Giải Bài Tập Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Trang chủ » Các Bài Tập Về Quy Nạp Toán Học 11 » Giải Bài Tập Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Có thể bạn quan tâm

Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán họcGiải bài tập môn Toán lớp 11 Tải về Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi. Mua ngay Từ 79.000đ Tìm hiểu thêm

Giải bài tập Toán 11 Giải tích: Phương pháp quy nạp toán học

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học, nội dung tài liệu gồm 5 bài tập kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

  • Giải bài tập trang 17, 18 SGK Giải tích 11: Hàm số lượng giác
  • Giải bài tập Toán 11 ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
  • Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11: Phương trình lượng giác cơ bản
  • Giải bài tập Toán 11 ôn tập chương 2: Tổ hợp - xác suất

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

a. 2+5+8+...+3n-1=\frac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\(2+5+8+...+3n-1=\frac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\)   (1)

b. \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{6}}}=\frac{{{2}^{n-2}}}{{{2}^{n}}}\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{6}}}=\frac{{{2}^{n-2}}}{{{2}^{n}}}\)              (2)

c. {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\({{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\)       (3)

Hướng dẫn giải

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n\in \mathbb{N}^*\(n\in \mathbb{N}^*\) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp).

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Lời giải:

a. Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

VP = \dfrac{3 + 1}{2}\(\dfrac{3 + 1}{2}\)

Vậy VT = VP (1) đúng với n = 1

Giả thiết (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+3k – 1 = \dfrac{k(3k+1)}{2}\(2 + 5 + 8 + …+3k – 1 = \dfrac{k(3k+1)}{2}\) (1a)

Ta chứng minh (1a) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

2+5+8+...+3k-1+3(k+1)-1=\dfrac{(k+1)[3(k+1)+1]}{2}\(2+5+8+...+3k-1+3(k+1)-1=\dfrac{(k+1)[3(k+1)+1]}{2}\)

\begin{align} & \left( 1a \right)\Leftrightarrow 2+5+8+...+3k-1+3\left( k+1 \right)-1 \\ & =\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3\left( k+1 \right)-1 \\ & =\frac{3{{k}^{2}}+7k+4}{2}=\frac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2} \\ \end{align}\(\begin{align} & \left( 1a \right)\Leftrightarrow 2+5+8+...+3k-1+3\left( k+1 \right)-1 \\ & =\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3\left( k+1 \right)-1 \\ & =\frac{3{{k}^{2}}+7k+4}{2}=\frac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2} \\ \end{align}\)

\Rightarrow\(\Rightarrow\)(1) đúng với n = k +1, vậy (1a) đúng với n\in \mathbb{N}\(n\in \mathbb{N}\)

b. \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}=\frac{{{2}^{n}}-1}{{{2}^{n}}}\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}=\frac{{{2}^{n}}-1}{{{2}^{n}}}\)

Với n = 1 thì \left\{ \begin{matrix} VT=\dfrac{1}{2} \\ VP=\dfrac{1}{2} \\ \end{matrix}\Rightarrow VT=VP \right.\(\left\{ \begin{matrix} VT=\dfrac{1}{2} \\ VP=\dfrac{1}{2} \\ \end{matrix}\Rightarrow VT=VP \right.\)

Vậy (2) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}\)

Khi đó ta chứng minh (2) đúng với n = k +1

Ta có :

\begin{align} & \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}} \\ & =\frac{{{2}^{k+1}}-2}{{{2}^{k+1}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}} \\ \end{align}\(\begin{align} & \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}} \\ & =\frac{{{2}^{k+1}}-2}{{{2}^{k+1}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}} \\ \end{align}\)

(2) đúng với n = k + 1. Vậy nó đúng với mọi n ∈ N*

c. {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\({{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\) (3)

Khi n = 1 vế trái bằng 1

VP=\frac{1\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)}{6}=1\Rightarrow VT=VP\(VP=\frac{1\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)}{6}=1\Rightarrow VT=VP\)

Vậy (3) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:

{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}\({{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}\) (3a)

