- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 11›
Giải Bài Tập Toán 11›
Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số›
Bài 2. Giới hạn của hàm số Giải toán 11 Bài 2. Giới hạn của hàm số
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM số A. KIẾN THỨC CÃN BẢN GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM số TẠI MỘT ĐIEM Định nghĩa Cho khoảng K chứa điểm Xo và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {Xo}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi X dần tới Xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn e K \ {x0} và xn -> x0, ta có f(xn) dần tới L. Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) -> L khi X -> x0. x->Xg Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M. Khi đó X—>Xq X—>Xq lim [f(x) + g(x)] = L + M; x-»x0 . lim [f(x) - g(x)] = L - M; x-»x0 . lim [f(x).g(x)] = L.M; x->x0 f(x) L lim -7-7 = 7“ (nếu M * 0). x->x0 g(x) M Nếu f(x) > 0 và lim f(x) = L, thì L > 0 và lim Jf(x) = 7Ĩ . X->x0 X—»xg (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với X * x0). Giới hạn một bên Cho hàm sô' y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi X -> Xo nếu với dãy số (xn) bất kì, Xo x0, ta có f(xn) -> L. Kí hiệu lim f(x) = L. X-»Xq Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi X -> x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a x0, ta có f(xn) -> L. Kí hiệu lim f(x) = L. x->x0 Định lí: lim f(x) = L khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) = L. X-»Xg x-»xỏ X->xj GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM số TẠI VÔ cực Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +oo). Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là số L khi X -> +00 nếu với dãy số (xn) bất kl, xn > a và xn -> +00, ta có f(xn) -» L. Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) -> L khi X -> +00. X—>+00 Cho hàm sô' y =f(x) xác định trên khoảng (-oo; a). Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là sô' L khi X -» -00 nếu với dãy sô' (xn) bất kì, xn -00, ta có f(xn) -> L. Kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) -> L khi x -> -00. X—>—<30 GIỚI HẠN VÔ cực CỦA HÀM số Giới hạn vô cực Định nghĩa: Cho hàm sô' y - f(x) xác định trên khoảng (a; +oo). Ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là -00 khi X -> +00 nếu với dãy sô' (xn) bất kl, xn > a và xn -> +00, ta có f(xn) -> -00. Kí hiệu lim f(x) = -00 hay f(x) -> -00 khi X -> +00. X—»+co Nhận xét: lim f(x) = +00 lim (-f(x)) = -00. X->+cc X—>+<o Các giới hạn đặc biệt lim xk = +00 với k nguyên dương. X—>+<30 lim xk = -00 nếu k là sô' lẻ. X—>—<30 lim xk = +00 nếu k là sô' chẵn. X->—00 Các quy tắc tìm giới hạn lim f(x) x-»x0 lim g(x) x->x0 lim f(x).g(x) x-»xg L > 0 +00 ' + 30 -00 -00 L < 0 +00 -00 -00 +00 lim f(x) x-»x0 lim g(x) x-»x0 Dấu của g(x) .. f(x) lim -f-i x->x0 g(x) L ±00 Tùy ý 0 L > 0 0 + +00 - -00 L < 0 + -00 - +00 2-5xà các dãy số (Un) với u„ = - ; (vn) với Vn = . n n c. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Dùng định nghĩa, tim các giới hạn sau: x + 1 a) lim X-.4 3x - 2 ' b) lim x->«c x + 3 £jtải a) Xét hàm số f(x) = x + 1 3x - 2 có tập xác định D = K\ ± ±;+00 ;x = 4 e Giả sử (xn) là dãy số bất kì với xn > ; xn í 4 và x„ 4 khi n -> +00. 