Giải Bài Tập Toán 12 Bài 2. Cực Trị Của Hàm Số

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 12› Giải Bài Tập Toán 12› Giải Bài Tập Giải Tích 12› Bài 2. Cực trị của hàm số Giải bài tập Toán 12 Bài 2. Cực trị của hàm số

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Bài 2. cực TRỊ CỦA HÀM số A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG Định nghĩa cực trị Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm Xo e (a; b). - Nếu có số’ h > 0 sao cho Xo e (a; b), (x0 - h; Xo + h) C2 (a; b) ta có fix) < flx0) V xe (x0 - h; Xo + h), X Xo thì khi đó Hx) đạt cực đại tại Xo và f(x0) là giá trị cực đại của hàm số’ fix). 10 GBT Giải tích 12 - CB Nêu có số h > 0 sao cho Xo e (a; b), (x0 - h; Xo + h) c (a; b) ta có f(x) > f(x0) V X G (x0 - h; Xo + h), X Xo thì khi đó fix) đạt cực tiểu tại Xo và f(x0) là giá trị cực tiếu của hàm sô' f(x). Cực đại hay cực tiểu của f(x) gọi chung là cực trị của fix). Điều kiện để hàm sô có cực trị Định lí 1: Cho hàm sô' y = fix) liên tục trên K = (xo - h; Xo + h), h > 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {xol, nếu: f(x) > 0 trên (x0 - h; Xo) và f(x) < 0 trên (x0; Xo + h) thì Xo là một điểm cực đại của fix). f(x) 0 trên (x0; Xo + h) thì Xo là một điểm cực tiểu của fix). Định lí 2: Cho hàm sô' y = fix) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 - h; Xo + h) với h > 0. Nếu: f(xo) = 0; f’(x0) > 0 thì Xo là điểm cực tiểu. —F(xq) = 0; f’(x0) < 0 thì Xo là điểm cực đại. Tìm cực trị Quy tắc 1: Ta có thế’ tìm cực trị của hàm sô' y = fix) như sau: Tìm tập xác định của hàm sô' rồi tính fix). Tìm các điểm mà tại đó f(x) không xác định hoặc bằng không. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: Ta có thể tìm cực trị của hàm sô' y = fix) như sau: Tìm tập xác định của hàm số rồi tính f(x). Giải phương trình f(x) = 0 và kí hiệu Xi (i = 1, 2, 3, ...) là các nghiệm của nó. Tính f’(x) và f’(Xi). Dựa vào dâ'u của f’(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm Xi. B. GIẢI BÀI TẬP Áp đụng Quỉ tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: y = 2x3 + 3x2 -36x - 10 b) y = X4 + 2x2 - 3 y = X + — d) y = X3 (1 -x)2 X y = Vx2 — x + 1 Giải Ta có: D = R y’ = 6x2 + 6x - 36 = 6(x2 + X - 6)= 0 X = - 3 hoặc X = 2 Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại X = -3 và đạt cực tiểu tại X = 2, vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là (-3; 71) và điểm cực tiểu là (2; -54). Ta có: D = R y’ - 4x3 + 4x = 4x (x2 + 1) = 0 X - 0 Bảng biến thiên: Vậy hàm sô' có điểm cực tiểu là X = 0. Ta có: D = R \ Ịo} y' = 1 y = 0 o X = ± 1, hàm số không xác định tại X = 0 X Bảng biến thiên: Ta có: D = R y’ = 3x2 (1 - X)2 -2x3(1 - x) = X2 (5x2 - 8 X + 3) = 0 3 x = 0;x=l;x= — 5 Bảng biến thiên: Ta có: X = 0 không phải là điếm cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi X đi qua X = 0. -> 0 Vx G R 4 e) Ta có: X2 - X + 1 = Do đó, với mọi X e R thì 7.X2 -x + 1 luôn luôn xác định. Vậy D - R. 2x-l „ . . 1 = 0 x = -2 2a/x2 -X +1 Bảng biến thiên: 2 b) y = sin2x - X d) y = X5 - X3 - 2x + 1 Giải Áp dụng Qui tắc 2, hãy tìm các điếm cực trị của các hàm sô sau: y = X4 - 2x2 + 1 c) y - sinx + cosx a) Ta có: D = R y’ = 4x3 - 4x = 0 X = 0, X = ± 1 y” = 12x2 - 4 y”(0) = -1 0=>x = -lvàx=llà các điểm cực tiểu. Ta có: D = R .71 y = 2cos2x - 1 = 0 X = ± -7 + k7t, k e z 6 y” = -4sin2x y —+ K71 =-4sin-- xrn=-- + k7i,kG z <6 ) 3 CD 6 y --? + k7i = 4sin_ > 0 => xrT= - -7 + k7T,k e z I 6 J 3 CT 6 Ta có: D = R . .. nz .