Ta phải chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1

+ Ta cộng 2 vế của (3) cho (k + 1)2

\begin{align} & {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\frac{\left( k+1 \right)}{6}\left[ k\left( 2k+1 \right)+6\left( k+1 \right) \right] \\ & =\frac{\left( k+1 \right)}{6}\left( 2{{k}^{2}}+7k+6 \right) \\ & =\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2k+3 \right)}{6} \\ & =\frac{\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)+1 \right]\left[ 2\left( k+1 \right)+1 \right]}{6} \\ \end{align}\(\begin{align} & {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\frac{\left( k+1 \right)}{6}\left[ k\left( 2k+1 \right)+6\left( k+1 \right) \right] \\ & =\frac{\left( k+1 \right)}{6}\left( 2{{k}^{2}}+7k+6 \right) \\ & =\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2k+3 \right)}{6} \\ & =\frac{\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)+1 \right]\left[ 2\left( k+1 \right)+1 \right]}{6} \\ \end{align}\)

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Do đó, đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

b. 4^n + 15n – 1\(4^n + 15n – 1\) chia hết cho 9

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n\in \mathbb{N}^*\(n\in \mathbb{N}^*\) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp).

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Lời giải:

Đặt An = n^3 + 3n^2 + 5n\(n^3 + 3n^2 + 5n\)

+ Ta có: với n = 1

A_1 = 1 + 3 + 5 = 9\(A_1 = 1 + 3 + 5 = 9\) chia hết 3

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (k^3 + 3k^2 + 5k)\(A_k = (k^3 + 3k^2 + 5k)\) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh A_{k + 1}\(A_{k + 1}\) chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1)\(A_{k + 1} = (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1)\)

= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 5k + 5\(= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 5k + 5\)

= (k^3 + 3k^2 + 5k) + 3k^2 + 9k + 9\(= (k^3 + 3k^2 + 5k) + 3k^2 + 9k + 9\)

Theo giả thiết quy nạp A_k\(A_k\) chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên A_n\(A_n\) = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt A_n = 4^n + 15n – 1\(A_n = 4^n + 15n – 1\)

với n = 1 => A_1\(A_1\) = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (4^k + 15k – 1)\(A_k = (4^k + 15k – 1)\) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: A_{k+1}\(A_{k+1}\) chia hết 9

Thật vậy, ta có:

Ak+1 = (4k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4k.41 + 15k + 15 – 1

= (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15) = Ak + 3(4k + 5)

Theo giả thiết quy nạp A_k\(A_k\) chia hết 9, hơn nữa:

3(4k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k ≥ 1 nên A_{k+1}\(A_{k+1}\) chia hết 9

Vậy An = 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 => U1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

U_k = (k^3 + 11k)\(U_k = (k^3 + 11k)\) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: Uk+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 11k + 11\(k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 11k + 11\)

= (k^3 + 11k) + 3k^2 + 3k + 12 = U_k + 3(k^2 + k + 4)\(= (k^3 + 11k) + 3k^2 + 3k + 12 = U_k + 3(k^2 + k + 4)\)

+ Theo giả thiết quy nạp thì:

U_k\(U_k\) chia hết 6, hơn nữa 3(k^2 + k + 4) = 3(k(k+1)+4)\(3(k^2 + k + 4) = 3(k(k+1)+4)\) chia hết 6 ∀k ≥ 1 (2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: Uk+1 chia hết 6

Vậy: Un = n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a. 3n > 3n + 1

b. 2n+1 > 2n + 3

Hướng dẫn giải

Trong trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì thuật toán là:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Lời giải:

a. 3^n 3n + 1\(3^n > 3n + 1\) (1)

+ Với n = 2 thì (1) <=> 8 > 7

Luôn luôn đúng khi x = 2

+ Giả thiết mệnh đề (1) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 3^k 3k + 1\(3^k > 3k + 1\)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

3k+1 = 3.3k > 3(3k + 1) (theo giả thiết)

3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k +1) + 6k > 3(k + 1) +1 (vì k > 2)

Vậy 3k+1 > 3(k + 1) + 1

Mệnh đề đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ≥ 2

b. 2k+1 > 2n + 3

+ Với n = 2, ta có: 23 = 8 > 2.2 + 3 = 7

Vậy mệnh đề đúng khi x = 2.

