Giải Bài 3 Trang 169 – SGK Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(a)\,y=5\sin x-3\cos x; \)

\(b)\,y=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}; \)

\(c)\,y=x\cot x;\)

\(d)\,y=\dfrac{\sin x}{x}+\dfrac{x}{\sin x}; \)

\(e)\,y=\sqrt{1+2\tan x};\)

Lời giải:

Nhắc lại:

Công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác:

\((\sin x)'=\cos x\\ (\cos x)'=-\sin x\\ (\tan x)'=\dfrac 1 {\cos^2 x}\\ (\cot x)'=-\dfrac 1 {\sin ^2 x}\)

 

a) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm \(\sin x\) và \(\cos x\)

\(y'=\left( 5\sin x \right)'-\left( 3\cos x \right)'=5\cos x+3\sin x \)

b) Sử dụng công thức \(\left( \dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\) và công thức đạo hàm của hàm \(\sin x;\,\, \cos x\)

\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \sin x+\cos x \right)'\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \sin x-\cos x \right)'}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}-{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-1+2\sin x\cos -1-2\sin x\cos x}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-2}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ \end{align}\) c) Sử dụng công thức đạo hàm của tích \( \left( u.v \right)'=u'v+uv'\)

\(y'=\cot x+x\left( \cot x \right)'=\cot x+x.\dfrac{-1}{{{\sin }^{2}}x}=\cot x-\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x} \)

d) Sử dụng công thức đạo hàm của một thương \(\left( \dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\) và đạo hàm của tổng.

\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \sin x \right)'x-\sin x.x'}{{{x}^{2}}}+\dfrac{x'.\sin x-x.\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{2}}x} \\ & =\dfrac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \\ & =\left( x\cos x-\sin x \right)\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right) \\ \end{align}\)

e) Sử dụng công thức \( \left( \sqrt{u} \right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \)

\(y'=\dfrac{\left( 1+2\tan x \right)'}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\dfrac{\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x}}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{1+2\tan x}} \)

f) Sử dụng công thức \(\left( \sin u \right)'=u'\cos u \)

\(\begin{align} & y'=\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)'\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)'}{2\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}} \\ \end{align} \)

 

 

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác khác • Giải bài 1 trang 168 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tìm đạo hàm của các... • Giải bài 2 trang 168 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Giải các bất phương... • Giải bài 3 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tìm đạo hàm của các... • Giải bài 4 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tìm đạo hàm của các... • Giải bài 5 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tính \(\dfrac{f'\left(... • Giải bài 6 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh các hàm số... • Giải bài 7 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Giải phương trình... • Giải bài 8 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bất phương trình... Mục lục Giải bài tập SBT Toán 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)