(.. , 71A y = sinx + cosx => y = <2 sin X + — k 4 J y' = Vicos X+-Ị ,y' = 0 X = Ị + k7T, keZ I 4j 4 , 71Ì y = -s/2 sin X + — I 4J m ,/7t , /- . (71 , ị -VI nếu k chan Ta CÓ: y — + k7T =-V2 sin ;-+k7T = < _ V 4 J <2 J VI nếu k lẻ Vậy hàm sô đạt cực đại tại điểm x=-y + 2k7T và cực tiểu tại điểm 4 x=^ + (2k + l)7i,VkeZ. Ta có: D = R y’ = 5x4 - 3x2 - 2 = 0 X = ± 1 y” = 20x3 - 6x ỹ”(-l) = -20 + 6 = -14 XCĐ = -1 ỹ”(l) = 20 - 6 = 14 > 0 => XCT = 1 Chứng minh rằng hàm sô' y = ựjx| không có đạo hàm tại X = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. Giải Ta có, giới hạn của tỉ sô' ~ thuộc hàm sô' y = Vjlĩ tại Xo = 0 là: Ax VI I • Av \l 0 + Ax - VÕ a/Ax lim = lim — = lim ^-2- Ax->0 Ax Ax->() Ax Ax |Ax| [-00 với Ax < 0 = lim— 21— = - Ax“‘" Axự|Ax| [+ot với Ax < 0 Nghĩa là hàm số y = ự|x| không có đạo hàm tại X = 0. Xét y - trong khoảng (0 - h; 0 + h) với h > 0, ta có: 7ịxj>0, Vxe(o-h; 0 + h); x*0 Vậy hàm số y = ựjx| đạt cực tiểu tại X = 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = X3 - mx X- — a - 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Giải Xét hàm số’ y = X3 - mx2 - 2x + 1, ta có: D = R y' = 3x2 -2mx-2 = 0 m - Vin2 +6 m + Vm2 +6 X. = 4- V X, = 4- 1 3 2 3 Với mọi giá trị của m ta đều có X1 < 0 < X2. Bảng biến thiên: Qua bảng biến thiên ta thấy hàm sô’ đã cho có XCĐ = 4 và m +Vm2 +6 , . X™. = — với mọi giá trị cua tham số m. c 3 Tìm a và b đế các cực trị của hàm sô’ y - ~-a2x3 + 2ax2 -9x + b đều là những sô’ dương và x() = “ là điểm cực đại. Giải Ta có: Nếu a = 0 thì y = -9x + b. Vậy hàm số không có cực trị. Nếu a * 0. Khi đó: 9 y' = 5a2x2 +2ax-9; y' = 0 X = ------ 5a Ta xét hai trường hợp: a) Nếu a < 0 thì ta có bảng biến thiên: X 1 ~ Xác định giá trị của tham sô' m để hàm sô' y = — đạt giá X + m trị cực đại tại X = 2. 16 —00 a 5a +co y' + 0 — 0 + y +00 —00 Vì X = -7- là điểm cực đại nên — = a = 9 a 9 5 Bên cạnh đó, giá trị cực tiểu là sô' dương nên: Từ đó suy ra: y(l) = ^l + 2a-9 + b = |.-^ + 2f-|ì-9 + b>0 v ’ 3 3 25 V 5 J 36 , n , 36 --7-+ b > 0 b >-7- 5 5 Nếu a > 0 thì ta có bảng biến thiên: Giãi Ta có: D = R \ l-m} X2 + 2mx + m2 -1 (x + m) y’ = 0 X, = -m -1 V X, = -m + 1 Bảng biến thiên: Vậy hàm sô' đạt cực đại tại X = 2 -m -1 = 2« m = -3.

Các bài học tiếp theo

• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• ÔN TẬP CHƯƠNG I
• BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
• Bài 1. Lũy thừa và các tính chất của lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Các bài học trước

• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 12
• Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích
• Giải Bài Tập Toán 12 Hình Học
• Giải Toán 12 Giải Tích
• Giải Toán 12 Hình Học
• Giải Bài Tập Giải Tích 12(Đang xem)
• Giải Bài Tập Hình Học 12

Giải Bài Tập Giải Tích 12

• Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Bài 2. Cực trị của hàm số(Đang xem)
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• ÔN TẬP CHƯƠNG I
• BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
• Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
• Bài 1. Lũy thừa và các tính chất của lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và lôgarit
• ÔN TẬP CHƯƠNG II
• BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
• Chương III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
• Bài 1. Nguyên hàm và tính chất
• Bài 2. Tích phân
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• ÔN TẬP CHƯƠNG III
• BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
• Chương IV. SỐ PHỨC
• Bài 1. Số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
• ÔN TẬP CHƯƠNG IV
• BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
• ÔN TẬP CUỐI NĂM