Toán 12 Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số - Lý Thuyết - HOC247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 12 Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm28 BT SGK 440 FAQ

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được hai khái niệm quan trọng của Giải tích 12 Chương 1 Bài 2 là Cực đại và Cực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến cực trị của hàm số.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

2.3. Qui tắc tìm cực trị

3. Bài tập minh hoạ

3.1. Dạng 1 Tìm điểm cực trị của hàm số

3.2. Dạng 2 Tìm tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện

4. Luyện tập bài 2 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về cực trị của hàm số

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

- Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)

+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)0\).

2.2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

- \(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).

b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu

- Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\):

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l} f'(x) < 0\;\;\forall x \in \left( {{x_0} - h;x{}_0} \right)\\ f'(x) > 0\;\;\forall x \in \left( {x{}_0;{x_0} + h} \right) \end{array} \right.\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

+ Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f'(x) > 0\;\;\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)}\\ {f'(x) < 0\;\;\forall x \in \left( {{x_0};{x_0} + h} \right)} \end{array}} \right.\) thì x0 là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).

- Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải

+ Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ - sang + khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.

+ Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ + sang - khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.

- Điều kiện thứ hai: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\):

+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).

+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

2.3. Qui tắc tìm cực trị

a) Quy tắc 1

- Tìm tập xác định.

- Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.

b) Quy tắc 2

- Tìm tập xác định.

- Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm xi của phương trình \(f'(x)=0\).

- Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.

- Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi.

Bài tập minh họa

3.1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

Câu 1: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)

Lời giải:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

Cách 1:

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = {x^2} - 2x - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

​

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

Cách 2:

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = {x^2} - 2x - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

\(y ''= 2x - 2\)

\(y''\left( { - 1} \right) = - 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\).

​\(y''\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = \frac{x}{{\left| x \right|}}\left( {x + 2} \right) + \left| x \right| = \frac{{2\left( {{x^2} + x} \right)}}{{\left| x \right|}} (x\ne0)\)

Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1,\) giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=1;\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0,\) giá trị cực tiểu \(y(0)=0.\)

Câu 2: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số \(y=x-sin2x+2.\)

Lời giải:

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 1 - 2\cos 2x\)

\(y'=0 \Leftrightarrow \cos2x\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi (k\in\mathbb{Z})\)

​\(y'' = 4\sin 2x\)

\(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = 2\sqrt 3 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = {\textstyle{\pi \over 6}} + k\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).

​\(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = - 2\sqrt 3 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = -\frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực đại tương ứng là \(y\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + k\pi - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).​

3.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 3:

Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có 2 cực trị

Lời giải:

Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} - 2x - 5\) không thể có hai cực trị. (1)

Với \(m\ne-2\) ta có: \(y' = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\)

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = - 3\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1.\) (2)

Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2;1} \right)\)

Ví dụ 4:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\)

Lời giải:

Hàm số có tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

\(y' = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);\)

Để hàm số có cực trị tại \(x=2\) thì:

​\(y'(2) = 0 \Leftrightarrow - 12 + 4(m + 3) - {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)

Ta có: \(y'' = - 6x + 2(m + 3)\)

Với \(m=0\) thì \(y''(2)=-6<0.\)

Với \(m=2\) thì \(y''(2)=-2<0\).

Thứ lại với \(m=0\) và \(m=2\) hàm số đều đạt cực đại tại x=2.

4. Luyện tập Bài 2 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  

  • A. Hàm số đã cho có đúng một cực trị.
  • B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại.
  • C. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
  • D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu.

• Câu 2:

  Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.

  • A. \(AB = 2\sqrt 2\)
  • B. \(AB = 4\sqrt 2\)
  • C. \(AB = \sqrt 2\)
  • D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\)

• Câu 3:

  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị.

  • A. \(m = 0\)
  • B. \(m \le - 3\)
  • C. \(m <3\)
  • D. \(m >-3\)

Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2. Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài tập 6 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài tập 1.17 trang 15 SBT Toán 12

Bài tập 1.18 trang 15 SBT Toán 12

Bài tập 1.19 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.20 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.21 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.22 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.24 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.23 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.25 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.26 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.27 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.28 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.29 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.30 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.31 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.32 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.33 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 11 trang 16 SGK Toán 12 NC

Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC

Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC

Bài tập 14 trang 17 SGK Toán 12 NC

Bài tập 15 trang 17 SGK Toán 12 NC

5. Hỏi đáp về cực trị hàm số

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, Hoc247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

Toán 12

Lý thuyết Toán 12

Giải bài tập SGK Toán 12

Giải BT sách nâng cao Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12

Hình học 12 Chương 3

Ngữ văn 12

Lý thuyết Ngữ Văn 12

Soạn văn 12

Soạn văn 12 (ngắn gọn)

Văn mẫu 12

Soạn Ai đã đặt tên cho dòng sông

Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12 (Mới)

Trắc nghiệm Tiếng Anh 12

Unit 8 Lớp 12 Life in the future

Tiếng Anh 12 mới Unit 4

Vật lý 12

Lý thuyết Vật Lý 12

Giải bài tập SGK Vật Lý 12

Giải BT sách nâng cao Vật Lý 12

Trắc nghiệm Vật Lý 12

Ôn tập Vật lý 12 Chương 3

Hoá học 12

Lý thuyết Hóa 12

Giải bài tập SGK Hóa 12

Giải BT sách nâng cao Hóa 12

Trắc nghiệm Hóa 12

Ôn tập Hóa học 12 Chương 4

Sinh học 12

Lý thuyết Sinh 12

Giải bài tập SGK Sinh 12

Giải BT sách nâng cao Sinh 12

Trắc nghiệm Sinh 12

Sinh Học 12 Chương 1 Tiến hóa

Lịch sử 12

Lý thuyết Lịch sử 12

Giải bài tập SGK Lịch sử 12

Trắc nghiệm Lịch sử 12

Lịch Sử 12 Chương 2 Lịch Sử VN

Địa lý 12

Lý thuyết Địa lý 12

Giải bài tập SGK Địa lý 12

Trắc nghiệm Địa lý 12

Địa Lý 12 VĐSD và BVTN

GDCD 12

Lý thuyết GDCD 12

Giải bài tập SGK GDCD 12

Trắc nghiệm GDCD 12

GDCD 12 Học kì 1

Công nghệ 12

Lý thuyết Công nghệ 12

Giải bài tập SGK Công nghệ 12

Trắc nghiệm Công nghệ 12

Công nghệ 12 Chương 3

Tin học 12

Lý thuyết Tin học 12

Giải bài tập SGK Tin học 12

Trắc nghiệm Tin học 12

Tin học 12 Chương 2

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 12

Tư liệu lớp 12

Xem nhiều nhất tuần

Video: Vợ nhặt của Kim Lân

Đề cương HK1 lớp 12

Video ôn thi THPT QG Tiếng Anh

Video ôn thi THPT QG môn Vật lý

Video ôn thi THPT QG môn Hóa

Video ôn thi THPT QG môn Văn

Video ôn thi THPT QG môn Toán

Video ôn thi THPT QG môn Sinh

Quá trình văn học và phong cách văn học

Sóng- Xuân Quỳnh

Người lái đò sông Đà

Khái quát văn học Việt Nam từ đầu CMT8 1945 đến thế kỉ XX

Đất Nước- Nguyễn Khoa Điềm

Đàn ghi ta của Lor-ca

Ai đã đặt tên cho dòng sông

Tây Tiến

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>