Giải Bài 5 Trang 121 – SGK Môn Giải Tích Lớp 12 - Chữa Bài Tập

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt

\(\widehat{POM}=\alpha ,\,OM=R\,\left( 0\le \alpha \le \dfrac{\pi }{3},\,R>0 \right)\)

Gọi \(\vartheta \) là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.

a) Tính thể tích của \(\vartheta \) theo \(\alpha\) và R.

b) Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích \(\vartheta \) lớn nhất.

 

 

Lời giải:

Gợi ý:

a) Dựa vào định lí về cạnh và góc trong tam giác vuông tìm tọa độ điểm M và viết phương trình đường thẳng OM. Sau đó tính thể tích theo công thức.

b) Đặt \(cos \alpha=t\) sử dụng ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.

 

a) Ta có

\(OP=OM.\cos \alpha =R.cos\alpha \\ PM=OM.sin\alpha =Rsin\alpha \\ \Rightarrow M\left( R\cos \alpha ;\,R\sin \alpha \right) \)

Đường thẳng OM đi qua gốc tọa độ và có góc hợp bởi OM và Ox bằng \(\alpha\)

Phương trình đường thẳng \(OM:\,y=\left( \tan \alpha \right).x\)

Thể tích cần tìm là

\(\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{0}^{R\cos \alpha }{{{x}^{2}}{{\tan }^{2}}\alpha dx} \\ & =\pi {{\tan }^{2}}\alpha .\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} R\cos \alpha \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{3}\left( \cos \alpha -co{{s} ^{3}}\alpha \right)\,\left( \text{đvtt} \right) \\ \end{aligned} \)

b) Đặt \(t=\cos \alpha \Rightarrow t\in \left[ \dfrac{1}{2};\,1 \right]\) vì \(\left( \alpha \in \left[ 0;\,\dfrac{\pi }{3} \right] \right)\)

\(V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{3}\left( t-{{t}^{3}} \right) \\ V'=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{3}\left( 1-3{{t}^{2}} \right)\, \\ V'=0\Leftrightarrow t=\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ & t=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \)

\(\max\limits_{\left[ 0;\,\frac{\pi }{3} \right]} \,V\left( \alpha \right)=\max\limits_ {\left[ 0;\,\frac{\pi }{3} \right]} \,V\left( t \right)= V\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{2\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{3} \\ \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \alpha =\arccos \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \)

 

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học khác • Giải bài 1 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính diện tích hình... • Giải bài 2 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính diện tích hình... • Giải bài 3 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Parabol \(y=\dfrac{x^2}{2... • Giải bài 4 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính thể tích khối... • Giải bài 5 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho tam giác vuông OPM có... Mục lục Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao) theo chương •Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)