+ Giả thiết mệnh đề đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3 (2)

+ Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh:

2[(k+1)+1] > 2(k + 1) + 3 hay 2k+2 > 2k + 5

Nhân hai vế của (2) cho 2, ta được:

2k+1.2 = 2k+2 > 2(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + (2k + 6) (3)

Mà k ≥ 2 => 2k + 6 = 2.2 + 6 = 10 > 5

(3) => 2k+1 > 2k + 5 (2)

Mệnh đề đúng với n = k + 1 nên cũng đúng ∀ n ∈ N*.

Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):

Cho tổng {{S}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}\({{S}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}\) với n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

a. Tính S1, S2, S3

b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Hướng dẫn giải

a. Tình giá trị dãy số ta thay mỗi giá trị cần tính tương ứng.

b. Tính chất \frac{1}{n.\left( n+1 \right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\(\frac{1}{n.\left( n+1 \right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Lời giải:

a.

\begin{align} & {{S}_{1}}=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{1+1} \\ & {{S}_{2}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{1+2} \\ & {{S}_{3}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{1+3} \\ \end{align}\(\begin{align} & {{S}_{1}}=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{1+1} \\ & {{S}_{2}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{1+2} \\ & {{S}_{3}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{1+3} \\ \end{align}\)

b. Dự đoán {{S}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}=1-\frac{1}{n+1}\({{S}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}=1-\frac{1}{n+1}\) (1)

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

Với n = 1 thì (1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k, ta có:

{{S}_{k}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=1-\frac{1}{k+1}\({{S}_{k}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=1-\frac{1}{k+1}\)

Khi đó với n = k + 1 thì tổng vế trái của (1) là:\begin{align} & {{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \\ & {{S}_{k+1}}=1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \\ & {{S}_{k+1}}=1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} \\ & {{S}_{k+1}}=1-\frac{1}{k+2}=1-\frac{1}{\left( k+1 \right)+1} \\ \end{align}\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \\ & {{S}_{k+1}}=1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \\ & {{S}_{k+1}}=1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} \\ & {{S}_{k+1}}=1-\frac{1}{k+2}=1-\frac{1}{\left( k+1 \right)+1} \\ \end{align}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*

Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \dfrac{n(n-3)}{2}\(\dfrac{n(n-3)}{2}\)

Hướng dẫn giải

- Đa giác lồi n cạnh thì có n đỉnh. Cứ 2 đỉnh cho ta một đoạn thẳng. Vì vậy tổng số đoạn thẳng là: C^2_n\(C^2_n\)

Lời giải:

- Trong số các đoạn thẳng đó thì có n cạnh của đa giác, còn lại là đường chéo. Vậy số đường chéo của đa giác n cạnh là:

\begin{align} & C_{n}^{2}-n=\frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}-n=\frac{\left( n-2 \right)!\left( n-1 \right).n}{2.\left( n-2 \right)!}-n \\ & =\frac{n\left( n-1 \right)}{2}-n=\frac{{{n}^{2}}-3n}{2}=\frac{n\left( n-3 \right)}{2}\left( dpcm \right) \\ \end{align}\(\begin{align} & C_{n}^{2}-n=\frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}-n=\frac{\left( n-2 \right)!\left( n-1 \right).n}{2.\left( n-2 \right)!}-n \\ & =\frac{n\left( n-1 \right)}{2}-n=\frac{{{n}^{2}}-3n}{2}=\frac{n\left( n-3 \right)}{2}\left( dpcm \right) \\ \end{align}\)

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Hóa học lớp 10, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Hóa học lớp 12, Thi thpt Quốc gia môn Văn, Thi thpt Quốc gia môn Lịch sử, Thi thpt Quốc gia môn Địa lý, Thi thpt Quốc gia môn Toán, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Từ khóa » Các Bài Tập Về Quy Nạp Toán Học 11