Giải Bài 2 Trang 43 – SGK Môn Giải Tích Lớp 12 - Chữa Bài Tập

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) \(y=-{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1\)

b) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)

c) \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}\)

d) \(y=-2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+3 \)

Lời giải:

Hướng dẫn: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn

* Tìm tập xác định

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên: Tính \(y'\) và giải phương trình \(y'=0\). Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.

+) Giới hạn tại vô cực: Tính \(\lim\limits_{x\to \pm\infty }\,y\)

+) Lập bảng biến thiên

* Vẽ đồ thị hàm số

a) \(y=-{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1\)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=-4{{x}^{3}}+16x=-4x\left( {{x}^{2}}-4 \right);\, \\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 2 \\ \end{align} \right. \)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\,\text{và}\,\left( 0;\,2 \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -2;\,0 \right)\) và \(\left( 2;\,+\infty \right)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=\pm2;\,y_{CĐ}=15\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=-1\).

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(-1+ \dfrac{8}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{4}}} \right) \right]=-\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(-1+ \dfrac{8}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{4}}} \right) \right]=-\infty \)

+Bảng biến thiên

* Đồ thị  

b) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=4x^3-4x=4x(x^2-1);\,\\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right. \)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,-1)\,\text{và}\,(0;\,1)\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;\,0)\) và \((1;\,+\infty)\).

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,y_{CĐ}=2\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm1;\,y_{CT}=1\).

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(1- \dfrac{2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(1- \dfrac{2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{4}}} \right) \right]= +\infty \)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị  

c) \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=2{{x}^{3}}+2x=2x\left( {{x}^{2}}+1 \right);\,\\y'=0\Leftrightarrow x=0\)

Hàm số đồng biến trên \((0;\,+\infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty;\,0)\).

+) Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=-\dfrac{3}{2}\) và không có cực đại.

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]= +\infty \)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị 

d) \(y=-2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+3 \)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=-4x-4{{x}^{3}}=-4x\left( 1+{{x}^{2}} \right);\,\\y'=0\Leftrightarrow x=0\)

Hàm số đồng biến trên \((-\infty;\,0)\) và nghịch biến trên \((0;\,+\infty)\).

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,y_{CĐ}=3\) và không có cực tiểu.

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ - {{x}^{4}}\left(2 + \dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{{{x}^{4}}} \right) \right]= -\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ - {{x}^{4}}\left(2 + \dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{{{x}^{4}}} \right) \right]= -\infty \)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị  Tham khảo lời giải các bài tập Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khác • Giải bài 1 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12 Khảo sát sự biến... • Giải bài 2 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12 Khảo sát sự biến... • Giải bài 3 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12 Khảo sát sự biến... • Giải bài 4 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Bằng cách khảo sát hàm... • Giải bài 5 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 a) Khảo sát sự... • Giải bài 6 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm... • Giải bài 7 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm số... • Giải bài 8 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm... • Giải bài 9 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm... Mục lục Giải bài tập SGK Toán 12 theo chương •Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12 •Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12 •Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 •Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12 •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 •Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12 •Chương 4: Số phức - Giải tích 12