Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng - Giải Bài Tập Hình Học 11

§3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

• Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ($\alpha$).

• Kí hiệu là d $\perp$ ($\alpha$).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất:

a) Tính chất 1:

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

* Mặt phẳng trung trực của một đoạn phẳng:

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Tính chất 2:

Có duy nhất một mặt đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng:

Tính chất 1:

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 2:

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thì song song với nhau.

Tính chất 3:

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng ($\alpha$) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với ($\alpha$) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc:

a) Phép chiếu vuông góc:

Cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$). Phép chiếu trên ($\alpha$) theo phương $\Delta$ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ($\alpha$).

b) Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ($\alpha$), b là đường thẳng không nằm trên ($\alpha$) và có hình chiếu xuống ($\alpha$) là đường thẳng b'. Khi đó: a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với hình chiếu b'.

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Định nghĩa: Nếu đường thẳng a $\perp$ ($\alpha$) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ($\alpha$) bằng 90°.

• Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên ($\alpha$) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ($\alpha$).

• Chú ý: Nếu $\varphi$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ($\alpha$) thì ta luôn có 0° $\leq \varphi \leq$ 90°

II. GIẢI ĐÁP CÂU HỎI GIÁO KHOA:

1. Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$), người ta phải làm như thế nào?

BÀI GIẢI

• Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) ta cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc ($\alpha$) hoặc chứng minh d // d' mà d' $\perp$ ($\alpha$).

2. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng d vuông góc với a và b. Khi đó đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a và b không?

BÀI GIẢI

• Đường thẳng d nói chung không vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) xác định bởi hai đường thẳng a và b song song.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ($\alpha$). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu a // ($\alpha$) và b $\perp$ ($\alpha$) thì a $\perp$ b.

b) Nếu a // ($\alpha$) và b $\perp$ a thì b $\perp$ ($\alpha$).

c) Nếu a // ($\alpha$) và b // ($\alpha$) thì b // a.

d) Nếu a $\perp$ ($\alpha$) và b $\perp$ a thì b // ($\alpha$).

BÀI GIẢI

a) Đúng.

Giải thích:

• a // ($\alpha$) ⇒ a // a' $\subset$ ($\alpha$). (1)

• b $\perp$ ($\alpha$) ⇒ b $\perp$ a'. (2)

(1) và (2) ⇒ a $\perp$ b

b) Sai.

Giải thích:

$\left\{\begin{matrix} a//(\alpha )\\ b\perp a \end{matrix}\right.$

Điều này chưa đủ để b $\perp$ ($\alpha$).

c) Sai.

Giải thích:

• a // ($\alpha$) ⇒ a // a' $\subset$ ($\alpha$).

• b // ($\alpha$) ⇒ b // b' $\subset$ ($\alpha$).

a' và b' có thể cắt nhau nên a và b có thể chéo nhau.

d) Sai.

Giải thích:

a $\perp$ ($\alpha$) và b $\perp$ a thì b có thể nằm trong mp ($\alpha$).

2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI).

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

BÀI GIẢI

a) Chứng minh BC $\perp$ (ADI):

• AI, DI là hai trung tuyến của các tam giác cân.

b) Chứng minh AH $\perp$ (BCD):

• Mà DI $\perp$ AH, BA cắt DI trong mp(BCD) ⇒ AH $\perp$ (BCD).

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD);

b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

BÀI GIẢI

a) Chứng minh SO $\perp$ (ABCD).

SO là trung tuyến của hai tam giác cân SAC, SBD nên

b) Chứng minh AC $\perp$ (SBD) và BD $\perp$ (SAC).

4. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác ABC;

BÀI GIẢI

a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

• Vậy ta đã có: AB $\perp$ CH; BC $\perp$ AH ⇒ H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh

• Gọi A' = AH $\cap$ BC.

Ta có

OH $\perp$ (ABC) ⇒ OH $\perp$ AA'.

• Tam giác vuông AOA' có đường cao OH

⇒

• BC $\perp$ (AOH) ⇒ BA $\perp$ OA'

• Tam giác vuông BOC có đường cao OA'

• Từ (1) và (2) suy ra

5. Trên mặt phẳng ($\alpha$) cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng ($\alpha$) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO $\perp$ ($\alpha$);

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH).

BÀI GIẢI

a) Chứng minh SO $\perp$ ($\alpha$).

$\Delta$SAC cân có trung tuyến SO nên SO $\perp$ AC.

$\Delta$SBD cân có trung tuyến SO nên SO $\perp$ BD.

Vậy SO vuông góc với hai đường thẳng AC, BD cắt nhau trong ($\alpha$) nên SO $\perp$ ($\alpha$).

b) Chứng minh AB $\perp$ (SOH).

• Ta có: AB $\perp$ SH (giả thiết).

$\left\{\begin{matrix} SO\perp (\alpha )\\ AB\subset (\alpha ) \end{matrix}\right.$ ⇒ SO $\perp$ AB

• Vậy: $\left\{\begin{matrix} AB\perp SO\\ AB\perp SH \end{matrix}\right.$ ⇒ AB $\perp$ (SOH)

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho $\large \frac{SI}{SB}$ = $\large \frac{SK}{SD}$. Chứng minh:

a) BD vuông góc với SC;

b) IK vuông góc với mặt phẳng (SAC).

BÀI GIẢI

a) Chứng minh BD $\perp$ SC:

• Ta có BD $\perp$ AC (vì ABCD là hình thoi)

b) Chứng minh IK $\perp$ mp (SAC).

• Do $\large \frac{SI}{SB}$ = $\large \frac{SK}{SD}$ nên trong mp (SBD), ta có:

7. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho $\large \frac{SM}{SB}$ = $\large \frac{SN}{SC}$ . Chứng minh rằng:

a) BC $\perp$ (SAB) và AM $\perp$ (SBC);

b) SB $\perp$ AN

BÀI GIẢI

a) Chứng minh BC $\perp$ (SAB) và AM $\perp$ (SBC).

b) Vì $\large \frac{SM}{SB}$ = $\large \frac{SN}{SC}$ nên MN // BC.

mà BC $\perp$ (SAB).

• Nên BC $\perp$ SB ⇒ SB $\perp$ MN.

⇒ SB $\perp$ (AMN) ⇒ SB $\perp$ AN

8. Cho điểm S không thuộc mặt phẳng ($\alpha$) có hình chiếu trên ($\alpha$) là điểm H. Với điểm M bất kì trên ($\alpha$) và M không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hình chiếu của chúng bằng nhau.

b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

BÀI GIẢI

a) Hai đường viền bằng nhau ⇔ Hai hình chiếu của chúng bằng nhau.

• Gọi HM, HN lần lượt là hình chiếu của SM, SN.

• Xét hai tam giác vuông SHM, SHN ta có:

SM = SN ⇔ $\Delta$SHM = $\Delta$SHN (cạnh SH chung).

⇔ HM = HN

• Vậy SM = SN thì HM = HN.

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại.

Ta có: SM > SN ⇔ $SM^{2}$ > $SN^{2}$

⇔ $SH^{2}$ + $HM^{2}$ > $SH^{2}$ + $HN^{2}$

⇔ $HM^{2}$ > $HN^{2}$ ⇔ HM > HN.

• Vậy đoạn xiên SM dài hơn đoạn xiên SN thì có hình chiếu HM dài hơn hình chiếu HN và ngược lại.