Giải Gần đúng Phương Trình Vi Phân Bằng Phương Pháp Euler Và ...

Tải bản đầy đủ (.doc) (20 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa học tự nhiên
>>
3. Toán học

Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.98 KB, 20 trang )

Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.I)PHƯƠNG PHÁP EULER.BÀI TOÁN: Cho phương trình vi phân:Chia đoạn [a;b] làm n đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có chiều dài :xj = a + jh, j = 0,nvà đặt: x0 = a;; xn = b.Giả sử ta đã biết yj tại xj (điều kiện đầu) ta sẽ tìm yj+1 tại xj+1 như sau:Áp dụng công thức khai triển Taylor của hàm số y(x) tại xj:y(x) = y(xj) + (x - xj)y’(xj) + (x - xj)2, cj(xj , xj+1)Thay x = xj+1; yj =y(xj); y’(xj) = f(xj,yj); h=xj+1 – xj vào đẳng thức trên, ta có:Yj+1 = yj + hf(xj,yj) + h2, cj(xj , xj+1) bỏ đi số hạng h2, ta được hệ thức:yj+1 = yj + hf(xj,yj) (*)Công thức (*)được gọi là công thức Euler Thuật toán:Bước 1: Chia đoạn [a;b] làm n đoạn bằng nhau và bằngvà đặt:x0 = a; xj =a + jh, j=0,n ; xn=b;Bước 2: từ điều kiện ban đầu y0 = y(a), ta sẽ tính được yj , j=1,nYj+1 = yj + hf(xj,yj)Tính cho đến khi yj+1 y(b) thì yj+1 là giá trị nghiệm cần tìm.BÀI TẬPCâu 1: cho bài toán Côsi: y’ = f(x,y) =, y(0) = 1. Tìm nghiệm gần đúng bằngphương pháp Euler trên đoạn [0,1] chọn bước h = 0.1.GiảiBằng máy VINACAL:Từ công thức EulerGVHD: TS Nguyễn Phú Vinhta cài công thức:Trang 1Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.X = 0; Y = 1;B = 0.1Y = Y + B( ) : X = X + BBẦM “=” ĐẾN KHI X=1 THÌ DỪNGTa có bảng kết quải012345678910Xi00.10.20.30.40.50.60.70.80.91yi111.0051.015051.0302761.0508811.0771531.1094681.1482991.1942311.247972Bằng ExcelTrong đó công thức ô:D4 = D3 + $B$2 kéo xuống ô D13E4 = E3 + $B$2*(D3*E3)/2 kéo xuống ô E13VỚI Ô $B$2 LÀ GIÁ TRỊ CỦA h (Cố định ô này-địa chỉ tuyệt đối) ta có kết quảsauGVHD: TS Nguyễn Phú VinhTrang 2Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.Câu 2: cho bài toán hệ Cô si:. Tìmnghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler trên đoạn [0,1], chọn bước h = 0,1Giải:Từ công thức EulerTính bằng VINACAL:X=0; Y=1 ; M=1;B = 0,1Ta cài công thức:C là giá trị của,y là giá trị của Yi. Dừng khi X=1Kết quả giống như bảng excel dưới đâyTa sử dụng Excel trong đó công thức của các ô được tính như sau:Ô C2 = 0,1 = h với $C$2 là ô chứa giá trị của h (cố định ô này – địa chỉ tuyệt đối)E3 = X0 = 0, F3 = Y0 = 1, G3 = Z0 = 1ĐỀ CHO: y(0)=1, z(0) = 1E4 = E3 + $C$2 tăng x=x + hF4 = F3+$C$2*((G3 -F3)*E3) theo công thức của Yi+1 không cần biểu diển thêm 2cột fi(x,y,z) i=1,2G4 =G3+$C$2*((G3+F3)*E3)// theo công thức của Zi+1Kết quả :GVHD: TS Nguyễn Phú VinhTrang 3Đề Tài: Giải gần đúng phương trình vi phân bằng phương pháp Euler và Euler cải tiến.II)PHƯƠNG PHÁP EULER CẢI TIẾN.BÀI TOÁN: Cho phương trình vi phân:THUẬT TOÁN:Bước 1: chia đoạn [a;b] làm n đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có chiều dàivà đặt: x0 = a; xj = a + jh, j=0,n; xn = b;Bước 2: từ điều kiện ban đầu y0 = y(a), ta sẽ tính được yj , j=1,nYj+1(0) = yj + h.f(xj,yj)Yj+1(k+1) = yj + [f(xj,yj) + f(xj+1,yj+1(k)) ](**)Bước 3:Nếu :|Yj+1(k+1) – Yj+1(k)|và j+1