3 2-5xTính limUn, limVn, limf(Un) và limf(Vn). Từ đó có kết luận gi về giới hạn của hàm số đã cho khi X -> 0? „ xác định trên K. x2 + 3 Giả sử (xn) là dãy số bất kì, xn -> +x khi n +00. 2 - 5x2 X2 - 5 Ta có limílXn) = lim—° = lim „ = -5. b) Hàm sô' f(x) = 4+3 VA i;~ 2-5x2 Vậy lim —-- ■■ = -5. *-»+« X2 + 3 Cho hàm số f(x) = nếux>0 [2x nê’ux<0 (sjiai limVn = liml - —I =0. Ta có limun = lim— = 0; n Do un = — > 0 và vn = <0, nên f(un) = /— + 1 và f(vn) = - —. n .11 V n n Từ đó: limf(un) = lim — + 11=1; n limf(vn) = lim— = 0. Vi un -» 0 và vn -> 0, nhưng limflUn) * limf(vn) nên hàm số f(x) không có giới hạn khi X —> 0. Tính các giới hạn sau: a) lim X ->-( d) lim 3 X + 1 2x-6 4 - X b) lim X-.-; e) lim 4-xz 2 X + 2 17 c) lim Jx + 3 - 3 .6 X - 6 -2xz + X -1 a) Ta có lim x2-l x->-3 X + x--'X ^1 ỐịiẦi f) lim X-XWC 3 + X -- = lim (x -1) = -3 -1 = -4 1 x-x-3 4 - X2 lim = lim(2-x)=4 X—»—2 X + 2 X—*—2 . 1. Vx + 3 - 3 . lim —-— = lim x->6 x-6 (x + 3)-9 ' 1 1 m . . , 7 = lim . —- = — *6 (x - 6)(\/x + 3 + 3) x~*6 Vx + 3 +3 6 d) lim 4—- = lim x-»+x 4 — X x->+co XR) 2~x 2 \ 4 = lim = 4 = -2 17 Vì lim (X2 + 11 = +00 nên lim ——— = 0 0 lim '•'•y ‘ - lim x-x+oo 3 + X X—»+x X -2 + 11 X X2 ..I 3 , , XI - + 1 X X—>+co \ ' x-*+co + 1 -2 +-2+ 4 = lim X —-—— = -00 (vì lim X= +00 và lim —-—— = -2 < 0). X—»+cO O X—»+cC X—>+CC O „ - +1 — + 1 X X 4. Tìm các giới hạn sau: 3x-5 a) lim X—»2 (x-2)2 . . , 2x-7 2x-7 t>) lim ■ ; c) lim ——7-. X-.1- X - 1 X -1 Ốịiảí lim(3x -5)= 1 > 0; lim(x - 2)2= 0 và (x - 2)2 > 0, Vx * 2 X—»2 ’ x-»2 7 3x-5 => lim—- - = +0O *“2(x-2)2 lim (2x - 7) = -5 lim -X - 7 = +00. x-»r X-»J- ' x“i X -1 ,. / _ 2x — 7 lim (2x - 7) = -5 0 => lim ——— = -00 x-»i+ X-»1+ x-r X -1 5. Cho hàm số f(x) = * + 2 , có đồ thị như hình dưới. X2 - 9 Quan sát đồ thị và nêu nhận xét vể hàm số đã cho khi X -> -a>, X -> 3' và X -» -3‘. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau: lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-»; -3), x-»-x lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3), x->3’ • lim f(x) với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3). ỐỊiải a) lim f(x) = 0, lim f(x) = -00, lim f(x) = +oc. x->-=0 x-»3“ x->-3+ *1 '1 2Ì <x + X2 J X2 1-1 l X2 J x“b-+-2i 1+4 b) lim f(x) = lim ——^-4- = lim ——= 0 X—>—00 X-»-cc 9 ( 9 I X—>—co - y x 1--J lim f(x) = lim x->3_ = +» =-00 ; lim fíx) = lim . x~3* (x - 3)(x + 3) x”-3* x-»-3+(x - 3)(x + 3) Tính: a) lĩm (X -Xc + X-1); C) lim vx -2X + Õ X-++X X->-X t>) lim (—2x3 + 3x2 - 5) d) lim + 1 . X—»-x X—>+« 5 - 2x ốịlẦi lim (x4 - X2 + X - 1) = lim X4 11 -1= +C0 X—»+co X—>+cc ỵ x^ XJ X? J (vì lim X4 = +00 và lim I 1 - + “3 - Ậ I = 1 > 0) X->+cc X—>+ce Ỳ X* X X4 / lim (-2x3 + 3x2 - 5) = lim xs(-2 + — - -^-) = +00 X->-co X->-00 X (vì lim X3 = -00 và lim (-2 + — - -^-) = -2-00 X lim 7x2 - 2x + 5 = lim |x| /1- — + -^- =+00 X—00 x->-oo Y X x^ I 2 5- (vì lim Ixl = +00 và lim 1 - — + —r = 1 > 0) X-+-CŨ X—>—00 ỵ X X = -l. .„ 77TĨ.X x ? ■ x‘ •1 .... fĩ -2 x^»+M 5 - 2x x-»+<o (5 7. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A'B’ của nó tới quang tâm o cùa thấu kính. Công thức thấu kinh là 4 + 37= / ■ d d' f X -- - 2 í d d' 1« - *1«-- Tìm biểu thức xác định hàm số d' = <p(d). Tim lim (d) và lim <p(d). