Giá Trị Của Giới Hạn Lim(x đến 1)x-x^3/(2x-1)(x^4-3) Là:...

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→∞fx=L hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét: limx→∞x=x0,limx→∞c=c với c là hằng số.

Ví dụ 1. Cho hàm số fx=x3−8x−2. Chứng minh rằng limx→2fx=12.

Giải

Hàm số xác định trên ℝ\2

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn≠2 và xn→2 khi n→+∞.

Ta có:

limfxn=limxn3−8xn−2=limxn−2xn2+2xn+4xn−2=limxn2+2xn+4=12.

Vậy limx→2fx=12.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử limx→x0fx=L và limx→x0gx=M. Khi đó:

limx→x0fx+gx=L+M;

limx→x0fx−gx=L−M;

limx→x0fx.gx=L.M;

limx→x0fxgx=LMM≠0;

b) Nếu fx≥0 và limx→x0fx=L thì L≥0 và limx→x0fx=L.

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với x≠x0 ).

Ví dụ 2. Cho hàm số fx=1−xx−42. Tính limx→4fx.

Giải

Ta có: limx→41−x=−3<0, limx→4x−42=0

⇒limx→4fx=limx→41−xx−42=−∞

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→x0+fx=L

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu:limx→x0−fx=L .

Định lí 2

limx→x0fx=L⇔limx→x0+f(x)=limx→x0−fx=L

Ví dụ 3. Cho hàm số fx=x+1 khi x≥02x khi x < 0. Tìm limx→0+f(x);limx→0−f(x) và limx→0f(x) (nếu có).

Giải

Ta có: limx→0+f(x)=limx→0+x+1=0;limx→0−f(x)=limx→0−2x=0;

⇒limx→0+f(x)=limx→0−fx=0

Do đó limx→0f(x)=0.

Vậy limx→0+f(x)=limx→0−fx=0 và limx→0f(x)=0.

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→+∞fx=L

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→−∞fx=L

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

limx→+∞c=c;limx→−∞c=c;limx→+∞cxk=0;limx→−∞cxk=0.

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞

Kí hiệu:limx→∞fx=−∞

Nhận xét: limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=−∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) limx→+∞xk=+∞ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì limx→−∞xk=+∞;

Nếu k lẻ thì limx→−∞xk=−∞.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương fxgx

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x≠x0)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

x→x0+,x→x0−;x→+∞;x→−∞.

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

a) limx→∞x4−3x+8;

b) limx→1−5x−62x−2;

c) limx→−3+xx+3;

Giải

a) limx→+∞x4−3x+8=limx→∞x41−3x3+8x4=limx→+∞x4.limx→+∞1−3x3+8x4=+∞

(Vì limx→+∞x4=+∞;limx→+∞1−3x3+8x4=1).

b) limx→1−5x−62x−2=limx→1−5x−6:limx→1−2x−2=+∞

(Vì limx→1−5x−6=−1<0;limx→1−2x−2=0 và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1).

c) limx→−3+xx+3=limx→−3+x:limx→−3+x+3=−∞

( Vì limx→−3+x=−3<0;limx→−3+x+3=0 và x + 3 > 0 với mọi x > - 3 ).