Giải Bài 2 Trang 43 SGK Giải Tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

\(y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\);

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y...\) 

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).\)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D=\mathbb R\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\)

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\).

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\)

- Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Đồ thị