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được. d->f* d->f" d~>+' éỹlải a) Từ hệ thức 3- + 37 = 3 suy ra: d' = tp(d) = tá J d d' f d-f b) • lim <p(d) = lim J .r+ ' ' .f+ fd d->r ' ’ d->f+ d - f = +00. Kết quả này nghĩa là: nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực. nghĩa là: nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực. d-*+co nghĩa là: nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính). c. BÀI TẬP LÀM THỀM 1. Tính các giới hạn sau: X3 -4x2 +X + 2 a) lim X->1 X - 3x + 2 b) lim x-»0 2x 5/1 +- X — 1 c lim ; x-ii/x-1 -Hướng ìẫn: a) X3 - 4x2 + X + 2 = (x - l)(x2 - 3x - 2). Đáp số: 7. d) lim x-»ỏ b) Đáp sô': ; c) Đặt t = . Đáp số: . 3 Đặt t = 3/l + x và áp dụng: tn - 1 = (t - l)(tn_1 + tn’2 +...+ t + 1). Đáp số: . n 2. Tính các giới hạn: Đáp số: a) X -1 lim——— X-»1 x" -1 n(n-l) —— • X -nx + n-1 b) lim- —— X-»1 x-1 Vx2 +1 b) lim ịx-Vx2 +5x ); X—>+cc \ / Tính các giới hạn: a) .Iim - X'Ạ+Kx + 1 + Vx2 +1 lim ỉ7x2 +1 - >Jx3 -ì) . X—>+cc \ / Đáp số: a) — ; 2 Tìm các giới hạn sau: a) lim (-3x3 + 4x2 - 2x + 1); X—»-oo . 5x~1. lim X-»1 1-x ĐS: a) +oo; b) +oo; Tlm các giới hạn sau: , 3x 2 a) lim - ; ; X_>_1(x + 1) (x-2) 0. b) lim A?2x4 -2x-1 X—>—00 .. 5x-1 lim--—-. X—>1 1-X c) -oo; d) +oo; b) lim- ——- — . *->-1(x+ 1)(X2 -2x + 3) ĐS: a) +oo; b) -00.
Các bài học tiếp theo
- Bài 3. Hàm số liên tục
- Ôn tập chương IV
- Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
- Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
- Bài 4. Vi phân
- Bài 5. Đạo hàm cấp hai
- Ôn tập chương V
- Ôn tập cuối năm
Các bài học trước
- Bài 1. Giới hạn của dãy số
- Ôn tập chương III
- Bài 4. Cấp số nhân
- Bài 3. Cấp số cộng
- Bài 2. Dãy số
- Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
- Ôn tập chương II
- Bài 5. Xác suất của biến cố
- Bài 4. Phép thử và biến cố
- Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
Tham Khảo Thêm
- Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
- Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
- Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số(Đang xem)
- Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
- Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
- Giải Toán 11 Hình Học
- Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
- Giải bài tập Hình học 11
Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
- Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Bài 1. Hàm số lượng giác
- Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
- Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
- Ôn tập chương I
- Chương II. Tổ hợp - Xác suất
- Bài 1. Quy tắc đếm
- Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
- Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
- Bài 4. Phép thử và biến cố
- Bài 5. Xác suất của biến cố
- Ôn tập chương II
- Chương III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
- Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
- Bài 2. Dãy số
- Bài 3. Cấp số cộng
- Bài 4. Cấp số nhân
- Ôn tập chương III
- Chương IV. Giới hạn
- Bài 1. Giới hạn của dãy số
- Bài 2. Giới hạn của hàm số(Đang xem)
- Bài 3. Hàm số liên tục
- Ôn tập chương IV
- Chương V. Đạo hàm
- Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
- Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
- Bài 4. Vi phân
- Bài 5. Đạo hàm cấp hai
- Ôn tập chương V
- Ôn tập cuối năm
