giác đều Và ... - YouTube
-
Các Bước Dựng Ngũ Giác đều Bằng Compa Và Thước Thẳng
-
Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Vẽ Ngũ Giác đều
-
Hướng Dẫn Cách Vẽ Ngũ Giác đều Chính Xác Và đơn Giản Nhất
-
Dựng Hình đa Giác đều - Vườn Toán
-
Cách Vẽ Lục Giác đều Bằng Compa Và Không Cần Compa đều đẹp
-
Dựng đa Giác đều N Cạnh (bằng Thước Thẳng Và Compa) - Giáo Án
-
Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Vẽ Ngũ Giác đều - VOH
-
Cách Vẽ Lục Giác đều đơn Giản Nhất - TopLoigiai
-
Cách Vẽ Lục Giác đều - Mẹo Vẽ Chưa đầy 1 Phút - Giáo Viên Việt Nam
-
Vẽ Ngũ Giác đều Bằng Thước Và Compa Lớp 8 - 123doc
-
Cách Vẽ Tam Giác đều, Tứ Giác đều, Ngũ Giác đều Và Lục Giác đều
-
Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Vẽ Ngũ Giác đều